появляется внутренне-математическое моделирование. Второй связан с построением математической модели объекта, не являющегося математическим. Внешне-математическое моделирование предполагает применение знаний о функциональных зависимостях, выражающих естественнонаучные или производственные закономерности.

Итак, математическое моделирование в практико-ориентированном обучении математике в школе является теоретической основой для:

-выделения этапов линии практических приложений математики в школе (частные задачи каждого этапа сформулированы в соответствии с поэтапным обучением методу математического моделирования);

-определения прикладных математических умений школьников

(умения выделены в соответствии с четырьмя этапами метода математического моделирования);

-классификации и выделения уровней сложности задач, связанных с практическими приложениями математики (четыре уровня сложности выделены в соответствии со сложностью выполнения этапа математизации условия задачи);

-создания образовательных продуктов, предназначенных для реализации линии практических приложений математики в школе на уроке и во внеурочное время (содержание образовательных продуктов ориентировано на обучения школьников элементам метода математического моделирования).

Тема 3. Функции обучения математическому моделированию

Функции обучения математическому моделированию (образовательная, контроля учебной деятельности учащихся, интерпретационная, реализации межпредметных связей).

Как известно, математическое моделирование выполняет ряд дидактических функций в обучении математике в школе. Наиболее полно

208

эти функции выделены Н.А. Терешиным.166 []. Автор разделяет их на две группы: мировоззренческие и социально-педагогические. Однако на современном этапе отдельные функции из этих групп утратили свою актуальность. Так, функция обучения программированию на ЭВМ и работе на микрокалькуляторе передана школьному предмету информатики. Кроме того, автор показывает проявление перечисленных групп функций только при изучении школьного курса алгебры и начал анализа, что несколько ограничивает область их применимости.

На основе проведенного анализа ряда методических исследований, выделим наиболее значимые для современной образовательной парадигмы функции обучения математическому моделированию: образовательная, контроля учебной деятельности учащихся, интерпретационная, реализации межпредметных связей. Раскроем эти функции в контексте практико-ориентированного обучения математике в школе.

1. Образовательная функция. Современная дидактика утверждает, что образование состоит не столько в формировании «абстрактного» знания, сколько в развитии умений использовать его для получения новых знаний и решения жизненных задач.167 Поэтому, образовательная функция изучения математических моделей объектов окружающего мира имеет бинарное назначение: с одной стороны способствует усвоению содержания школьного курса математики, а с другой – показывает приложения этого курса к изучению объектов окружающего мира. Эта функция математического моделирования лежит в основе одного из классификационных признаков задач на приложения - «по постановке задачи».

Например, при изучении школьного курса геометрии имеется возможность показать, что одни и те же математические модели (по сути, изученные определения, свойства, формулы и т.п.) могут быть

166Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 96 с.

167Педагогика. Учебное пособие для студентов педагогических вузов и педагогических колледжей / Под ред. П.И. Пидкасистого. - М: Педагогическое общество России, 1998. - 640 с.

209

использованы для изучения различных реальных объектов, а, следовательно, расширить область применения полученных знаний. Сравним следующие две задачи, которые иллюстрируют универсальность математических знаний. Математическая модель условия этих задач одинаковая - по гипотенузе и острому углу прямоугольного треугольника вычислить противолежащий катет.

Лестница длиной 12 м прислонена к стене дома. Угол ее наклона к поверхности земли равен 720. Какой высоты достигает верхний конец лестницы?

Угол подъема при взлете модели самолета равен 300. На какую высоту поднимется самолет, пролетев 200 м, если угол подъема останется неизменным?

При решении этих задач учащиеся, с одной стороны, приобретают умение находить в прямоугольном треугольнике по двум заданным элементам – третий, а с другой стороны – убеждаются в универсальности математических знаний, в их применимости к описанию объектов различной природы.

Знакомство с различными моделями окружающей действительности расширяет знания учащихся о мире. В следующей задаче приведен пример использования геометрии в геодезии. Здесь же есть возможность продемонстрировать иерархичность моделей выбранного объекта - если некоторые модели объединены одной целью, но с различной степенью точности отражают моделируемый объект, то говорят, что такие модели составляют иерархию.

Найдите расстояние между двумя соседними меридианами на экваторе.

Приведем ее решение. Земля имеет форму геоида. Эта модель Земли не позволит решить задачу средствами школьного курса геометрии. Поэтому упростим ее. Пусть моделью формы Земли будет сфера. Меридианы являются большими окружностями на сфере, с радиусом,

210

равным радиусу Земли. Кратчайшим расстоянием между ними является дуга большой окружности (экватора), соответствующей углу в 10. Значит, необходимо вычислить длину дуги окружности заданного радиуса. Радиус Земли R можно принять равным 6371 км. Тогда по формуле длины

R

дуги окружности имеем: L= 180 . Подставив заданные значения,

приближенно получим 111,13 км.

Таким образом, иерархия моделей здесь представлена цепочкой геоид – сфера. Такое упрощение модели земли позволяет решить задачу средствами школьного курса математики, однако не дает возможности использовать приведенный способ решения, например, для прокладывания курса корабля. (Этот способ решения не позволяет найти истинного расстояния между меридианами.)

2. Функция контроля учебной деятельности учащихся. Эта функция моделирования на сегодняшний день приобретает особую актуальность в связи с включением в содержание ГИА и ЕГЭ задач, связанных с практическими приложениями математики в школе. Рассматриваемая функция нашла отражение в нескольких классификационных признаках задач на приложения - «по математическим методам решения», «по сложности применения метода математического моделирования», «по назначению в обучении». На основании этих классификационных признаков возможно отбирать задачи на приложения, предназначенные для контроля сформированности общеучебных и прикладных математических умений школьников.

Приведем примеры. Построение математической модели, сформулированной в задаче ситуации, позволяет учителю убедиться в том, что знания учащихся носят не формальный характер. Так, при изучении третьего признака равенства треугольников, вводится понятие «жесткости» фигуры. Следующая задача поможет учителю проконтролировать понимание учащимися сути изученного понятия.

211

 Прямоугольная калитка (рис. 33, слева) со временем расшатывается и становится похожей на параллелограмм. Этого можно избежать, прибив к ней ещё одну планку. Только надо знать, как это сделать. (Верный ответ на рис. 33 справа.)

При решении этой задачи ученик должен «увидеть» треугольники,

равенства треугольников по трем сторонам, но и умеет использовать его для разрешения ситуации, близкой к реальной.

3. Интерпретационная функция. Эта функция отражает принцип множественности моделей, принятый в прикладной математике. Известно, что один и тот же объект может быть представлен с помощью различных моделей в зависимости от цели исследования объекта. Например, окружность задается с помощью указания ее радиуса, уравнением относительно осей координат, а также с помощью чертежа. В одних случаях целесообразно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других - геометрической моделью. Каждая из этих моделей является ее интерпретацией.

Рассматриваемая функция также связана с тем, что выбранная математическая модель должна удовлетворять ряду требований. Это требования адекватности (соответствия математической модели реальному объекту); точности; достаточной простоты; полноты; продуктивности (доступности исходных данных – в справочниках или эмпирическим путем).

Приведем иллюстрацию требования адекватности рассматриваемого объекта его математической модели. Математическая модель объекта должна быть ему адекватна с точки зрения заданной цели

212

исследования, т.е. отражать требуемые характеристики этого объекта. Следующий пример иллюстрирует сказанное.

213

Перед вами стеклянные чайники четырёх моделей одинаковой вместимости (рис. 34). В каком чайнике заваренный чай останется тёплым дольше?

Для решения задачи учащимся необходимо выделить те характеристики объектов (чайников), которые повлияют на скорость

Рис. 34 остывания. Это может быть материал, из которого изготовлены чайники; объем и свойства жидкости, в них налитой; а также площадь поверхности чайника. Так как первые две характеристики у всех чайников одинаковые, остается сравнить последнюю. Из курса физики известно, что время охлаждения пропорционально площади поверхности тела. Значит, чем меньше поверхность чайника, тем дольше остывает чай. Самая маленькая площадь поверхности у четвёртого чайника, так как его форма близка к сфере.

Впроцессе изучения школьного курса геометрии имеется возможность показать, что при построении математических моделей в прикладной математике реальная ситуация описывается приближенно, т.к.

вмодели невозможно (да и нет необходимости) учесть все связи и характеристики изучаемых объектов. Отбрасывание второстепенных деталей облегчает изучение отраженного в модели объекта.

Вусловии следующей задачи уже даны все необходимые упрощения. Сама задача может рассматриваться как содержательная модель реальной ситуации.

 Человек среднего роста на совершенно ровном месте видит вокруг себя не далее 4,5 км. Как велика в градусной мере, та дуга земной поверхности, которую он видит? Радиус Земли принять равным 6400км.

4.Функция реализации межпредметных связей. Как было показано ранее, содержание понятия математического моделирования является

214

главной составляющей прикладной математики. Поэтому четвертая функция связана с проблемой ознакомления школьников с областями знаний, где возможно применение метода математического моделирования для исследования объектов действительности. Эта функция математического моделирования положена в основу классификационного признака задач на приложения - «по области приложений» Традиционно, в школьном курсе математики, межпредметные связи иллюстрируются на примере решения задач с физическим содержанием. Здесь приведем иллюстрацию, связанную с изучением химии.

Расстановка коэффициентов в уравнениях химических реакций может занять немало времени, если делать это методом подбора. Если же к решению этой проблемы применить математические знания и составить небольшой алгоритм, основанный на решении системы уравнений, то пошаговое его выполнение позволит расставлять коэффициенты в химических уравнениях любой сложности. Итак:

1)Обозначим неизвестные коэффициенты химического уравнения x, y, z, и т. д.

2)Составим уравнения, определяющие количество атомов каждого химического элемента, входящего в состав реагирующих веществ до и после реакции. Для этого перемножим соответствующие коэффициенты и индексы.

3)Выберем переменную, которая в составленной системе принимает наименьшее значение, и приравняем ее единице.

4)Вычислим значения остальных переменных. Если хотя бы одно из полученных значений окажется дробным, необходимо вернуться к предыдущему пункту и увеличить значение выбранной переменной на единицу.

Расчет будет закончен, если все полученные значения коэффициентов - целые числа. Продемонстрируем выполнение алгоритма на примере.

215