предметов, имеющих такую форму. Зная, что объем параллелепипеда равен произведению трех его измерений, мы сможем, например, найти объем воздуха в учебном кабинете, объем железнодорожного вагона или других предметов, которые используются в домашнем обиходе независимо от их назначения, веса и т.д. Таким образом, если бы понятие «параллелепипед» не носило абстрактного характера, то для каждого предмета надо было бы иметь свою формулу для вычисления объема.

Тема 4. Классификация задач на приложения математики

Классификации школьных математических задач (Г.А. Балл, Ю.М. Колягин, Л.М. Лоповок и др.), классификационные признаки задач на приложения: по области приложений математики; по математическим методам решения; по сложности математизации условия задачи; по назначению в обучении; по способу представления; по полноте данных.

Проблема классификации школьных математических задач рассматривалась многими учеными-методистами (Г.А. Балл, Ю.М. Колягин, Л.М. Лоповок, В.А. Петров, Л.М. Фридман, И.М. Шапиро и др.). Выделялись различные основания для классификации задач, связанных с практическими приложениями математики в школе. Рассмотрим ряд из них.

Л.М. Лоповок136 в соответствии с содержанием и типами учебных математических задач делит их на четыре группы: задачи, иллюстрирующие применение теорем (формул); задачи на проверку правильности применяемых приемов работы; задачи вычислительного характера; задачи на выполнение построений.

Л.Э. Хаймина137 выделяет две группы таких задач: задачи на формирование понятия и задачи, связанные с деятельностью учащихся на этапе исследования решения. К последней группе задач автор относит

136Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы. Пособие для учителя. / Под ред. А.И. Фетисова. - М.: Просвещение, 1967. - 271 с

137Хаймина Л.Э. Методика реализации прикладной направленности курса алгебры основной школы: дисс ...

канд. пед. наук. - Архангельск, 1998. - 198 с

157

задачи с недостающими и скрытыми данными; задачи с лишними данными; задачи с противоречивыми данными и т.п. Таким образом, первая группа определяет назначение таких задач в обучении, а вторая – среди задач прикладного содержания выделяет задачи, при решении которых выполняются учебные действия исследовательского характера.

И.М. Шапиро, предлагает следующие «разновидности» задач: 1) на вычисление значений величин, встречающихся в практической деятельности; 2) на составление расчетных таблиц; 3) на построение простейших номограмм; 4) на применение и обоснование эмпирических формул; 5) на вывод формул зависимостей, встречающихся на практике.138 Такое деление задач ориентировано на обучение отдельным приемам использования математической теории в практической деятельности.

На основе имеющихся методических исследований обобщим классификационные признаки таких задач. Согласно бинарному назначению задач на приложения, выделим два вида этих задач (по их постановке): на обучение приложениям математики; на изучение математики с помощью ее приложений.

Задачи этих двух видов в свою очередь характеризуются следующими основными признаками: по области приложений математики; по математическим методам решения; по сложности математизации условия задачи; по назначению в обучении; по способу представления; по полноте данных. Поясним это.

1.По области приложений математики. Этот признак характеризует фабулу задачи, в которой могут быть отражены научные области знаний; практические области деятельности; бытовые, занимательные и игровые ситуации с реальным сюжетом.

2.По математическим методам решения. Традиционно в школьном курсе математики выделяют три группы методов - арифметический (по действиям или составлением выражения), алгебраический (составлением

138 Хаймина Л.Э. Методика реализации прикладной направленности курса алгебры основной школы: дисс ...

канд. пед. наук. - Архангельск, 1998. - 198 с

158

уравнения, системы уравнений или неравенств), геометрический (использование подобия, площадей фигур и т.п.). В настоящее время в связи с введением в курс математики элементов теории вероятностей и математической статистики к существующим добавляется вероятностностатистический. Еще раз подчеркнем, что основным математическим методом решения таких задач является метод математического моделирования. Перечисленные методы для задач на приложения – это методы внутримодельного решения.

3.По сложности математизации условия задачи. Этот признак отражает четыре уровня сложности задач на приложения: в задаче имеется прямое указание на математическую модель; объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответствующими математическими объектами и отношениями; объекты и отношения задачи соотносимы с математическими объектами и отношениями неоднозначно, требуется учет реально сложившихся условий; объекты и отношения задачи явно не выделены.

4.По назначению в обучении. Основное назначение школьных задач связано с формированием математических понятий. Задачи на приложения могут быть классифицированы следующим образом: на актуализацию знаний и умений, необходимых для формирования понятия; на мотивацию введения понятия; на распознавание понятия; на применение понятия; на включение нового понятия в систему известных.

5.По способу представления. Задача на приложения может быть представлена следующими способами: в текстовом виде, который может представлять собой фрагмент учебного или научного текста, инструкцию и т.п.; в графическом виде: таблица, диаграмма, график, схема, чертеж, фотография и т.п.; в комбинированном, объединяющим текстовый и графически способы представления.

6.По полноте данных. Этот признак объединяет задачи на приложения с недостающими и скрытыми данными; с лишними данными;

159

с противоречивыми данными, а также и наиболее распространенные задачи с полными данными.

Представленные классификации таких задач по шести признакам отвечают на вопрос о форме и содержании задач на приложения и позволяет определить значение таких задач в учебном процессе. В приведенных ранее примерах (Л.М. Лоповок, И.М. Шапиро, Л.Э. Хаймина) рассмотрены классификации по одному-двум признакам и не могут стать, по выражению Ю.М. Колягина, «рабочим инструментом» авторов учебных пособий, учителя и ученика. Соединим эту совокупность классификаций в одну систему классификаций139, в которой два вида задач на приложения, выделенные по их постановке, характеризуются шестью основными признаками, из которых три (по области приложений математики, по сложности математизации условия задачи, по способу представления) применимы только к данному виду задач, а оставшиеся три (по математическим методам решения, по назначению в обучении, по полноте данных) являются общими для всех школьных математических задач. Выделенные классификационные признаки позволяют дать методическую характеристику задаче на приложения. Такую характеристику назовем

методическим паспортом задачи.

Представим построенную систему классификаций задач на приложения в виде графической модели (рис. 18). В центре модели - два вида задач на приложения, которые соединены с выделенными ранее классификационными признаками. Для каждого признака указано его содержание в фигурной скобке. Далее будет показано на примере, как по предложенной модели можно составить паспорт конкретной задачи на приложения.

139 Новиков А.М. Методология научного исследования, с.157

160

Задачи

Рис. 18. Система классификаций задач на приложения математики

161

Рассмотрим более подробно приведенную систему классификаций задач на приложения. Выделенные два вида задач на приложения отражают бинарное назначение практических приложений математики в школе в обучении: с одной стороны - обучение приложениям математики, с другой - обучение математике через ее приложения. Поясним это.

При решении задач, направленных на обучение практическим приложениям математики требуются знания из области приложений. Таковы приведенные ранее примеры задач о столбах и тени (закон о прямолинейности распространения световых лучей), о точечном источнике света (зависимость между силой освещения и расстоянием от источника света), об игре на бильярде (динамика твердого тела). Задачи, предназначенные для обучения математике через ее приложения, составляют большую часть школьных задач на приложения. Такие задачи служат для актуализации знаний и умений, необходимых для формирования математических понятий; для мотивации введения понятий; для распознавания, применения понятий и включения их в систему известных понятий, что соответствует пятому признаку приведенной классификации. Подобная классификация математических задач широко известна и приведена в исследованиях Л.М. Лоповка, Е.С. Канина, К.И. Нешкова и А.Д. Семушина и др.

Признак классификации, по области приложений математики, позволяет определить тематические направления фабул задач на приложения этих двух видов. Это необходимо для отбора таких задач согласно возрастным интересам и познавательным возможностям школьников, выбранному профилю обучения. В теории и методике обучения математике хорошо известны задачи по следующим тематическим направлениям: экономика (В.С. Абатурова, А.Г. Еленкин, В.Ф. Любичева, А.С. Симонов), геодезия (В.Н. Ганьшин, П.Я. Дорф, А.О. Румер, Т. Такидзе), сельское хозяйство (В.А. Петров), техника (А.Н. Артболевский, А. Ахлимерзаев, И.А. Скосырская), искусство (А.И.

163

Азевич).

164

Признак классификации, по математическим методам решения, рассмотрен в работах многих авторов в связи с типизацией задач различных разделов школьного курса математики. Система задач любого школьного учебника по математике также служит примером рассматриваемого классификационного признака. Этот признак включен в систему признаков для распределения задач на приложения по разделам школьного курса математики.

Признак, по уровням сложности математизации условия задачи, необходим для отбора задач по четырем этапам реализации линии практических приложений математики в школе (пропедевтический, подготовительный, основной и заключительный) и определяет четыре уровня сложности задач на приложения, выделенные ранее.

Признак классификации, по способу представления, отражает способы описания реальных ситуаций, требующих применения математики. Задачи на приложения в графической и комбинированной формах встречаются в отечественной учебно-методической литературе нечасто, однако такая форма принята в международных исследованиях достижений школьников (PISA).

Признак классификации, по полноте данных, применим и к учебным математическим задачам. Задачи этого типа рассмотрены, например, в работах Г.И. Саранцева.140 Применительно к задачам на приложения он реализован в работе Л.Э. Хайминой.141

Таким образом, любая школьная задача на приложения может быть описана с помощью предлагаемых признаков. Например, рассмотрим следующую задачу о высоте солнца над горизонтом:

Определите с помощью лупы высоту солнца над горизонтом.

140Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пос. для студ. мат. спец. пед. вузов и ун-тов. - М.: Просвещение, 2002. - 224 с

141Хаймина Л. Э. Задачи прикладной направленности в обучении математике: учебно-методическая разработка для учителей школ и студентов математического факультета. - Архангельск: Помор. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова, 2000. - 47 с.

165

Задачи

Рис. 20. Вид и классификационные признаки задачи о высоте солнца над горизонтом.

168