Докажите, что чем дальше от глаза находится предмет, тем меньших размеров он нам кажется.

11.Приведите пример задачи на приложения математики для:

а) введения понятия; б) усвоения понятия; в) закрепления понятия.

12.Кратко охарактеризуйте виды внеклассной работы по математике в школе.

13.Предложите тему прикладного учебного исследования по математике для учащихся основной школы.

14.Предложите тему курса по выбору (элективного курса) по математике прикладного содержания. Составьте к предложенной теме аннотированный библиографический список (не менее 6 источников).

15.Составьте прикладное проектное задание по математике для учащихся 7 класса. Обоснуйте его образовательное значение.

Раздел IV. Математическое моделирование как теоретическая основа практико-ориентированного обучения математике в школе

Тема 1. Представления о математическом моделировании

Математическая деятельность, модель, моделирование (Л.М. Фридман), построение математической модели (А.Д. Мышкис) рациональные рассуждения (И.И. Блехман) прикладная задача, особенности метода математического моделирования.

Как известно, процесс математизации является составной частью математического моделирования реального объекта. Поиск приложений математики, т.е., возможности решить задачу, поставленную на практике или в какой-либо научной области, математическими методами

– особый вид математической деятельности. Овладение такой деятельностью школьниками при изучении математики позволяет утверждать о наличии у них сформированного умения применять

195

полученные знания к решению задач, поставленных в реальности. Выделим общекультурную составляющую представлений о

математическом моделировании, которой необходимо владеть учителю математики. Резюмируем имеющиеся в науке общие представления о моделировании. Термин «модель» широко используется не только в математике, но в других науках и практических областях деятельности. «Модель» происходит от латинского «modelus», что означает мера, мерило, образец, норма. Согласно энциклопедическому словарю, модель – это любой образ, аналог (условный или мысленно представляемый) какого-либо объекта, который в процессе исследования его замещает.155 Здесь термин «объект» понимается в широком смысле: объектом может быть не только физическое тело (предмет), но и любые реальная ситуация, явление, процесс. Там же дано наиболее общее понятие о моделировании. Моделирование – это исследование каких-либо явлений, процессов или систем объектов путем построения и изучения их моделей. Моделирование также подразумевает и применение построенных моделей для создания новых объектов с заданными характеристиками, рационализации способов их построения.

Относительно обучения, Л.М. Фридман понимает моделирование как метод опосредованного познания со следующим перечнем целей:

1)замена исходного объекта в некотором мысленном (воображаемом) или реальном действии (процессе), исходя из того, что использовать объект, подобный исходному, более удобно для этого действия в данных условиях (модель-заместитель);

2)создание представления об исходном объекте (реально существующем или воображаемом) с помощью объекта-аналога (модельпредставление);

3)истолкование (интерпретация) исходного объекта в виде объектааналога (модель-интерпретация);

155 Большой энциклопедический словарь. 2-е изд. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. - 1456 с.

196

4) исследование (изучение) исходного объекта с помощью объектааналога, посредством изучения объекта-аналога (модель исследовательская).156

Моделирование автор рассматривает как особую деятельность по построению (выбору или конструированию) моделей для указанных выше целей. Существенным для нашего исследования является указание автора на то, что моделирование как психическая деятельность может включаться в качестве компонента в такие процессы, как восприятие, представление, память, воображение и, конечно, мышление.

Математическая модель, согласно математическому энциклопедическому словарю, это «приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики».157 Как известно, построение математической модели опирается на систему предположений (гипотез): о форме рассматриваемого реального тела, о пропорциональности заданных величин и т.д. Выбор гипотезы – один из наиболее важных этапов построения модели. Именно это определяет степень ее адекватности реальному объекту. В истории науки имеется немало примеров неправильных гипотез. Например, широко известны многочисленные гипотезы о форме Земли. Как следствие, при анализе математических моделей, построенных на основании таких гипотез, были сделаны неверные выводы.

Общий подход к построению математической модели изучаемого объекта описан А.Д. Мышкисом158 и состоит в выделении тех его характеристик, которые с одной стороны содержат более или менее полную информацию об объекте, а с другой допускают математическую формализацию. Математическая формализация означает, что выделенным

156Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. - М.: Знание, 1984. - 80 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Педагогика и психология»; № 6)

157Математический энциклопедический словарь. /Гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М. «Советская энциклопедия» 1988. -847 с.

158Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. Изд. 3-е, исправленное. - М.: КомКнига, 2007. - 192

с.

197

характеристикам объекта возможно поставить в соответствие подходящие математические понятия. Тогда обнаруженные и предполагаемые связи между отдельными частями изучаемого объекта могут быть записаны с помощью математических отношений. В результате получается математическое описание изучаемого объекта, т.е. его математическая модель. С одной из древнейших математических моделей, геометрией Евклида, учащиеся и знакомятся в школе. Прямые, плоскости, фигуры и т.п. являются моделями окружающего нас пространства.

Как показал анализ научных исследований (А.А. Самарский, А.П. Михайлов, И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, А.Н. Тихонов, Д.П. Костомаров, Н.Н. Моисеев и др.), для решения прикладных задач необходимо не только широкое знание математики и ее методов, но и представление о том, как эти методы могут быть использованы в других науках.

А.Д. Мышкис приводит трехэтапную схему применения метода математического моделирования. Сначала уточняется суть проблемы, сформулированной на языке другой науки – строится содержательная модель объекта. Затем эта содержательная модель переводится на формальный математический язык (первый этап). Далее построенная математическая модель изучается, по сути, решается полученная математическая задача (второй этап). Результат решения снова переводится на язык той науки, на котором была сформулирована исходная проблема (третий этап).

А.Н. Тихонов разделяет процесс математического моделирования на четыре основных этапа: первый – установление законов, связывающих объекты модели; второй – решение математических задач внутри построенной модели; третий – согласование результатов наблюдений или измерений параметров реальных объектов с теоретическим исследованием построенной модели; четвертый – уточнение и модернизация модели на основании результатов, полученных на третьем этапе.159 Очевидно,

159 Тихонов Н.Л. Задачи прикладного характера и их роль в формировании и развитии интереса к профессии у школьников при изучении математики в 6-8 классах общеобразовательной школы (Метод. рек.). - М.: МГПИ,

198

приведенные подходы не противоречат друг другу.

Процесс построения математической модели связан с применением рациональных рассуждений. В прикладной математике «рациональное рассуждение» И.И. Блехман понимает следующим образом: «такое рассуждение может включать физические соображения, ссылки на интуицию, различные более или менее правдоподобные упрощения, решения математических задач и ссылки на теоремы на чисто дедуктивном уровне, вычисления...».160

Известно, что математическое моделирование является ведущим методом изучения окружающей действительности и играет фундаментальную роль в многочисленных приложениях математики, выступая генератором наиболее прогрессивных направлений в развитии науки и техники. Математическое абстрагирование естественнонаучной, инженерной, экономической, социальной проблемы позволяет глубже проникнуть в суть рассматриваемого явления, чем непосредственное наблюдение или экспериментальное исследование. Как указывает Н.Н. Моисеев, «наука только и может иметь дело с моделями, с приближенным описанием действительности, отражающими те или иные стороны реальной действительности. Математическая модель – это лишь специальный способ описания, позволяющий для анализа использовать формально-логический аппарат математики. Изучение математических моделей – это основной метод познания, используемый в естественных науках».161

Проведенный анализ показывает, что учитель может через знакомство с основами метода математического моделирования показать школьникам на доступном для них уровне значение математики для других наук и проиллюстрировать влияние проблем, возникающих в

1980. - 61 с.

160Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики. - М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 272 с.

161Моисеев Н.Н. Математические модели экономической науки. - М.: Наука, 1973. - 64 с.

199

различных сферах практической деятельности, на развитие самой математики, на расширение арсенала математических моделей. Подбор доступных для понимания учащимися содержательных примеров подобной математической деятельности в естествознании, технике и т.п. затруднен из-за ограниченности имеющихся у них сведений в этих областях. Частично решить эту проблему учитель может, подбирая примеры из обыденной жизни. Ведь решением прикладных задач занимаются не только специалисты-математики. Модели и моделирование лежат в основе познавательных процессов человека. Применение математических методов для изучения закономерностей реальной действительности, для изменения окружающего мира сводится, по существу, к исследованию математических моделей.

Отметим, что математика применяется не непосредственно к реальному объекту, а к его математической модели. При изучении реального объекта, выявляются его свойства, которые могут быть описаны на языке той или иной науки. Таким образом, утверждает А.Д. Мышкис,162 строится механическая, или физическая, или биологическая, или социальная модель объекта. Это его содержательная модель – собственно прикладная задача, в которой подобран упрощенный объект, который с одной стороны отражает основные свойства исходного объекта, с другой стороны допускает достаточно простое математическое описание. При построении содержательной модели не учитывается ряд несущественных для достижения заданной цели свойств реального объекта.

На основе сказанного составим такое представление о прикладной задаче, поставленной в науке: прикладная задача возникает при изучении реального объекта с заранее заданной целью, при этом способ достижения этой цели может быть неизвестен. Прикладная задача является содержательной моделью реального объекта, отражающая отдельные его характеристики. В прикладной задаче выделены исходные

162 Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. Изд. 3-е, исправленное. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с.

200

данные и сформулировано то, что необходимо найти, установить согласно цели исследования этого объекта.

В качестве резюме, выделим особенности применения метода математического моделирования, которые следуют из проведенного анализа и могут быть учтены при обучении школьников приложениям математики. Будем руководствоваться следующими выводами, полученными на основе анализа работ математиков и педагогов, упомянутых выше. Перед непосредственным построением математической модели объекта, т.е. подбором математического аппарата для его исследования должен быть осуществлен переход от реальной ситуации к ее содержательной модели, а также сформулирована совокупность гипотез о свойствах (физических, химических, биологических и т.д.) объектов содержательной модели, их взаимодействии между собой и с окружающей средой, т.е. построена их концептуальная модель. Выбранная математическая модель должна удовлетворять ряду требований. Это требования адекватности (соответствия математической модели реальному объекту); точности; достаточной простоты; полноты; продуктивности (доступности исходных данных – в справочниках или эмпирическим путем). В научной литературе выделены принципы построения моделей, их типы, требования к математической модели. Резюмируем ряд особенностей метода математического моделирования, которые могут быть использованы учителем при обучении школьников практическим приложениям математики.

1.Математика применяется не к реальному объекту, а к его содержательной модели.

2.У одного объекта может быть несколько математических моделей. Создаваемая модель должна отражать те свойства реального объекта, которые входят в проблему его исследования. Для исследования реального объекта могут быть использованы математические модели различных типов. Для исследования различных объектов может быть использована

201

одна модель. (Принцип множественности моделей)

3.Соответствие математической модели реальному объекту относительно и имеет рамки применимости. (Требование адекватности модели реальному объекту)

4.Если выбранные математические средства позволяют провести исследование реального объекта в приемлемые сроки и экономно по затратам труда и средств, то выбранная модель является достаточно простой. (Требование достаточной простоты)

5.Модель должна давать возможность с помощью математических методов получить необходимую информацию о реальном объекте. (Свойство полноты математической модели)

6.В большинстве случаев сложный объект возможно расчленить на ряд агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными стандартные, хорошо изученные математические модели. (Принцип агрегирования)

7.Оценка результатов исследования математической модели происходит по следующим направлениям: верификация (проверка адекватности результата поставленной задаче); оценка точности и единственности полученных результатов.

Это, хотя и схематичное, описание особенностей математического моделирования дает представление о способе его применения для «математического понимания природы»,163 о направлениях формирования способности к такой деятельности. Способность математически исследовать окружающую действительность не является отличительным качеством специалистов-математиков. Этой способностью в той или иной степени необходимо обладать каждому: для правильной ориентации в реальных ситуациях, для принятия решений, адекватных поставленной проблеме

163 Арнольд В.И. Математика и математическое образование в современном мире. В сб. Математика в образовании и воспитании. Сост. В.Б. Филиппов. - М.: Фазис, 2000. - 256 с.

202

и т.д.

Таким образом, представления о математическом моделировании имеют общекультурную и общеобразовательную ценность и составляют математическую культуру каждого - и ученика, и учителя. Подтверждением этому мнению служат исследования многих ученых: математиков, методистов, педагогов, психологов.

Представления о модели, математической модели, методе математического моделирования, его этапах, особенностях, принципах построения математических моделей составляют методологическую основу обучения школьников практическим приложениям математики.

203