к практико-ориентированному обучению математике в школе.

Тема 6. Возможности использования задач на приложения математики во внеурочное время

Виды внеклассной работы математике: элективные курсы, курсы по выбору, учебные исследования, проектная деятельность учащихся

Внеклассная работа одна из форм организации математической подготовки школьников. В теории и методике обучения математике выделяют два вида внеклассной работы: работа с отстающими учащимися; работа с учащимися, проявляющими повышенный интерес к изучению математики.

Основными целями организации дополнительных занятий с учащимися, которые испытывают трудности в освоении программного материала, является консультирование, ликвидация отставания в обучении и предупреждение неуспеваемости. Работа с отстающими учащимися не заключается только в повторном прохождении неусвоенного программного материала. Большинство таких школьников имеют низкую мотивацию к учению в целом и отсутствие интереса к изучению математике. Без устранения первичных причин неуспеваемости такие дополнительные занятия будут малоэффективными. Поэтому положительным результатом внеклассной работы с этой группой школьников считается не только ситуативная ликвидация пробелов в освоении учебной дисциплины, но и достижение устойчивых успехов в познавательной деятельности на уроке. Этому способствуют и задачи на приложения.

Внеклассная работа, ориентированная на учащихся, проявляющих повышенный интерес к изучению математике, как отмечает А.В. Фарков,146 является естественным продолжением и дополнением урочной формы математической подготовки и ориентировано на расширение и углубление знаний школьников. Традиционными целями такой внеклассной работы

146 Фарков А.В. Внеклассная работа по математике. 5-11 классы. - М.: Айрис-пресс, 2006. - 288с. (Школьные олимпиады)

178

являются: формирование интереса учащихся к математике и ее приложениям; развитие математического мышления и математических способностей учащихся; знакомство с историей математики и ее ролью в развитии мировой науки; профориентация.

Российской общеобразовательной школой накоплен богатый методический опыт организации внеклассной работы с учащимися. Для получения представления о многообразии форм этой работы приведем их классификацию по количественному признаку. К групповым формам, связанным с систематическими занятиями с учащимися, относят кружки и, пришедшие сравнительно недавно на смену факультативам, элективные курсы и курсы по выбору. Индивидуальная внеклассная работа направлена на руководство исследовательской, проектной деятельностью учащихся, написанием докладов и рефератов по математике, а также на подготовку школьников к участию в олимпиадах разного уровня. К массовым формам внеклассной работы относят недели математики, олимпиады, тематические вечера, конкурсы, конференции и т.п. Очевидно, что все выделенные формы имеют тесную связь, которая проявляется в общности целей математической подготовки учащихся. Среди этих целей и обучение приложениям математики.

Раскроем подробнее отдельные формы внеклассной работы, в рамках которых возможно продолжить обучение практическим приложениям математики в школе, начатое на уроках: элективные курсы, курсы по выбору, учебные исследования, проектная деятельность учащихся.

Элективные курсы и курсы по выбору. В настоящее время учащимся предлагается после окончания девятого класса выбрать одно из следующих основных направлений профилизации: естественно-математическое, социально-экономическое, гуманитарное, технологическое и др. Выбор профиля обучения для учащегося является важным шагом к дальнейшему профессиональному определению, и этот выбор должен быть максимально осознанным, неслучайным и адекватным.

179

В 2002 году в ходе модернизации школьного образования была принята Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования (Приказ Министерства образования РФ №2783 от 18.07.2002). В этом документе дается краткая характеристика новых форм учебного процесса: курсов по выбору и элективных курсов. Следуя этому документу, основная функция курсов по выбору, проводимых на основной ступени общего образования, - профориентационная. Содержание таких курсов направлено на оказание помощи школьнику в определении своих склонностей, в выборе дальнейшего профиля обучения. Поэтому для охвата большего спектра профилей они, как правило, носят краткосрочный и чередующийся характер, являются учебными модулями.

Например, для ориентации на естественно-математический профиль возможно организовать для девятиклассников курс по выбору прикладной направленности «Беседы об угле зрения», связанный с изучением планиметрии и состоящий из следующих модулей-бесед: 1. Что мы видим? Поле зрения и его границы. 2. Как увидеть собственный нос? 3. Что такое угол зрения? 4. Геометрия помогает проверить остроту зрения. 5. Под одним углом зрения. 6. Что такое параллакс? 7. Геометрия разоблачает обманы зрения. 8. Зачем фотографу геометрия? Рассматриваемые в этом курсе вопросы не требуют повышенной математической подготовки и доступны большинству школьников. Учащимся понадобятся некоторые сведения из биологии и физики, которые к этому времени им известны из соответствующих школьных дисциплин. Одна из целей такой внеклассной работы состоит в том, чтобы показать применение знаний, полученных на уроках геометрии по программе базового курса, к исследованию и объяснению некоторых механизмов зрения.

Содержание курса по выбору может и выходить за рамки базового курса геометрии. Примером темы для такого курса является тема, связанная с изучением золотой пропорции и ее применения в архитектуре, искусстве, музыке и окружающей природе.

180

Общий подход к разработке содержания внеклассных занятий курсов по выбору и элективных курсов прикладной направленности сформирован на основе анализа соответствующей учебно-методической литературы и предполагает включение:

–исторических сведений по возникновению и постановке проблемы из какой-либо научной области, и роли математики в ее разрешении;

–сведений об ученых, занимавшихся решением научных проблем в выбранной области средствами математики;

–демонстрации применения результатов научной (математической) деятельности в решении проблем практической, хозяйственной деятельности человека.

Элективные курсы входят в состав профиля обучения на старшей ступени школы, являются обязательными для учащихся и выполняют две основные функции:

–служат для углубления и расширения изучения основных профильных предметов на заданном профильным стандартом уровне;

–предназначены для внутри профильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий.

Так, элективный курс по геометрии «Многогранники»147 выполняет обе функции: поддерживает изучение профильного предмета «Математика» и может быть использован и для построения индивидуальных образовательных траекторий.

Проведенный анализ учебно-методической литературы показал, что основными тематическим направлениями содержания элективных курсов по математике в настоящее время являются: 1.Подготовка к решению задач ЕГЭ. 2.Углубление и расширение основного курса математики. 3.Вопросы приложений математики в школе. 4.Историко-культурные аспекты математической науки.

147 Смирнова И.М., Смирнов В.А. «Многогранники» Элективный курс. 10-11 кл. – М.: Мнемозина, 2006. - 95 с.

181

Учебные исследования по математике. В современном мире крайне важно обладать навыками самостоятельного получения новых знаний, информации и их применения. Такие навыки учащиеся могут приобрести в процессе проведения учебных исследований по математике. Именно эта форма обучения предполагает наибольшую самостоятельность учебной деятельности. Проводя исследование, школьники приобретают навыки, которые, будут им полезны в любой области профессиональной деятельности.

К исследовательской деятельности учащихся относят учебную деятельность, связанную с решением задач с неизвестным заранее результатом или решением.148 Организация учебного исследования требует прохождения следующих этапов: 1.Постановка проблемы. 2.Изучение соответствующей теории, сбор материала по проблеме исследования. 3.Выдвижение гипотезы и подбор методов проведения исследования. 4.Анализ и обобщение собранного материала, выводы. 5.Представление результатов исследования.149

Выбор тем исследований по математике осуществляется учителем в зависимости от интересов и способностей учащегося. Они могут быть направлены на углубленное изучение отдельных вопросов («Несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха», «Обобщенное уравнение Эйлера» - темы исследований учащихся СУНЦ МГУ), носить общекультурный, исторический характер («Отец современной алгебры Ф. Виет», «Математика Древней Греции и Индии»), а также связаны с изучением приложений математики («Винтовые линии и спирали в природе и технике», «Теория математического бильярда и ее практические приложения»). Однако для большинства учащихся работа над темой исследования превращается в переписывание текстов из различных источников информации. При попытке задать вопрос по существу учитель

148Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М.: ООО «Издательство «Вербум-М» 2003. - 432 с.

149Исследовательская деятельность учащихся в профильной школе / Под ред. Б.А. Татьянкина. - М.: 5 за знания, 2007. - 272 с.

182

часто сталкивается либо с полным непониманием учеником изучаемой проблемы, либо с довольно поверхностными представлениями о предмете обсуждения. Понятно, что такая учебная работа выполнена формально школьником и не принесла никакой пользы ее исполнителю.

Одним из способов преодоления такой ситуации является составление учителем для учащегося системы вопросов по теме исследования, определяющей направление деятельности ученика. Приведем пример таких вопросов к исследовательской работе учащихся, связанной с изучением ее приложений и иллюстрирующий такую профессиональную деятельность учителя. Тема этого учебного исследования – «Геометрия и механизмы зрения». Вопросы, на которые должны ответить учащиеся в ходе исследования: 1.Каковы границы поля зрения человека? 2. Чем отличается поле зрения человека и животных? 3.Что такое угол зрения? 4.От чего зависит угловой размер предмета? 5. Как геометрия помогает проверить остроту зрения? 6.Как находят линейные размеры предметов с помощью угла зрения? 7.Что такое параллакс?

Каждый такой вопрос порождает еще блок вопросов, предлагаемых учащимися по мере исследования ими темы. Так, на этапе работы с информационными источниками возможна такая помощь и участие учителя. Помимо общих рекомендаций по сбору фактического материала, учителю необходимо научить школьника понимать прочитанное. Как известно, работа с текстом - первый исследовательский навык, который приобретает ученик. Приведем пример обучения работе с текстом, подобранным к ответу на вопрос о параллаксе. В левом столбце табл. 2 дан текст, составленный на основе содержания соответствующего раздела школьного учебника астрономии150. В правом столбце к отдельным частям текста сформулированы вопросы, направленные на изучение геометрической составляющей излагаемого материала и выявления

150 Воронцов-Вельяминов Б.А. Астрономия. Учебник для средней школы. - М.: Просвещение, 1983. - 189 с

183

геометрического смысла понятия параллакса.

Работа учащихся с таким текстом, заключенным в таблицу и сопровожденным вопросами и заданиями, занимает довольно много учебного времени. В тоже время составление учащимися ответов на вопросы по каждому фрагменту практически гарантирует понимание ими прочитанного. Такая кропотливая работа над текстом по силам не каждому учащемуся. Время, затраченное на прочтение текста и объем выполненных заданий позволяет учителю косвенно оценить исследовательские навыки учащегося, его интерес к исследуемой теме. Предполагаемые решения и ответы на вопросы приведены после таблицы.

Таким образом, в процессе выполнения исследования на втором этапе учащиеся имеют возможность применять хотя бы на интуитивном уровне элементы метода математического моделирования, связанные с математизацией реальных объектов. Основной обучающий эффект такой учебной работы состоит в возможности осмысленного, нешаблонного применения учащимися геометрических знаний для изучения закономерностей окружающего мира.

Кроме того, при таком подходе к организации учебного исследования имеется возможность формирования навыков работы с научным текстом. В приведенном выше примере формируется способность школьников к смысловому чтению.

184

Таблица 2

Что такое параллакс?

185

Из рисунка видно, что при изменении точки наблюдения с О1 на О2 меняется положение метки с В1 на В2, что и дает

ВС sin C

находится АВ. АВ= sin( В С)

5. Небесные тела удалены на значительное расстояние от Земли, поэтому их параллаксы очень малы. Так как параллактическое смещение увеличивается с увеличением базиса, то при выборе большего базиса повышается точность измерений.

6.Треугольник ОАS – прямоугольный (рис. 29).

Отсюда, формула для расчета расстояния от Земли до небесного объекта:

7. Подставляя нужные значения в формулу (1) приближенно получим,

186

что расстояние от Земли до Луны 384 683 км, расстояние от Земли до Солнца 152 263 534 км.

8. Как известно, предметы имеют не только линейные, но и угловые размеры. Угловые размеры измеряют в градусах. В отличие от линейных,

они не постоянны и зависят от точки, из которой смотрят на предмет. В данном случае, угловой диаметр Земли (или угловой размер диаметра Земли) равен удвоенному горизонтальному параллаксу Луны, т.е. 114/.

Проектная деятельность учащихся. Проектная деятельность учащихся – одна из активно используемых форм обучения в современной школе. Но в методической литературе еще не сформировано единых представлений о структуре, формах, методике организации такой деятельности школьников. На основе анализа учебно-методической литературы, нами выявлено три формы учебного проекта:

монопредметный, межпредметный и над предметный151.

Из их названий понятно, что монопредметный проект выполняется в рамках одного учебного предмета, межпредметный – предполагает использование знаний по двум и более предметам, над предметный (вне предметный) проект выполняется на стыках областей знаний и выходит за рамки школьных предметов. Проектная деятельность учащихся является дополнением к учебной деятельности и носит либо прикладной, либо исследовательский характер.

В научно-методической литературе152 выделяются следующие

признаки проектной деятельности учащихся:

151Полат Е.С., Бухаркина М.Ю. Современные педагогические и информационные технологии в системе образования: Учебное пособие. / Е.С. Полат, М.Ю. Бухаркина. - М.: Гардарики, 2007. - 215 с

152Матяш Н.В. Психология проектной деятельности школьников в условиях технологического образования; под ред. В.В. Рубцова. / Н.В. Матяш. - Мозырь: РИФ «Белый ветер» 2000. - 286 с

187

ориентация на получение конкретного результата;

предварительная фиксация (описание) результата в виде эскиза с разной степенью детализации и конкретизации;

относительно жесткая фиксация срока достижения результата;

предварительное планирование действий по достижению результата;

планирование во времени с конкретизацией результатов отдельных действий, обеспечивающих достижение общего результата проекта (этапы проекта);

выполнение действий с их одновременным мониторингом и коррекцией;

получение продукта проектной деятельности, его соотнесение с исходной ситуацией проектирования, анализ новой ситуации.

Учебная проектная деятельность может быть организована как в урочное, так и во внеурочное время. Проекты длительные по времени выполнения и требующие привлечения большого количества информации выносятся на внеурочные занятия. Подробнее о проектной деятельности учащихся можно узнать из книги М. А. Ступницкой «Что такое учебный проект?»153

Приведем пример прикладного проектного задания по геометрии для учащихся основной школы. Для того, чтобы вызвать познавательный интерес у школьников, мы назовем его «Этот неуловимый диаметр». Постановка проектного задания состоит в формулировании вопросов, объединенных одной проблемой – необходимости измерить диаметр реального объекта при различных ограничениях. В результате выполнения этого задания школьники должны «открыть» несколько практических приемов измерения диаметра, опираясь на известные им математические знания. С этой целью мы предложим им несколько задач на приложения и теоретические сведения по геометрии, которые понадобятся для их решения. Итак, школьникам предлагается следующее проектное задание:

153 Что такое учебный проект? / М. А. Ступницкая. – М. : Первое сентября, 2010. – 44 с.

188

Можно ли восстановить размеры случайно разбитого круглого стекла? Как узнать диаметр ствола дерева или водопроводной трубы, если измерить его непосредственно невозможно?

Найдите диаметры окружностей реальных объектов, недоступные для прямого измерения. Опишите найденные способы языком геометрии.

Задачи на приложения, которые необходимо решить школьникам для выполнения проектного задания:

1. На рис. 30 показаны два способа измерения диаметра ствола дерева. На каких геометрических утверждениях они основаны?

Рис. 30.

2. Во время археологических раскопок были обнаружены фрагменты круглой тарелки (рис 31). Можно ли по найденным частям восстановить ее размер?

Рис. 31 .

3.Найдите с помощью штангенциркуля и линейки диаметр водопроводной трубы, больше чем наполовину вкопанной в землю.

4.У настенных часов разбилось круглое стекло, закрывающее циферблат. Как узнать его диаметр, чтобы заказать новое?

189

5. Диаметры каменных шаров (рис. 32), внутренние части которых недоступны, можно вычислить, предварительно сделав измерения при помощи чертежного угольника. Опишите этот способ.

Рис. 32 В результате выполнения этого задания школьники не только выявят

практические приемы измерений, но и повторят следующие геометрические сведения:

1.Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2.Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины сторон.

3.Углы, стороны которых проходят через концы диаметра окружности, - прямые.

4.Длина окружности вычисляется по формуле: l=2πR.

5.Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.

6.Касательные, проведенные через концы хорды, являющейся диаметром окружности, параллельны.

7.Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

***

190

Итак, задача, связанная с практическими приложениями математики (задача на приложения), - это задача, представляющая собой содержательную модель реального объекта, математическая модель которого может быть построена средствами школьного курса математики.

Различия между задачей на приложения и сюжетной задачей, в фабуле которой использованы реальные объекты, состоят в степени достоверности описания этих объектов и отношений между ними.

Методические требования к задачам на приложения математики в школе разделены на две группы: требования к фабуле и к математическому содержанию.

I. Требования к фабуле задачи: I.1.Отражение реального объекта, его свойств.

I.2.Связь математики с другими науками, практическими областями деятельности.

I.3.Наличие проблемы или свойств объекта, для изучения которых действительно необходимо применить математику.

I.4.Соответствие возрастным особенностям (познавательным интересам, ведущему типу деятельности школьника).

I.5.Доступность фабулы для понимания учащимся: используемые нематематические термины известны школьникам в результате изучения других дисциплин, легко определяемы или интуитивно ясны.

II. Требования к математическому содержанию задачи. II.1.Математическая содержательность решения задачи. II.2.Соответствие численных данных задачи, существующим на

практике.

II.3.Соответствие фактических данных, сделанных допущений и упрощений реальному процессу, объекту, ситуации, описанных в задаче.

II.4. Возможность включения задач на приложения в систему тренировочных заданий, упражнений и задач курса математики в школе.

191

Наиболее важные характерные особенности процесса применения математики к исследованию реальных объектов, т.е. особенности задач на приложения:

1.При переходе от условия прикладной задачи к строгой математической модели используются не доказательные, а правдоподобные рассуждения. Это, например, рассуждения по аналогии, использование понятий вне рамок их первоначального определения, использование результатов приближенного решения.

2.Уровень строгости и полноты математического исследования согласуется со смыслом исходной ситуации, т.е. с реальным смыслом величин, входящих в условие задачи.

3.Выбор математического аппарата (метода) для решения задачи осуществляется на основе ряда критериев. Решение реальной задачи должно быть не только правильным, но и экономным по затраченным усилиям, доступным современным вычислительным средствам, удобным для дальнейшего использования (требование рациональности).

4.Полученный результат решения прикладной задачи на этапе интерпретации может быть подтвержден экспериментально.154

Функции задач на приложения математики, общие с учебными математическими задачами и упражнениями: запоминание теоретических фактов; формирование навыков исследовательской деятельности; усиление мотивации к обучению; формирование мировоззрения и др.

Некоторые специфические функции задач на приложения:

–установление связи между реальным миром предметов и явлений и математикой;

–ознакомление учащихся с основами метода математического моделирования;

–формирование математической грамотности, мировоззрения и миропонимания школьников.

154 Фирсов В.В. О прикладной ориентации курса математики // Углубленное изучение алгебры и анализа: Пособие для учителей (Из опыта работы) / Сост. С.И. Шварцбурд, О.А. Боковнев. - М.: Просвещение, 1977. - С. 215-239

192