П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

0

Неопределенность вида 0 по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз:

Р е ш е н и е. Имеем неопределенность вида 0·∞. Переписывая данное выражение в виде

( − 1) ln( − 1)2 = ln( − 1)2 , 1

− 1

∞

получим неопределенность вида ∞. Применяя правило Лопиталя, получим:

Найти пределы.

§ 13.3. Предельный анализ в экономике. Эластичность функции 193

1. ( ) = ( ) + ( ),

( )

2. = ( ) − ( ),

1 3. ( ) = ( ).

Экономисты измеряют степень чувствительности потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности.

Рассмотрим эластичность функции спроса на товар = ( ), которая задает зависимость объема спроса на товар от его цены .

Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чувствительность потребителей к изменению цен, т. е. небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть

относительно эластичным или просто эластичным. В этом случае эластичность функции спроса = ( ) удовлетворяет условию

| ( )| > 1.

Если потребители относительно нечувствительны к изменению цен на определенного рода продукты, т. е. существенное изменение цены ведет лишь к небольшому изменению количества покупок, то говорят, что спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. В этом случае имеет место неравенство:

| ( )| < 1.

Совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества запрашиваемой продукции. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей, то говорят, что спрос совершенно эластичный . В этих случаях справедливо равенство

| ( )| = ∞.

В случае

| ( )| = 1

говорят о нейтральном спросе или о спросе с единичной эластичностью.

Аналогично определяется эластичность функции предложения

= ( ).

194 Глава 13. Основные теоремы дифференциального исчисления

П р и м е р 13.8. Пусть функции спроса и предложения соответ-

покупаемого товара, — количество предлагаемого на продажу товара, а — цена товара ( > 0). Требуется определить эластичность спроса и предложения по равновесной цене.

Р е ш е н и е. Равновесная цена определяется из условия равенства

Решая это уравнение, находим равновесную цену 0 = 2. Эластичность функций спроса и предложения находим по фор-

на 1% произойдет уменьшение спроса на 6% и увеличение предложе-

ния на 6%).

Так как | =2( )| > 1 и | =2( )| > 1, то спрос и предложение товара при равновесной цене 0 = 2 эластичны относительно цены . 2

13.34. Функции спроса и предложения имеют вид: =

= 2 + 15, = + 3, где — количество покупаемого това-

+ 2

ра, — количество предлагаемого на продажу товара, — цена товара ( > 0). Определить эластичность спроса и предложения

по равновесной цене, изменение спроса при увеличении цены на 19% от равновесной.

13.35. Найти эластичность функции спроса ( ) = 20 − 3 в точке 1 = 30.

13.36.Найти эластичность функции спроса ( ) = 30 − 34

вточках 1 = 15 и 2 = 20.

13.37.Найти эластичность функции спроса ( ) = 10−

13.38. Функция долговременного спроса на нефтяном рынке имеет вид ( ) = 25−1, 5 , а функция долговременного пред-

ложения — ( ) = 15 + 0, 5 . Найти эластичность спроса в точке рыночного равновесия.

13.39.Функция кратковременного спроса имеет вид ( ) =

=25−0, 625 , а кратковременного предложения — ( ) = 23, 4+

+0, 425 . Найти эластичность кратковременного спроса в точке рыночного равновесия.

Г л а в а 14

Исследование функций

§ 14.1. Условия возрастания и убывания функций. Экстремумы функций

1 . Возрастание и убывание функций. Функция ( ) назы- вается неубывающей (невозрастающей ) на множестве R, если из 1 < 2 ( 1, 2 ), следует, что ( 1) 6 ( 2) (соответственно

( 1) > ( 2)).

Если из 1 < 2 ( 1, 2 ), следует, что ( 1) < ( 2) (соответственно ( 1) > ( 2)), то функция ( ) называется возрастающей (убывающей) на множестве .

Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными. Убывающие и возрастающие функции часто называются также

строго монотонными.

Для того, чтобы дифференцируемая на интервале ( , ) функция

( ) была неубывающей (невозрастающей) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ′( ) > 0 ( ′( ) 6 0) для всех ( , ).

Для строгой монотонности функций справедливо следующее достаточное условие. Если функция ( ) дифференцируема на интервале ( , ) и ′( ) > 0 ( ′( ) < 0) для всех ( , ), то эта функция

возрастает (убывает) на интервале ( , ).

2 . Экстремумы функций. Точка 0 называется точкой ло- кального максимума (локального минимума) функции ( ), если существует такая окрестность точки 0, что для всех точек ̸= 0 этой окрестности выполняется неравенство ( ) < ( 0) ( ( ) > ( 0)) (рис. 14.1). В этом случае говорят также, что функция ( ) имеет

локальный максимум (локальный минимум) в точке 0.

Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума или экстремумами данной функции.

Рис. 14.1. Локальный максимум ( ) и локальный минимум ( )

Т е о р е м а 14.1 (необходимое условие экстремума). Пусть 0 —

точка локального экстремума функции ( ). Если существует производная этой функции в точке 0, то она равна нулю: ′( 0) = 0.

Точки, которые удовлетворяют равенству ′( 0) = 0, называются стационарными точками функции ( ). Стационарные точки и точки, в которых не существует производная функции ( ), называ-

ются точками возможного экстремума или критическими точками

функции ( ).

Т е о р е м а 14.2 (первое достаточное условие экстремума). Пусть точка 0 является точкой возможного экстремума функции ( ),

которая дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Тогда если в пределах указанной окрестности производная ′( ) по-

ложительна (отрицательна) слева от точки 0 и отрицательна

(положительна) справа от точки 0, то функция ( ) имеет локальный максимум (минимум) в точке 0. Если производная ′( )

справа и слева от точки 0 имеет одинаковый знак , то экстремума в точке 0 нет.

Последнюю теорему можно кратко сформулировать следующим

образом. Если при переходе через точку возможного экстремума 0 производная ′( ) меняет свой знак с плюса на минус (с минуса на

плюс), то функция ( ) имеет в точке 0 локальный максимум (ло- кальный минимум). А если ′( ) не меняет свой знак при переходе

через данную точку 0, то экстремума в точке 0 нет.

Т е о р е м а 14.3 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция ( ) в точке 0 имеет производные ′( 0) и ′′( 0). Если

′( 0) = 0, а ′′( 0) ̸= 0, то точка 0 является точкой экстремума, причем точкой локального максимума , если ′′( 0) < 0, и точкой локального минимума, если ′′( 0) > 0.

= 2 − 4 + 3.

Ре ш е н и е. Имеем ′ = 2 − 4 = 2( − 2). Очевидно, что ′ > 0 при > 2 и ′ < 0 при < 2. Следовательно, функция убывает на

интервале (−∞, 2) и возрастает на интервале (2, +∞). 2

П р и м е р 14.2. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции ( ) = ( − 1)3.

Ре ш е н и е. Находим производную: ′( ) = ( −1)3 + 3 ( −1)2 =

=( −1)2(4 −1). Приравнивая производную к нулю, находим крити-

1

ческие точки функции: 1 = 4, 2 = 1 (точек, в которых производная не существует, у заданной функции нет).

1

Найденные критические точки 1 = 4 и 2 = 1 разбивают чис-

= 0 производная не существует, следовательно, эта точка крити-

ческая. Согласно первому достаточному условию экстремума (теоре-

ма 14.2), нужно исследовать знаки производной слева и справа от точки = 0. Так как ′ < 0 при < 0 и ′ > 0 при > 0, то при = 0

функция имеет минимум min = 0. 2

3 . Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Наибольшее (наименьшее) значений функции ( ) на отрезке [ , ] достигается или в критических точках, или на концах этого отрезка.

П р и м е р 14.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ( ) = 3 − 3 на отрезке [−3, 4].

Р е ш е н и е. Находим производную ′( ) = 3 2 − 3 = 3( 2 − 1). Решая уравнение 3( 2 − 1) = 0, находим критические точки: 1 = −1,2 = 1, которые лежат на отрезке [−3, 4]. Теперь определим значения функции в найденных точках и на концах отрезка: (−1) = 2,

(1) = −2, (−3) = −18, (4) = 52. Итак,

Исследовать возрастание и убывание функций.

14.1.а) = 2, б) = 3, в) = 1 , г) = ln .

14.2.а) = tg , б) = , в) = 4 − 2.

Найти интервалы монотонности функций.

14.5.= 2(1 − ).

14.6.= 13( 3 − 16 2 + 69 − 54). Найти экстремумы функций.