Бусыгин

251

По сути, задача потребителя имеет тот же вид, что и в классической модели, только индекс блага становится двойным, и суммирование в бюджетном ограничении идет по двум индексам — k и s. Дифференциальная характеристика внутреннего решения задачи потребителя тоже совершенно аналогична дифференциальной характеристике выбора потребителя в отсутствии неопределенности:

С учетом того, что целевая функция имеет специфический вид (Неймана— Моргенштерна), дифференциальную характеристику можно переписать в терминах элементарной функции полезности:

где uik′( ) — производная элементарной функции полезности по k-му благу. Проиллюстрируем введенные понятия простым примером.

Пример 2 (Задача страхования имущества).

Предположим, что потребитель имеет имущество стоимостью ω1, которое в случае состояния мира 1 (при отсутствии пожара) сохранится, а в случае пожара — состояния мира 2 — окажется равным ω2 (ω2 < ω1). На (совершенном) рынке страховых услуг этот потребитель может приобрести страховой контракт (γ, y), где — γ [0,1] — цена контракта, а y

— страховая сумма. То есть если потребитель застрахуется на сумму y, то он вне зависимости от состояния мира заплатит γy и получит y в случае пожара. Таким образом, при отсутствии пожара доход потребителя будет равен

x1 = ω1 – γy,

если же пожар произойдет, то доход составит

x2 = ω2 + y – γy.

Таким образом, мы имеем одно благо — деньги, и два состояния мира (отсутствие и наличие страхового случая).

Бюджетное ограничение того вида, что выше (в терминах контингентных потребительских наборов), можем получить, исключив y:

(1 – γ)x1 + γx2 <(1 – γ)ω1 + γω2.

Покупая страховой контракт, потребитель тем самым меняет благо 'деньги в состоянии 1' на благо 'деньги в состоянии 2' в отношении

p1/p2 = (1 – γ)/γ.

Предположим далее, что потребитель имеет функцию полезности типа Неймана— Моргенштерна

U = (1–µ)u(x1) + µu(x2),

такую что производная элементарной функции полезности u′( ) положительна и строго убывает (т.е. потребитель характеризуется строгим неприятием риска), где µ — вероятность пожара. Дифференциальная характеристика решения задачи потребителя как обычно имеет вид

251

252

Опираясь на то, что u′( ) — убывающая функция, можно сделать выводы об оптимальном решении потребителя в зависимости от соотношения вероятности пожара µ и цены страховки γ. При γ= µ (актуарно справедливая цена страховки) имеем

u′(x1) = u′(x2).

Таким образом, в этом случае потребитель застрахуется на такую сумму, что x1 = x2, то есть на всю сумму потенциального ущерба:

y = ω1 – ω2.

Нетрудно проверить, что если цена будет высокой (γ> µ), то он застрахуется так, что

u′(x1) < u′(x2),

откуда x1 > x2. То есть страховая сумму будет меньше величины ущерба. Наоборот, при γ< µ страховая сумма будет превосходить величину ущерба.

γ> µ

x1

Рисунок 53. Иллюстрация различных соотношений между ценой и вероятностью в задаче страхования имущества

В предположении, что потребитель является рискофобом, этот результат обобщить на случай, когда элементарная функция полезности недифференцируема.

Будем рассматривать доход потребителя как случайную величину x~, которая принимает значение x1 с вероятностью (1 – µ), и x2 с вероятностью µ.

Тогда при γ= µ ожидаемый доход Ex~ равен (1 – γ)ω1 + γω1, то есть не зависит от суммы страховки y. Рискофоб предпочитает среди таких лотерей ту, которая не связана с риском, то есть дает один и тот же доход вне зависимости от состояния мира. А к такой лотерее приводит страхование на полную сумму потерь.

При γ> µ (γ< µ) с ростом страховой суммы y величина ожидаемого дохода Ex~ уменьшается (увеличивается). Поэтому потребителю не выгодно выбирать y больше (меньше) величины ущерба. Действительно, если он застрахуется на величину ущерба, то риск будет отсутствовать, а ожидаемый доход Ex~ будет выше. Таким образом, если γ> µ, то y <ω1 – ω2, а если γ< µ, то y >ω1 – ω2. Строгие неравенства можно гарантировать только при дифференцируемости. Если функция полезности недифференцируема, то при γ≠ µ оптимальным может быть страхование на полную сумму ущерба (y = ω1 – ω2).

Задачи

16. Предпочтения судовладельца описываются функцией полезности типа Неймана— Моргенштерна с элементарной функцией полезности от богатства x вида u(x), причем u( )

252

253

имеет положительную убывающую производную. Он владеет богатством $40 000 и может потерять в случае аварии судна $10 000.

(A)Пусть вероятность аварии равна 0,02 и известно, что он застраховался на сумму $9 000. Возможно ли, что цена страхования на $1 равна $0,02? Если нет, то больше или меньше, чем $0,02? Объясните.

(B)Пусть цена страхования на $1 равна $0,02 и известно, что он застраховался на сумму $11 000. Возможно ли, что вероятность аварии равна 0,02? Если нет, то больше или меньше, чем 0,02? Объясните.

(C)Пусть вероятность аварии равна 0,01 и известно, что цена страхования на $1 равна $0,02. Возможно ли, что он застраховался на сумму $10 000? Если нет, то больше или меньше, чем $10 000? Объясните.

17. Приведите пример, когда оптимальным является страхование на полную сумму ущерба при том, что цена страховки не является актуарно справедливой.

Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)

К выбору наиболее предпочтительной денежной лотереи сводятся многочисленные модели инвестиционного повеления.

Мы проиллюстрируем этот анализ на основе следующей простой двухпериодной модели.

Рассмотрим задачу распределения одного блага — капитала77 — между несколькими активами k K = {1, ..., l}. Модель двухпериодная. В первый период инвестор вкладывает капитал в активы, а во второй получает доход с этих активов. Величину капитала будем обозначать ω (ω>0).

Каждый актив характеризуется своей доходностью (отношением чистого дохода от единицы актива к цене). Пусть r~k — валовая доходность k-го актива, т.е. валовой доход на рубль вложений. Волна означает, что это случайная величина. Если считать пространство состояний мира дискретным, как и выше, то доходность r~k — дискретная случайная величина и принимает значения rks (s S) с соответствующими вероятностями µs.

Инвестор должен выбрать размеры вложений zk в каждый из доступных активов k K при следующих ограничениях:

Можно покупать актив, но не эмитировать его, т.е.

zk >0.

Общая сумма вложений не должна превышать величину капитала, т.е.

Ûzk < ω.

k K

Последнее неравенство представляет собой аналог бюджетного ограничения. Вектор {zk}k K будем называть портфелем. Общий (валовой) доход от портфеля равен:

77 Возможно, первоначально капитал размером имеется в виде безрискового актива k = 0 (см. далее). Может быть, начальный запас имеет более общий вид:

(ω0, ..., ωl): Û ωk = ω.

k K

253

254

x~ = Ûzkr~k.

k K

Если пространство состояний мира дискретное, то доход от портфеля x~ — дискретная случайная величина и принимает значения

xs=Ûzkrks

k K

с вероятностями µs.

Как обычно, предполагаем, что предпочтения инвестора описывается функцией типа Неймана—Моргенштерна

U = Eu(x~) = Ûµsu(xs).

s S

В дальнейшем мы везде будем считать, что u( ) — дифференцируемая функция, причем производная u′( ) положительна и убывает (инвестор — рискофоб).

Поскольку капитал ω — постоянная величина (выбор между накоплением и потреблением остается за рамками модели), то полезность определяется структурой портфеля, и можно вместо величины вложений в k-й актив, zk, рассматривать долю этого актива в портфеле

αk = zk/ω.

Тогда

x~ = ωÛαkr~k.

k K

Получим следующую задачу:

U = Eu(x~) = Eu(ωÛαkr~k) → max {αk}.

k K

Ûαk <1,

k K

αk >0, k K.

Принято вводить еще безрисковый актив k = 0 с гарантированной доходностью r~k = r0 (его можно интерпретировать как государственные ценные бумаги или вклад до востребования). Этот актив имеет одну и ту же доходность r0 независимо от состояния мира. При этом K = {0, ..., l}.

Еще одно предположение, которое принято делать — нет ограничения на неотрицательность вложений в безрисковый актив, т.е. может быть αk < 0. Интерпретация — можно взять кредит на любую сумму по той же ставке r0.

Так как производная u′(x) положительна, то целевая функция ненасыщаема и поэтому «бюджетное ограничение» в задаче инвестора выходит на равенство, т.е.

α0 = 1 – Ûαk.

k≠0

Исключив α0, преобразуем задачу инвестора к виду

Eu(ω(r0 + Ûαk(r~k – r0))) → max {αk}.

k≠0

254

255

При соответствующих условиях регулярности производная математического ожидания равна математическому ожиданию производной.78 Будем предполагать, что эти условия выполнены. Тогда условие первого порядка решения задачи инвестора имеет вид

E[u′(x~)ω(r~k – r0)] <0, k ≠0.

Кроме того, если αk > 0, то это условие выполняется как равенство

E[u′(x~)ω(r~k – r0)] = 0.

или

E[u′(x~)r~k] = r0Eu′(x~).

Нетрудно проверить, что в силу свойств функции u( ) (инвестор — рискофоб) и линейности оператора E, ожидаемая полезность портфеля, как функция долей вложений в соответствующие активы, является вогнутой. Поэтому эти условия являются достаточными условиями оптимальности портфеля.

Рассмотрим частный случай этой задачи. Пусть есть два актива — безрисковый и один рискованный. Задача инвестора имеет вид:

Eu(ω(α0r0 + α1r~1)) → max α0, α1.

α0 + α1 <1,

α1 >0.

Исключив α0, получим следующую задачу одномерной максимизации:

U = Eu(ω(r0 + α1(r~1 – r0))) → max α1>0.

Обозначим максимизируемую функцию через U(α1) и вычислим ее производную:

= ω(E[u′(x~)r~1] – r0Eu′(x~)).

Решение задачи инвестора (если оно существует) может быть внутренним (α1 > 0) либо граничным (α1 = 0).

1) Если в оптимальном портфеле α1 > 0, то ∂U(α1)/∂α1 = 0, откуда

E[u′(x~)r~1] = r0Eu′(x~).

Заметим, что в рассматриваемом случае u′(x~) является убывающей функцией r~1, поэтому

E[u′(x~)r~1] < Eu′(x~)Er~1.

(Ковариация u′(x~) и r~1 отрицательна). Таким образом, поскольку Eu′(x~) > 0 (ожидание положительной случайной величины положительно), необходимое условие внутреннего решения состоит в том, что r0 < Er~1

2) Если в оптимальном портфеле α1 = 0, то x~= ωr0 (т.е. доход портфеля — не случайная величина). Значит,

∂U(α1) = ωu′(ωr )(Er~ – r ).

∂α1 0 1 0

78 Достаточно, чтобы пространство состояний мира было дискретно. Для непрерывных распределений условие регулярности заключается в том, что носитель распределения не зависит от параметра, по которому берется производная.

255

256

Поскольку для граничного решения ∂U(α1)/∂α1 <0 и производная элементарной функции полезности положительна, то получим следующее необходимое условие оптимальности граничного решения:

Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием того, что 1-й актив войдет в портфель (α1 > 0) является то, что его ожидаемая доходность больше гарантированной

(Er~1 > r0).

Тот факт, что для случая двух активов условие Er~1 > r0 является достаточным, является частным случаем более общего результата, который называется

ции.

Теорема 9 (теорема Самуэльсона о диверсификации)79

Пусть инвестор характеризуется целевой функцией типа Неймана—Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(.), и пусть, кроме того,

♦функция u′(x) положительна и убывает;

♦доходности активов (статистически) независимы;80

♦ограничение α0 >0 несущественно;

♦выполнены условия регулярности, обеспечивающие, что производная математического ожидания равна математическому ожиданию производной.

Тогда любой актив k K, ожидаемая доходность которого выше доходности безрискового актива (Er~k > r0) войдет в портфель, т.е. αk > 0.

Доказательство.

Как мы видели ранее, условие первого порядка для задачи инвестора имеет вид (постоянный множитель ω> 0 можно сократить)

E[u′(x~)(r~k – r0)] <0, k ≠0,

Предположим, что αk = 0, k ≠0 (k-й актив не входит в портфель). При этом величины r~k и x~ должны быть между собой независимы (x~ зависит только от доходностей остальных активов). Следовательно, r~k и u′(x~) также независимы (функции от независимых случайных величин тоже независимы). Воспользовавшись тем, что математическое ожидание произ-

79Samuelson, Paul A. "General Proof that Diversification Pays", Journal of Financial and Quantitative Analysis, 2 (1967), 1-13.

80В модели Марковица достаточно некоррелированности (см. ниже).

256

257

ведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, получим, что

Er~kEu′(x~) <r0Eu′(x~).

Так как Eu′(x~) > 0, то Er~k <r0. Следовательно, если Er~k > r0, то не может быть αk = 0, т.е. такой актив войдет в портфель.

*

Если несколько преобразовать условие первого порядка, можно привести интересную его интерпретацию.

По определению ковариации для двух случайных величин ξ и η выполнено

E(ξη) = Cov(ξ,η) + E(ξ)E(η).

С учетом этого соотношения условия оптимальности (если k-й актив вошел в портфель,

т.е. αk > 0),

E[u′(x~)r~k] = r0Eu′(x~).

можем записать в виде

Cov(u′(x~), r~ )

Er~k = r0 – Eu′(x~) k .

Второе слагаемое этого выражения — величина

Cov(u′(x~), r~k)

– Eu′(x~)

представляет собой превышение ожидаемой доходности k-го актива над доходностью безрискового актива и носит название премии за риск.

Заметим, что полученное соотношение означает, что включение актива в оптимальный портфель определяется не только его средней доходностью, но и величиной корреляции его доходности с доходностью всего портфеля. Премия за риск является положительной, если доходность актива и доходность портфеля положительно коррелированны. Это объясняется тем, что если доходность актива и доходность портфеля положительно коррелированны, то доходность актива и предельная полезность отрицательно коррелированны, поскольку предельная полезность у рискофоба является убывающей функцией. Следовательно, такой актив включается в оптимальный портфель, только если он характеризуется положительной премией за риск.

С другой стороны, премия за риск является отрицательной, если доходность актива и доходность портфеля отрицательно коррелированны. Такой актив может входить в оптимальный портфель, несмотря на то, что он характеризуется отрицательной премией за риск. Этот феномен называется хеджированием. Так, например, у страховых полисов ожидаемая чистая доходность, как правило, меньше нуля, но они часто включаются в портфель рискофоба, так как их доходность отрицательно коррелирует с ожидаемым доходом от портфеля.

Задачи

18. Пусть инвестор с полезностью типа Неймана—Моргенштерна сталкивается с m активами один из которых — гарантированный, с возможностью кредита. Какие достаточные условия гарантируют, что все рискованные активы войдут в портфель?

257

258

19. Пусть инвестор с элементарной функцией полезности u(x) = ln x имеет возможность вложить свое богатство ω в n рискованных активов с ожидаемыми доходностями -ri = 1 + 1/i, и в гарантированный актив с доходностью r0 = 1,1. Укажите гипотезы и условия на параметры, при которых все рискованные активы войдут в портфель.

20. Инвестор со строгим неприятием риска выбирает, какую долю капитала оставить в безрисковой форме с доходностью r0, а сколько вложить в рискованные активы двух типов со средними доходностями -r1 > r0, -r2 > r0. Пусть функция полезности инвестора типа Неймана—Моргенштерна и возможен кредит в банке, а доходность рискованных активов вероятностно независима.

Какие из перечисленных исходов возможны а) все три актива войдут в портфель;

б) только один рискованный и один безрисковый войдут; в) только два рискованных войдут в портфель?

21. Инвестор выбирает, какую долю α своего капитала K вложить в рискованный актив, а какую долю — в безрисковый.

(A)Пусть его элементарная функция полезности равна u(x) = – e–γx (γ> 0). Докажите, что независимо от величины капитала инвестор вложит в рискованный актив одну и ту же

сумму (αK).

(B)Пусть u(x) = xγ (0 < γ< 1), u(x) = – x–γ (γ> 0) или u(x) = ln x. Докажите, что независимо от величины капитала инвестор вложит в рискованный актив одну и ту же долю капитала (α).

22. Пусть на рынке доступны лишь два актива — рискованный и безрисковый. Как изменяется величина вложений в рискованный актив при росте суммы инвестиций, если предпочтения инвестора представляются функцией полезности Неймана—Моргенштерна с элементарной функцией полезности u( )?

Решить задачу при

23.Инвестор имеет элементарную функцию полезности u = x3. Состояния мира A и B мо-

гут осуществиться с вероятностями µA = 2/3 и µB = 2/3. Инвестор может вложить свои 10 единиц капитала в два предприятия. Доход двух предприятий в двух состояниях мира равен: x1A = 1, x2A = 2, x1B = 4, x2B = 3. Найдите оптимальный портфель.

24.Известно, что рискованный актив дает доход, равный 2 в первом состоянии мира (с вероятностью 1/2) и β во втором состоянии мира, а безрисковый — 1 (вне зависимости от состояния). Известно, что инвестор выбрал портфель, содержащий оба актива в положи-

тельных количествах. Определите интервал, в котором может лежать β, если предпочтения инвестора характеризуются функцией Бернулли u(x) = ln x.

258

259

25. Известно, что рискованный актив дает доход, равный 2 в первом состоянии мира (с вероятностью 1/2) и 10 во втором состоянии мира, а безрисковый — β (вне зависимости от состояния). Известно, что инвестор выбрал портфель, содержащий оба актива в положительных количествах. Определите интервал, в котором может лежать β, если предпочтения инвестора характеризуются функцией Бернулли u(x) = ln x.

26. Известно, что рискованный актив дает доход, равный 4 в первом состоянии мира (с вероятностью β) и 1 во втором состоянии мира, а безрисковый — 2 (вне зависимости от состояния). Известно, что инвестор выбрал портфель, содержащий оба актива в положительных количествах. Определите интервал, в котором может лежать β, если предпочтения инвестора характеризуются функцией Бернулли u(x) = ln x.

27. Известно, что рискованный актив дает доход, равный 4 в первом состоянии мира (с вероятностью 1/4) и β во втором состоянии мира, а безрисковый — 1 (вне зависимости от состояния). Известно, что инвестор выбрал портфель, содержащий только безрисковый актив в положительном количестве (отрицательные количества невозможны). Определите интервал, в котором может лежать β, если предпочтения инвестора характеризуются функцией Бернулли u(x) = ln x.

28. [Аткинсон, Стиглиц] Инвестору доступны не приносящий дохода безрисковый актив и рискованный актив, причем норма доходности рискового актива зависит следующим образом в зависимости от некоторой базовой нормы доходности r~ и параметра τ [0; 1]:

(а) r~1 = (1 – τ)r~;

(б) r~1 = r~+ τ(r~– r-), где r-= E(r~).

Как меняется структура оптимального портфеля инвестора-рискофоба в зависимости от параметра τ? Проинтерпретируйте полученные результаты.

Проиллюстрируйте анализ для простого случая, когда есть всего два состояния природы, на диаграмме (в системе координат «богатство в первом состоянии» — «богатство во втором состоянии»)81.

29. [Аткинсон, Стиглиц] Докажите, что в ситуации, когда инвестору доступны приносящий доход безрисковый и рискованный активы, налог на валовой доход от портфельных инвестиций увеличивает (уменьшает, оставляет постоянным) частный риск (т.е. дисперсию доходности оптимального портфеля), если эластичность по доходу спроса на рискованный актив положительна (отрицательна, постоянна). Проиллюстрируйте его графически для случая двух состояний природы.

Сравнительная статика решений в условиях неопределенности

В этом параграфе мы попытаемся ответить на следующие вопросы, относящиеся к сравнительной статике инвестиционного поведения

81 Это упражнение опирается на методы сравнительной статики, которые используются в анализе влияния налогообложения на инвестиционные решения.

259

260

—какие условия на предпочтения инвестора гарантируют рост вложений в рискованную часть портфеля при росте величины суммарных инвестиций;

—какие условия на предпочтения двух инвесторов гарантирую большую величину вложений в рискованную часть портфеля одного из них при равных величинах суммарных инвестиций;

—какие свойства двух лотерей гарантируют, что одну их них всегда предпочитает любой другой инвестор, предпочтения которого представляются функцией полезности Ней- мана—Моргенштерна.

Ответ на первые два вопроса формулируется в терминах характеристик отношения к риску, к анализу которых мы переходим.

Рассмотрим лотерейный билет, которой приносит чистый выигрыш ε1 с вероятностью µ и ε2 с вероятностью 1 – µ. Обозначим соответствующую случайную величину через ε~. Потребитель, располагающий суммой денег ω, приобретет этот лотерейный билет, если лотерея, описываемая случайной величиной x~= ω+ ε~, предпочитается вырожденной лотерее, дающей ω с вероятностью 1, т.е.

E(u(ω+ ε~)) >u(ω).

или

µu(ω+ ε1) + (1 – µ)u(ω+ ε2) >u(ω).

Обозначим множество всех таких лотерейных билетов (ε1, ε2) (которые потребитель согласен приобрести) через E(ω).

Изобразим на плоскости (ε1, ε2) множество E(ω). Потребителю выгодно приобрести любой лотерейный билет, представленный точкой из I квадранта, и не выгодно приобретать любой лотерейный билет, представленный точкой из III квадранта. Выгодность приобретения билетов, представленных точками из II и IV квадрантов зависит, в частности, от отношения к риску рассматриваемого потребителя. Если элементарная функция полезности u( ) вогнута, то множество E(ω) выпукло. (Докажите это.)

ε2

E(ω)

ε1

ε2(ε1)

Рисунок 55. Лотерейные билеты, которые потребитель готов приобрести

Для любой лотереи, лежащей на границе этого множества, выполняется:

Это уравнение задает зависимость ε2 = ε2(ε1) в виде неявной функции. Стандартные свойства элементарной функции полезности и условие µ< 1 гарантируют существование такой функции и ее дифференцируемость. Подставим ε2 = ε2(ε1) в (1) и продифференцируем по ε1 в точке 0. Используя, тот факт, что ε2(0) =0 получим

260