Бусыгин

341

Из условий первого порядка для блага k0 получим

λi = ∂ui(x^,σy^k0)/∂xik0 i I,

µj = – ∂gj(y^,σx^k)/0 ∂yjk0 j J.

Кроме того, для потребителя i0 соотношение ∂L/∂xi0k0 = 0 можно записать в виде

∂ui0(x^, y^) σ ∂xi0k0 = k0.

Следовательно, σk0 > 0. (Таким образом, множители Лагранжа λi и µj все положительны). Произведя подстановку, получим следующую дифференциальную характеристику Паре- то-границы в экономике с экстерналиями:

Из (7) в частности, для каждой пары потребителей, i1 и i2, и любого блага k выполнено

Аналогичное соотношение справедливо для любой пары экономических субъектов, потребителей или производителей.

Сравним полученную дифференциальную характеристику Парето-оптимальных состояний для экономики с экстерналиями с дифференциальной характеристикой рыночного равновесия

(p-, x-, y-)

в этой экономике (в предположении, что такое равновесие существует). Как и выше, будем предполагать, что существует благо k0, такое что выполнены условия ( ).

Здесь мы делаем обычное для моделей с экстерналиями предположение, что экономические субъекты считают экстерналии, которые на них влияют, фиксированными (экзогенными, величина которых не зависит от их решений). Таким образом, экономический субъект максимизирует свою целевую функцию только по «своим» переменным.

Так, i-й потребитель максимизирует полезность по своему потребительскому набору xi. Задача потребителя имеет вид:

ui(xi, x–i, y) → max xi pxi < βi,

xi Xi.

А j-й производитель максимизирует прибыль, выбирая объем производства yj, т.е. решает следующую задачу:

pyj → max yj gj(yj, y–j, x) >0.

Как несложно показать, цена блага k0 во внутреннем равновесии положительна. Дифференциальная характеристика рыночного равновесия имеет привычный вид:

341

Отсюда следует, что для любой пары потребителей, i1 и i2, выполнено

Сравнивая дифференциальные характеристики равновесия и Парето оптимума, мы видим, что левая часть соотношения (10) является одним из слагаемых левой части соотношения

(9). То же самое можно сказать про правые части. Из общих соображений трудно ожидать, что одно из этих соотношений влечет за собой другое. Вполне может оказаться, что эти две дифференциальные характеристики несовместны. Несовместность дифференциальных характеристик означала бы, что справедливо утверждение, противоположное по смыслу теоремам благосостояния, то есть аналоги теорем благосостояния для такой экономики были бы неверны.

С другой стороны, сложно выявить достаточно общие условия, которые гарантировали бы, что дифференциальные характеристики рыночного равновесия и Парето-оптимума несовместны в экономике с экстерналиями. Это связано с тем, что деятельность любого экономического субъекта в общем случае может влиять на любого другого экономического субъекта, и структура взаимосвязей в экономике с экстерналиями может быть слишком сложной, чтобы позволить делать однозначные выводы. По-видимому, нельзя обойтись без того, чтобы предположить некоторого рода «регулярное» поведение производных по экстерналиям. Следующая теорема использует один из возможных наборов таких предположений (несомненно, эти предположения можно было бы ослабить).

Теорема 1.

Пусть (x, y) — допустимое состояние экономики с экстерналиями такое, что xi int(Xi)i, функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Пусть, кроме того,

• существует благо k0, для которого выполнены условия ( );

• все экстерналии, связанные с объемом производства производителем j* блага k* (yj*k*), неотрицательные в том смысле, что

∂ui(x, y) > 0, i,

∂yj*k*

∂gj(x, y) > 0, j ≠j*,

∂yj*k*

причем хотя бы одно неравенство строгое;

• потребление хотя бы одним потребителем i0 блага k* (xi0k*) не порождает внешние влияния, т.е. k* Ei0.

Тогда следующие два утверждения не могут быть верными одновременно:

1)Существуют цены p и распределение собственности, такие что (p, x, y) — рыночное равновесие этой экономики.

2)Состояние (x, y) — Парето-оптимум этой экономики.

342

343

Доказательство.

Пусть рассматриваемое состояние является Парето-оптимальным. Тогда для k = k* и j =j* выполняется соотношение (8). Поскольку мы предположили, что экстерналии, связанные с yj*k*, положительные, и, кроме того, производные, связанные с благом k0, ∂ui/∂xik0 и ∂gj/∂yjk0 положительны и отрицательны соответственно, то сумма «экстернальных слагаемых» в левой части уравнения (8) больше нуля. Это означает, что

∂gj*(y, x)/∂yj*k* σk* ∂gj*(y, x)/∂yj*k0 < σk0.

Кроме того, для k = k* и i =i0 в уравнении (7) по предположению нет слагаемых, связанных с экстерналиями, т.е. его можно записать в виде

∂gj*(y, x)/∂yj*k* ∂ui0(x, y)/∂xi0k*. ∂gj*(y, x)/∂yj*k0 < ∂ui0(x, y)/∂xi0k0

С другой стороны, если бы рассматриваемое состояние было равновесием, то в нем то же самое соотношение должно было бы выполняться как равенство:

∂gj*(y, x)/∂yj*k* ∂ui (x, y)/∂xi k*. ∂gj*(y, x)/∂yj*k = ∂ui0(x, y)/∂xi0k

0 0 0 0

Отсюда следует доказываемое утверждение о том, что (x, y) не может быть одновременно равновесием и Парето-оптимумом.

*

Замечание.

В данной теореме мы предположили, что экстерналии положительны, связаны с производством, и существует потребитель, потребление которым того же блага не создает экстерналий. Все эти три предположения можно изменить, то есть рассмотреть отрицательные экстерналии и/или экстерналии, связанные с потреблением, и/или предположить существование производителя, производство которым того же блага не создает экстерналий. Теорема при этом остается верной. Доказательство проводится аналогично.

Замечание.

Хотя теорема одна, но она противоположна обеим теоремам благосостояния. Ее можно переформулировать двумя способами:

1)Равновесие в экономике с экстерналиями не может быть Парето-оптимальным.

2)Парето-оптимум в экономике с экстерналиями нельзя реализовать как рыночное равновесие (ни при каких ценах и распределении доходов).

Неоптимальность равновесия (p-, x-, y-) в условиях Теоремы 1 можно подтвердить также, подобрав Парето-улучшение — другое допустимое состояние экономики, (x~, y~), которое доминирует по Парето состояние (x-, y-). При этом Парето-улучшение (x~, y~) мы можем подобрать так, что в нем производство положительных экстерналий yj*k* строго больше, чем в рассматриваемом равновесии.

343

344

Если же все экстерналии связанные с некоторой переменной yj*k* отрицательные, то аналогичным образом можно подобрать Парето-улучшение так, что в нем производство экстерналий строго меньше, чем в рассматриваемом равновесии. Верны и аналогичные утверждение для благ, вызывающих экстерналии в потреблении. Доказательство этих утверждений мы опускаем, проиллюстрировав их для конкретных примеров экономик с экстерналиями.

Проиллюстрируем проведенный анализ частным случаем экономики с экстерналиями. Пример 2. [Маленво]( Общее равновесие; экстерналии в производстве)

Рассмотрим экономику с 3 товарами, 1 (репрезентативным) потребителем и 2 производителями. Производитель j = 1, 2 производит только j-ый продукт, используя единственный производственный фактор — труд. Будем обозначать объемы производства y1 и y2, а затраты труда — a1 и a2 соответственно.115 Будем предполагать также, что технологии представимы явными производственными функциями следующего вида:

y1 <f1(a1, y2), y2 <f2(a2, y1).

то есть выпуск каждого блага при тех же затратах труда зависят от выпуска другого блага, что означают имеют место экстерналии.

Предпочтения потребителя заданы функцией полезности u(x1, x2, x3), зависящей от объемов потребления двух производимых в данной экономике благ, x1 >0 и x2 >0, и досуга x3 > 0. Потребитель обладает только запасом ω 3-го блага (времени).

Функция полезности и производственные функции в дифференцируемы. Кроме того, производные этих функций везде имеют «естественные» знаки, а именно:

Балансовые ограничения в рассматриваемой экономике имеют вид:

y1 = x1,

y2 = x2,

a1 + a2 + x3 = ω.

Парето-оптимальные состояния данной экономики116,

(x^1, x^2, x^3, y^1, y^2, a^1, a^2),

должны быть решениями следующей задачи:117

u(y1, y2, ω– a1 – a2) → max(y1, y2, a1, a2)

y1 <f1(a1, y2), y2 <f2(a2, y1),

115Заметим, что мы здесь отошли от стандартного представления производства в терминах чистых выпусков и несколько упростили обозначения, т.е. перешли к новым переменным: yj = yjj (j = 1, 2), aj = –yj3.

116Скорее всего, для конкретных функций в рассматриваемой экономике будет только одно Парето-опти- мальное состояние. Но это нам в данном случае не важно.

117Данная задача получена на основе конкретизации для данной экономики характеристики Паретооптимума и замены переменных.

344

345

y1 >0, y2 >0, a1 + a2 <ω.

Задача, характеризующая Парето-оптимум, здесь одна, т.к. потребитель один. Лагранжиан этой задачи имеет вид:

L(y1, y2, a1, a2, µ1, µ2) =

= u(y1, y2, ω– a1 – a2) + µ1(f1(a1, y2) – y1) + µ2(f2(a2, y1) – y2)

Будем предполагать, что решения этой задачи внутренние. Тогда Парето-оптимальное состояние можно охарактеризовать следующими соотношениями:

Поскольку предельный продукт труда положителен, можно записать множители Лагранжа как

и получить следующую характеристику Парето-оптимума:

Или, разделив на положительную предельную полезность досуга ∂u/∂x3,

Теперь охарактеризуем рыночные равновесия в данной экономике, при которых все блага потребляются в положительных количествах (внутренние равновесия). Пусть

(p1, p2, p3, x-1, x-2, x-3, -y1, -y2, a-1, a-2) —

равновесие. Выпуск -yj и затраты труда a-j являются решением следующей задачи (максимизации прибыли j-го производителя):

πj = pjfj(aj, -y–j) – p3aj → maxaj.

Поэтому в равновесии

345

346

то есть предельные нормы трансформации равны отношениям цен.

С другой стороны, функция Лагранжа для задачи потребителя имеет вид

L = u(x1, x2, x3) + λ(β– (p1x1 + p2x2 + p3x3)).

Дифференцируя ее по x1, x2 и x3 и упрощая полученные условия первого порядка, получим обычную характеристику потребительского набора (x-1, x-2, x-3) — равенство отношения предельных полезностей отношению цен:

Если хотя бы одна из производных ∂f1/∂y2 и ∂f2/∂y1, характеризующих предельный эффект внешнего влияния, в состоянии равновесия, не равна нулю, то сравнивая дифференциальные характеристики, мы можем сделать вывод, что равновесие не может быть Паре- то-оптимальным, и, наоборот, Парето-оптимум невозможно реализовать как равновесие.

∂f /∂y

Величины ∂ j ∂ –j, на которые отличаются характеристики равновесия и Парето-опти- fj/ aj

мума, показывают (в случае положительных экстерналий), сколько труда можно «сэкономить» при производстве данного блага при увеличении на «малую единицу» производства другого блага. Рассчитывая оптимальный объем затрат труда, производитель не учитывает этот эффект.

Из сопоставления ее с характеристикой равновесия можно заключить:

При выполнении условия ∂fj/∂y–j = 0 в состоянии рыночного равновесия характеристика равновесия будет иметь такой же вид, как и характеристика Парето-оптимального состояния. Но поскольку обе эти характеристики представляют необходимые условия, из этого факта нельзя заключить без дополнительных предположений, что равновесие Паретооптимально. Стандартный подход в доказательстве оптимальности рыночного равновесия опирается предположение о вогнутости производственных функций и функции полезности. Однако предположение о вогнутости производственных функций по «чужой» переменной (экстерналиям) представляется произвольным и ему нельзя дать столь же естественной интерпретации, как вогнутости по «своей» переменной.

Проиллюстрируем утверждение о неоптимальности производства благ в данном примере, указав в явном виде Парето-улучшение для равновесного состояния. Построим это в дифференциалах — малый допустимый сдвиг

(dx1, dx2, dx3, dy1, dy2, da1, da2).

из точки равновесия, который бы повышал полезность потребителя.

Чтобы искомый сдвиг был допустимым, он не должен нарушать балансовые и производственные ограничения. Соответствующие условия получаем дифференцированием этих ограничений:

dy1 = dx1,

dy2 = dx2,

346

347

da1 + da2 + dx3 = 0.

Подставим dxk, выраженные через dyj:

Учитывая дифференциальную характеристику равновесия, получим, что

Если хотя бы одна из производных ∂f1/∂y2 и ∂f2/∂y1 не равна нулю, то можно подобрать изменения объемов производства dy1 и dy2 так, что полезность потребителя увеличится (du > 0). Это означает, что соответствующее изменение объемов производства определяет Парето-улучшение. Так, если, например, ∂f1/∂y2 = 0 (случай одностороннего внешнего влияния), то если ∂f2/∂y1 > 0 (случай положительных внешних влияний), то следует dy1 > 0, т.е. локальное Парето-улучшение связано с увеличением производства блага, вызывающего положительные экстерналии в производстве другого блага. Это можно интерпретировать как локально недостаточное производство положительных экстерналий.

Остается открытым вопрос: является ли производство в равновесии недостаточным по сравнению также и с Парето-оптимальным состоянием экономики, т.е. верно ли y-1 < y^1? Ответить на этот вопрос можно только при дополнительных предположениях относительно рассматриваемой экономики.

Покажем, что предположение о том, что равновесие внутреннее, существенно для истинности утверждения Теоремы 1.

Пусть в равновесии x-3 = 0. Тогда в равновесии выполнено следующее соотношение

347

348

В оптимальном состоянии

Эти две характеристики совпадут, если

Нетрудно придумать конкретные функции, для которых данная характеристика будет достаточным условием Парето-оптимальности, так что равновесие окажется Парето-опти- мальным.

Подчеркнем, что и условие дифференцируемости функций полезности и производственных функций существенны для справедливости Теоремы 1.

Существуют также и опровергающие примеры с взаимокомпенсацией экстерналий, когда часть экстерналий, связанных с некоторой переменной положительные, а часть отрицательные.

Возможная неэффективность рыночного равновесия в экономике с экстерналиями часто служит обоснованием государственного регулирования экономики. Существуют два основных способа такого регулирования: прямое — количественные ограничения на производство и потребление благ, вызывающих экстерналии, и непрямое — налогообложение таких благ. Рассмотрим эти способы подробнее.

Задачи

6.При доказательстве неоптимальности нерегулируемого равновесия в экономике с экстерналиями условие внутренности равновесия используется для того, чтобы ...

7.Пусть в экономике обмена есть два потребителя и два блага. Функция полезности второго потребителя зависит от уровня собственного потребления, а также от уровня полезности первого потребителя. Найдите и сопоставьте дифференциальные характеристики внутреннего равновесия и внутреннего Парето-оптимума.

8.Для следующих трех экономик

-запишите дифференциальную характеристику Парето-оптимума,

-запишите дифференциальную характеристику равновесия,

-предложите Парето-улучшение в дифференциалах.

(A)[Маленво] В экономике с 2 благами, 2 потребителями и 1 фирмой потребление первого блага является престижным и вызывает зависть у другого потребителя (т.е. имеют место отрицательные экстерналии, связанные с потреблением этого блага). Таким образом,

функции полезности имеют вид u(x11, x12, x12) и u(x21, x22, x11). Технология фирмы позволяет производить из единицы второго блага единицу первого блага.

(B)В экономике с двумя благами, предпочтения потребителей i = 1, ..., m заданы функциями полезности

348

349

m

ui(xi, Ûxs, yi).

s=1

Имеется технология, по которой из единицы блага x можно произвести единицу блага y, и наоборот.

(C) В экономике с двумя благами, 1 потребителем и n фирмами технологии фирм описываются неявными производственными функциями: gj(yj1, yj2) >0. Полезность потребителя зависит от суммарного объема производства 1-го блага:

n

ui(x1, x2, Ûyi1).

j=1

Равновесие с квотами на экстерналии

Определение 2.

Назовем квотой ограничение на производство блага каким-либо производителем или потребление блага каким-либо потребителем вида xik = x~ik или yjk = y~jk.

В дальнейшем будем обозначать через Qi множество благ k, таких что на величину xik их потребления i-м потребителем установлена квота. Аналогично будем обозначать через Qj множество благ k, таких что на величину yjk их производства j-м производителем установлена квота.

При наличии квот задача потребителя i модифицируется следующим образом:

xi Xi.

Соответственно при наличии квот задача производителя j имеет вид:

g(yj, y–j, x) >0.

Введем также обозначение x~ = {x~ik | k Qi} и y~ = {y~jk | k Qj}.

Определение 3.

Назовем (p-, x-, y-) равновесием с квотами (x~, {Qi}i, y~,{Qj}j) и трансфертами S (Ûi Si = 0), если

x-i — решение задачи потребителя (11) при x–i = x-–i, y= y-, ценах p-, доходах

βi = p-ωi + Ûγij p-y-j + Si

j J

и квотах, определяемых x~ и Qi;

y-j — решение задачи производителя (12) при x= x-, y–j = y-–j, ценах p- и квотах, определяемых y~ и Qj;

(x-, y-) — допустимое состояние, т.е.

Û(x-ik – ωik) = Û-yjk k K.

349

350

Для этого равновесия верен аналог второй теоремы благосостояния, т.е. утверждение о том, что Парето-оптимум экономики с экстерналиями можно реализовать как равновесие.

Теорема 2.

Пусть (x^, y^) — Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями с Xi = Êl+. Предположим также, что

•x^ik > 0 i, k Ei;

•функции полезности ui(x, y) дифференцируемы по переменным xik, k Ei; производственные функции gj(y, x) дифференцируемы по переменным yjk, k Ej;

• существует благо k0, для которого выполнены условия ( );

• функции ui(x, y) вогнуты по переменным xik, k Ei; функции gj(y, x) вогнуты по переменным yjk, k Ej.

Тогда существуют цены p, множества квотируемых благ Qi и Qj, квоты x~, y~, и трансферты S, такие что (p, x^, y^) является равновесием с квотами. При этом множества квотируемых благ можно выбрать так, что Qi = Ei и Qj = Ej.

Доказательство.

Ограничимся схемой доказательства. В предположениях теоремы выполнены условия регулярности, и можно воспользоваться теоремой Куна—Таккера того, чтобы охарактеризовать Парето-оптимум (x^, y^). В качестве цен благ возьмем множители Лагранжа для балан-

совых ограничений σk. В качестве множеств Qi и Qj квотируемых благ выберем любые множества благ, содержащие все блага из Ei и Ej соответственно. Квоты установим в соответствии с рассматриваемым оптимальным состоянием, т.е. x~ik = x^ik k Qi и y~jk = y^jk

k Qj.

Далее доказывается, что x^i является решением задачи (11) при данных ценах и квотах и доходах βi= px^i. Действительно, точка x^i является допустимой в этой задачи и в ней выполнены условия первого порядка, что следует из выполнения условий первого порядка для оптимума Парето:

λi∂ui∂(x^, y^) = σk i k Ei.

xik

Условия первого порядка в данном случае являются достаточными условиями оптимальности. Аналогичным образом доказывается, что y^j является решением задачи (12).

Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S, такие что (p, x^, y^, x~, y~, S) является равновесием с квотами. Трансферты следует подобрать так, чтобы с их учетом доходы потребителей были равны расходам, т.е. βi= px^i. Требуемыми трансфертами являются величины

Si = px^i – p ωi + Ûγij py^j.

j J

Несложно проверить, что сумма этих величин равна нулю.

*

Замечание.

350