Бусыгин

Далее доказывается, что (x^, y^) является решением задачи (19) при данных ценах и таких доходах, которые в точности покрывают расходы на приобретение набора (x^, y^) обычных благ и экстерналий, т.е.

Действительно, точка (x^, y^) является допустимой. Поскольку задача каждого потребителя является выпуклой, то для доказательства этого факта достаточно установить, что при этом выполняются условия первого порядка.

Условия первого порядка Парето-оптимума можно переписать следующим образом:

νi условия первого порядка (21) следуют из определения цен qsik, qjik.

Аналогичным образом доказывается, что (y^, x^) является решением задачи (22) при данных ценах.

Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S. Легко видеть, что требуемыми трансфертами являются величины

Si = βi – p ωi – Ûj γij πj(p, q, y^, x^),

где βi определены выше. Читатель может проверить, что их сумма равна нулю.

*

Замечание.

Теорема верна и без условия дифференцируемости. При этом условие ( ) заменяется на предположение о локальной ненасыщаемости.

Поскольку в модели с торговлей экстерналиями система рынков оказывается полной, справедлива первая теорема благосостояния.

Теорема 6.

Пусть (p-, q-, x-, y-, S) — равновесие с торговлей экстерналиями и предпочтения потребителей локально ненасыщаемы. Тогда состояние этой экономики ( x-, y-) Паретооптимально.

361

362

Доказательство.

Доказательство этой теоремы фактически повторяет доказательство первой теоремы экономики благосостояния для «обычной» экономики.

*

Связь между ценами экстерналий и налогами на экстерналии устанавливают следующие два утверждения, показывающие, что на основе любого равновесия с торговлей можно построить равновесие с налогами с теми же ценами обычных благ и налогами, равными сумме цен соответствующих экстерналий. Указанная связь задается следующим правилом:

Теорема 7.

Пусть (p-, q-, x-, y-) — равновесие с торговлей экстерналиями.

Тогда существуют трансферты, такие что (p-, x-, y-) — равновесие с налогами (tI,{Ei}i, tJ,{Ej}j), где ставки налогов задаются правилом ( ) при q= q-.

Доказательство.

Для доказательства теоремы достаточно проверить, что

(i) x-i — решение задачи (13) при ценах p-, налогах, определяемых tI, Ei, доходах

βi = Û-pk x-ik + Û(p-k+ tik)x-ik

k Ei k Ei

и объемах потребления и производства других экономических субъектов x-–i, y-.

(ii)y-j — решение задачи (16) при ценах p-, налогах, определяемых tj, Ej, и объемах производства и потребления других экономических субъектов y-–j, x-.

(iii)Трансферты следует выбрать равными «бюджетным дефицитам» потребителей, а затем доказать, что сумма трансфертов равняется сумме собранных налогов

Û Ûtikx-ik + Û Ûtjk-yjk.

Доказательство пунктов (i) и (ii) основывается на том факте, что если (x-1, x-2) является решением следующей задачи оптимизации

f0(x1, x2) → max x1,x2 (x1, x2) X,

то x-1 является решением редуцированной задачи f0(x1, x-2) → max x1

(x1, x-2) X.

Справедливость пункта (iii) — следствие определения трансфертов и налогов tik, tjk и того факта, что в равновесии с торговлей экстерналиями бюджетные ограничения выходят на равенство.

362

363

*

Для справедливости обратного утверждения существенным является предположение о том, что равновесие с налогами Парето-оптимально.

Теорема 8.

Пусть (p-, x-, y-) — равновесие с налогами (tI,{Pi}i, tJ,{Pj}j) и трансфертами S, причем состояние экономики (x-, y-) Парето-оптимально.

Предположим также, что

•выполнены условия Теоремы 4 (ii);

•функции полезности ui(x, y) и производственные функции gj(y, x) вогнуты.

Тогда существуют цены q экстерналий и трансферты S′ такие, что (p-, q, x-, y-) — равновесие с торговлей экстерналиями. При этом q удовлетворяют правилу ( ).

Доказательство.

Так как (x-, y-) — Парето-оптимальное состояние экономики, то по Теореме 5 существуют цены благ p, цены экстерналий q и трансферты S такие, что (p, q, x-, y-) — равновесие с торговлей экстерналиями.

Возьмем произвольное благо k ≠ k0. По предположению теоремы существует экономический субъект, потребление (производство) которым этого блага не облагается налогом. Предположим, например, что это потребитель i. (Для случая, если таким экономическим субъектом является производитель, рассуждения аналогичны, что читателю предлагается проверить самостоятельно). Сопоставляя условия первого порядка задачи потребителя i в равновесии с налогами и в равновесии с торговлей экстерналиями заключаем, что

pk = -pk . pk0 p-k0

Без потери общности можно считать, что p= p-, поскольку цены в равновесии определяются с точностью до множителя.

В соответствии с Теоремой 4 (ii) верно правило Пигу (T).

Воспользовавшись условиями первого порядка задач потребителя и производителя в равновесии с торговлей экстерналиями,

мы можем переписать соотношения Пигу, учитывая, что часть слагаемых в них равна нулю, в виде ( ).

*

Пример 4 (продолжение Примеров 2 и 3)

Пусть в экономике Примера 2 происходит торговля экстерналиями между предприятиями. Обозначим через q1 и q2 цены на экстерналии, связанные с выпуском продукции 1-м и 2-м предприятием соответственно. Охарактеризуем внутренние равновесия с торговлей экстерналиями. Задача максимизации прибыли j-го производителя имеет следующий вид:

363

364

πj = (pj – qj) fj(aj, y–j) – p3aj + q–jy–j → max aj,y–j.

Дифференцируя по aj и y–j, получаем условия первого порядка для решения этой задачи:

Вид условий первого порядка задачи потребителя не изменится:

Исключая из дифференциальной характеристики равновесия цены, получим соотношения, совпадающие с дифференциальной характеристикой Парето-оптимума:

Заметим, что если налоги вычисляются на основе равновесия с торговлей экстерналиями, то они совпадают с ценами экстерналий. Более того, если предпочтения потребителя строго выпуклы, то налоги Пигу и цены экстерналий совпадают всегда, так как Паретооптимальное состояние в такой экономике единственно.

Задачи

16. Для экономик из задачи 7. Пусть в экономике обмена есть два потребителя и два блага. Функция полезности второго потребителя зависит от уровня собственного потребления, а также от уровня полезности первого потребителя. Найдите и сопоставьте дифференциальные характеристики внутреннего равновесия и внутреннего Парето-оптимума.

8 охарактеризуйте равновесие с торговлей экстерналиями. Будет ли оно Парето-оптималь- ным?

Альтернативная модель экономики с экстерналиями

В рассмотренной выше модели экономики с экстерналиями вешние влияния связаны непосредственно с объемами потребления и производства благ. Зачастую, однако, такие воздействия определяются не только объемами, но и способами производства и потребления таких благ. Так, объем загрязнения окружающей среды выхлопными газами определяется не только количеством автомобилей в данной местности, но и тем, как часто их используют их владельцы, типом двигателя, средней скоростью передвижения и т.д. Такие характеристики поведения экономических субъектов не всегда возможно учесть в предложенном выше подходе к моделированию экстерналий.

Альтернативный подход к моделированию внешний влияний состоит в следующем:

Введем для каждого экономического субъекта вектор дополнительных переменных, описывающих характеристики процесса потребления и производства благ, вызывающие экстерналии (или, для краткости, вектор экстерналий) ai Ai и aj Aj.

364

365

Полный набор дополнительных переменных будем обозначать через a. Как и ранее, обозначим через a–i (a–j) вектор экстерналий, вызываемых всеми остальными экономическими субъектами. Функции полезности и производственные функции в этом случае зависят также и от дополнительных переменных:

ui = ui(xi, ai, a–i), gj = gj(yj, aj, a–j).

Читателю предлагается переформулировать все предыдущие понятия и результаты в данном случае (как и в общем случае, когда внешние влияния вызывают как величинами потребления и производства обычных благ (x–i,y–j) так и характеристиками их потребления и производства a–i. (a–j).

Мы проиллюстрируем данный подход к моделированию экстерналий, введенные понятия и разные типы равновесий несколькими примерами.

Пример 5 (курильщик и некурящий)

Два студента, живущие в одной комнате в общежитии, имеют функции полезности

u1(x1, a) и u2(x2, a),

которые зависят от имеющихся в их распоряжении денег (x1 для первого, x2 для второго) и от количества выкуриваемых первым из них сигарет (a). Второй участник — некурящий, и ∂u2(x2, a)/∂a < 0, а у первого, напротив, ∂u1(x1, a)/∂a > 0, если количество сигарет меньше a` и ∂u1(x1, a)/∂a < 0, если a > a`. Ежедневный доход каждого равен ωi.

Рассмотрим два варианта правил поведения: либо (A) курить в комнате запрещается, без разрешения соседа по комнате, либо (B) признается право курить без ограничения (эту экономику можно проиллюстрировать на ящике Эджворта, см. Рис. 83). При любом из этих правил возможны соглашения-сделки, приводящие к состояниям экономики (например, A′ в случае первого правила и B′ в случае второго), улучшающие благосостояния обоих участников. Поэтому у нас есть все основания ожидать, что в отсутствие явных или неявных запретов (и издержек сделок), два студента достигнут соглашения, в результате которого эта простая экономика окажется в Парето-оптимальном состоянии. Так, в случае A курящий может «купить» у некурящего право выкурить несколько сигарет в день. В случае B, наоборот, курящий может, за соответствующую сумму денег, выкуривать на несколько сигарет меньше (см. Рис. 83 б).

Пример иллюстрирует два момента. Во-первых, когда, как в этом примере, объем экстерналий измерим и издержки сделок несущественны, тогда определение правил поведения и торговля экстерналиями способны решить проблему экстерналий и привести к Паретооптимальным состояниям экономики — устранить «фиаско рынка». В этом случае экстерналии, в сущности, превращаются в обычные товары, то есть возникает рынок экстерналий.

365

366

Во-вторых, с теоретической точки зрения, в отличие от обыденного понимания загрязнения, экстерналии симметричны. Если в варианте B ущерб от наличия экстерналий наносится некурящему, то в варианте A — курильщику.

Заметим, что правила поведения порождают своего рода права собственности. Так, ситуация А подразумевает право некурящего не соглашаться на любой вариант выбора объема экстерналий курильщиком. Ситуация В — право курильщика на выбор любого объема. Эти права собственности можно моделировать в данной и подобной ей ситуациях как право определять объем производства экстерналий одним из экономических субъектов. Так, в ситуации А это право принадлежит некурящему, в ситуации В — курильщику.

Можно рассматривать и более общий случай, когда признается право первого на курение определенного числа сигарет в день. Курить сверх этого «лимита» он может только с согласия некурящего, который заинтересован дать такое разрешение лишь при компенсации нанесенного ему при этом ущерба. При любой такой спецификации прав «начальное состояние» рассматриваемой экономики представляется точкой отрезка, соединяющего точки А и В. Это начальное состояние (и предполагаемое им распределение прав собственности) оказывает влияние на состояние экономики, которое будет достигнуто в результате соглашений между участниками сделки, и, в частности, на состояние рыночного равновесия — результата обмена по равновесным рыночным ценам.

Пример 6 (экономика с однородными экстерналиями)

Рассмотрим экономику с одним типом экстерналий, которые «производят» только производители и «потребляют» только потребители. В этой экономике на уровень благосостояния потребителя не влияет источник экстерналии, а только совокупное производство этих экстерналий, т.е.

ui(xi, a) = ui(xi, Ûaj)

j J

gj(yj, a) = gj(yj, aj),

где aj Aj Ê. Охарактеризуем Парето-оптимальные состояния этой экономики, разные типы равновесий, а также налоги Пигу {tj} и цены экстерналий {qji} (в равновесии с торговлей экстерналиями).

Рассмотрим сначала, Парето-оптимальное состояние экономики (x^, y^, a^), такое что x^i int(Xi), a^j int(Aj). Предположим, что существует благо k0, удовлетворяющее условиям, аналогичным условиям ( ). Дифференцируя функции Лагранжа задач, характеризующих это состояние,

L = Ûλiui(xi, Ûaj) + Ûµj gj(yj, aj) + Ûσk (Ûyjk – Û(xik – ωik)),

получаем следующие условия первого порядка:

366

367

Поскольку для соответствующих задач выполнены условия регулярности, то множители Лагранжа λi и µj положительны.

Из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что

Охарактеризуем теперь обычные рыночные равновесия в этой экономике. Пусть p — цены благ. Тогда задача потребителя, располагающего доходом βi, имеет вид:

ui(xi, a) → max xi pxi < βi,

xi Xi.

Дифференциальная характеристика внутреннего решения этой задачи имеет вид

pyj → max yj,aj

gj(yj, aj) >0, aj Aj .

Дифференциальная характеристика внутреннего (по aj) решения этой задачи имеет вид

∂gj/∂yjk = pk , k. ∂gj/∂yjk0 pk0

∂g

∂ j = 0. aj

Пусть (p-, x-, y-, a-) — равновесие. Тогда если экстерналии одного типа для всех потребителей (только положительные или только отрицательные), то состояние экономики (x-, y-, a-) не оптимально по Парето. Например, если ∂ui/∂a <0 i и неравенство строгое по крайней мере для одного потребителя, то

что не совпадает с дифференциальной характеристикой Парето-оптимальных состояний. В равновесии с налогами должно быть выполнено

Правило Пигу для оптимальных налогов имеет вид

120 Это соотношение в теории общественных благ называют уравнением Самуэльсона (см. следующую главу).

367

368

Отсюда видно, что налоги Пигу одинаковы для всех производителей. С другой стороны, если в равновесии налоги определены этими соотношениями, то равновесие удовлетворяет дифференциальной характеристике Парето-оптимума, что при вогнутости функций полезности и производственных функций гарантирует Парето-оптимальность.

Цены экстерналий в равновесии с торговлей экстерналиями удовлетворяют соотношениям

то есть не зависят от производителя, который создает экстерналии. Другими словами, мы фактически имеем m рынков экстерналий по числу потребителей.

Если равновесие в экономике с налогами и равновесие в экономике с торговлей экстерналиями соответствуют одному и тому же состоянию экономики, то налоги и цены экстерналий связаны соотношениями

Задачи

17. («Курение») Из двух соседей по комнате первый — некурящий, второй — курильщик. Функции полезности имеют вид:

u1 = ln(x1) – z2 ,

u2 = ln(x2) – 0.5z2 + 10z.

Здесь xi — количество денег на другие блага, z — количество выкуренных 2-м сигарет, ωi

— начальные запасы денег.

(1)Предположим, что сигареты «бесплатные», т.е. производятся из денег с нулевыми издержками. Найти равновесие. Построить Парето-улучшение из равновесия (в дифференциалах). Найти Парето-границу.

(2)Пусть теперь сигареты стоят p (т.е. производятся по технологии с постоянной отдачей от масштаба). Найти равновесие и Парето-границу в зависимости от p. При каких значениях p равновесие оптимально?

Экстерналии в квазилинейной экономике

В этом параграфе будем рассматривать квазилинейную экономику с экстерналиями. В этой экономике имеется l + 1 обычных благ. Предпочтения потребителей и технологии фирм описываются функциями следующего вида:121

ui(xi, zi, ai, a–i) = vi(xi, ai, a–i) + zi,

где xi >0, ai Ai а объемы потребления (l + 1)-го (квазилинейного) блага, zi, могут быть произвольными, и

gj(yj, rj, aj, a–j) = rj – cj(yj, aj, a–j),

где, как обычно cj( ) — функция издержек, которая показывает затраты (l + 1)-го блага на производство обычных благ в количестве yj >0 и экстерналий в количестве aj Aj.

121 См. главу, посвященную «классической» квазилинейной экономике.

368

369

Известно, что Парето-оптимальные состояния квазилинейной экономики характеризуются следующей задачей:

W(x, y, a) = Ûvi(xi, a) – Ûcj(yj, a) → max x,y,a

i I j J

Если ((x^, z^), (y^, r^), a^) — Парето-оптимальное состояние экономики, то (x^, y^, a^) — решение данной задачи. Обратно, если (x^, y^, a^) — решение данной задачи, то найдутся числа z^i и r^j, такие что ((x^, z^), (y^, r^), a^) — Парето-оптимум.

Функция W(x, y, a) является индикатором благосостояния данной экономики.

Воспользуемся приведенной характеристикой Парето-оптимальных состояний. Пусть ((x^, z^), (y^, r^), a^) — Парето-оптимум, такой что a^i int(Ai) и a^j int(Aj), а функции полезности и издержек дифференцируемы. Дифференцируя функцию Лагранжа данной задачи,

L = Ûvi(xi, a) – Ûcj(yj, a) + Ûσk (Ûyjk – Ûxik),

получаем следующие условия первого порядка:

Охарактеризуем теперь обычные рыночные равновесия в этой экономике. Пусть p — цены первых l благ. Цену (l + 1)-го блага будем считать равной 1. При этих ценах потребление первых l благ x-i и создание экстерналий a-i потребителем i определяется на основе решения следующей задачи, которая получается из обычной модели поведения потребителя подстановкой бюджетного ограничения с учетом вида функции полезности:

vi(xi, a) – pxi→ max xi>0,ai Ai

Дифференциальная характеристика внутреннего по ai решения этой задачи имеет вид

С учетом формы производственной функции задача производителя приобретает вид:

pyj – cj(yj, a) → max yj>0,aj Aj

369

370

Дифференциальная характеристика внутреннего по aj решения этой задачи имеет вид

Пусть (p, x-, y-, a-) — внутреннее равновесие. Тогда если некоторая экстерналия одного типа для всех потребителей (только положительная или только отрицательная), то состояние экономики (x-, y-, a-) не оптимально по Парето. Этот факт можно установить как и ранее, сравнивая дифференциальные характеристики Парето-оптимальных и равновесных состояний.

Пусть, например, e* Ej* таково, что в этом равновесии

∂∂avj*ie* <0 i и ∂∂acj*je* >0 j ≠j*,

причем по крайней мере одно из этих неравенств строгое. Тогда

Поскольку рассматривается состояние равновесия, то

∂∂cj* = 0.

aj*e*

Таким образом,

Û∂∂vi < Û∂∂cj ,

i I aj*e* j J aj*e*

что означает, что (x-, y-, a-) не Парето-оптимально.

Вообще говоря, для того, чтобы сделать этот вывод, достаточно сделать более слабое предположение, что «предельный эффект» экстерналии, т.е. величина

не равна нулю. Обозначим эту величину через ε.

Укажем также возможные Парето-улучшения для состояния равновесия для данного случая. Пусть ((dx, dz), (dy, dr), da) — дифференциально малое изменение для состояния равновесия, причем

dx= 0, dy= 0, dai = 0 i, daj = 0 j ≠j*, daj*e = 0 e ≠e*.

Тогда эффект изменения производства экстерналии aj*e* на величину daj*e* окажется равным εdaj*e*. Пусть, например, предельный эффект экстерналии aj*e* положителен (ε> 0). Тогда если daj*e* > 0, то величина εdaj*e* положительна. Она представляет собой экономию блага (l + 1) в результате указанного увеличения производства экстерналии e* производителем j*.

Изменение должно быть таким, чтобы новое состояние было допустимым. Это требование определяет соотношения, которым должны удовлетворять изменения. Так, дифференцируя баланс по (l + 1)-му благу, получим

370