Бусыгин

271

(0, r0) и проходящем через (σ1, -r1). Часть луча за точкой (σ1, -r1) соответствует кредиту (α0 > 0). Этот луч — аналог бюджетной прямой для задачи инвестора.

Рисунок 58. Оптимальный портфель в случае двух активов

Оптимальному портфелю на графике соответствует точка, в которой кривая безразличия касается луча. Доли активов в оптимальном портфеле определяются отношением инвестора к риску (параметром γ). Для того, чтобы оптимальный портфель был внутренним (в смысле α1 > 0), необходимо и достаточно, чтобы -r1 > r0. В случае же -r1 <r0 наклон луча будет отрицательный и оптимум будет достигаться при α1 = 0 (рискованный актив не войдет в портфель).

Перейдем теперь к рассмотрению портфелей, содержащих несколько рискованных активов. Мы выясним при различных частных предположениях о коррелированности доходностей активов, какова будет структура множества возможных портфелей и каким будет оптимальный портфель.

Сначала рассмотрим случай, когда доходности всех рискованных активов жестко положительно коррелированны, то есть когда коэффициент корреляции между любой парой активов равен единице:

ρk1k2 = 1 ( k1, k2≠0).84

При этом

где σ= {σk}k — вектор корней из дисперсий активов. В этих обозначениях

σ2P = αÅVα= αÅσσÅα= (αÅσ)2.)

Для ожидаемой доходности вне зависимости от коррелированности выполняется

-rP = Ûαk-rk.

k

84 Такое может происходить, если доходности зависят от фазы экономического цикла или другого общего параметра.

271

272

Отсюда следует, что множество точек (σP, -rP) при неотрицательных долях αk есть выпуклая комбинация точек (σk, -rk), соответствующих рассматриваемым активам:

(σP, -rP) = Ûαk(σk, -rk)

k

(риски складываются с весами α, как и доходности).

Другими словами, на диаграмме риск-доходность множество возможных рискованных портфелей представляет собой выпуклый многоугольник с вершинами в точках (σk, -rk), соответствующих отдельным активам.

-rP

σP

Рисунок 59. Возможные рискованные портфели в случае жестко положительно коррелированных активов

Проанализируем структуру портфелей, содержащих дополнительно безрисковый актив.

Выше мы уже рассмотрели, как комбинировать рискованный актив с безрисковым. Нетрудно понять, что по аналогичным формулам вычисляются характеристики портфеля, полученного при комбинировании рискованного портфеля с безрисковым активом. Любой такой портфель на диаграмме риск-доходность будет представлять собой точку отрезка (луча) соединяющего безрисковый актив с данным рискованным портфелем. Действительно, пусть доли активов в исходном рискованном портфеле равны νk, тогда этот портфель имеет следующие характеристики:

-rR = Ûνk-rk,

k≠0

σ2R = ÛÛνk1νk2ck1k2. k1≠0k2≠0

Назовем комбинированным портфелем, состоящим из безрискового актива и исходного портфеля, с долями α0 и 1 – α0 соответственно, такой портфель, в котором доли вложений в рискованные активы равны αk = νk(1 – α0), а доля вложений в безрисковый актив равна α0. Такой портфель имеет следующие характеристики:

-rP = Ûαk-rk,

k K

σ2P = Û Ûαk1αk2ck1k2. k1 Kk2 K

Покажем, что выполнено следующие соотношения:

r~P = α0r0 + (1 – α0)r~R, σP = (1 – α0)σR,

-rP = α0r0 + (1 – α0)r-R,

272

273

то есть при таком комбинировании с портфелями можно обращаться так же, как с активами. (Этот результат можно обобщить на случай комбинирования любых портфелей).

Действительно,

-rP = Ûαk-rk = α0r0 + Ûνk(1 – α0)r-k =

= α0r0 + (1 – α0)Ûνk-rk = α0r0 + (1 – α0)r-R.

k K

Для дисперсии комбинированного портфеля имеем

σ2P = Û Ûαk1αk2ck1k2 = k1 Kk2 K

Учитывая, что c00 = ck10 = c0k2 = 0, и αk = νk(1 – α0) получаем

σ2P = (1 – α0)2ÛÛνk1νk2ck1k2 = (1 – α0)2σ2R

k1≠0k2≠0

или

σP = (1 – α0)σR.

Вернемся к анализу портфеля, в котором все рискованные активы жестко положительно коррелированны. Учитывая полученный только что результат, охарактеризуем все комбинированные портфели в этом случае. Каждый из них является точкой на луче, выходящем из точки (0, r0) и проходящем через одну из точек многогранника рискованных активов. Таким образом, комбинированные портфели в данном случае представляют собой выпуклый конус, составленный из таких лучей. Оптимальный портфель должен лежать на верхней границе этого конуса, в точке, где ее касается кривая безразличия инвестора (см. Рис. 60).

-rP оптимальный портфель

σP

Рисунок 60. Оптимальный портфель в случае жестко положительно коррелированных активов

В оптимальный портфель в невырожденном случае войдет только один рискованный актив, имеющий наилучшие характеристики.

Здесь рискованная часть портфеля определяется из задачи

-

r – r

kσk 0 → max k=1,...,l.

Выбирается актив, для которого луч будет иметь наибольший наклон. Только он и может войти в портфель с положительным весом.

273

274

В вырожденном случае (см. Рис. 61) несколько активов характеризуются максимальным наклоном и все они могут войти в оптимальный портфель. В оптимуме относительные доли вложений в такие активы не определены однозначно.

-rP

r0

σP

Рисунок 61. Жестко положительно коррелированные активы — вырожденный случай

Мы рассматривали только поведение инвестора, т.е. спрос на активы, но можно рассматривать и предложение активов. Если те, кто предлагает активы, могут менять доходность, но не коэффициенты корреляции, то естественно ожидать, что в равновесии на рынке активов все предлагаемые активы лежат на оптимальном луче. Таким образом, для строго положительно коррелированных активов «вырожденный» случай в определенном смысле довольно естественен.

Второй случай коррелированности — жесткая отрицательная корреляция. Имеет смысл рассматривать только пару таких активов (для более чем двух активов все коэффициенты корреляции не могут равняться –1). Таким образом, пусть есть два актива, 1 и 2, такие что ρ12 = –1. Применяя общую формулу для расчета дисперсии, получим

= α21σ21 – 2α1α2σ1σ2 + α22σ22 = (α1σ1 – α2σ2)2,

откуда среднеквадратическое отклонение равно

σP = |α1σ1 – α2σ2|.

Ожидаемая доходность портфеля равна

-rP = α1-r1 + α2-r2.

Несложно понять, что допустимые комбинации таких двух активов составляют ломаную. Точка излома соответствует портфелю с нулевым риском (σP = 0). Это означает, что из двух жестко отрицательно коррелированных активов можно составить безрисковый портфель.

-rP безрисковый портфель

(σ1,r-1)

(σ2,r-2)

σP

Рисунок 62. Возможные рискованные портфели в случае жестко отрицательно коррелированных активов

Чтобы получить такую ломаную на графике, нужно отразить одну из точек относительно вертикальной оси и соединить отрезком с другой точкой.

274

275

-rP

(σ1,r-1)

(σ2,r-2)

σP

Рисунок 63. Построение ломаной возможных рискованных портфелей в случае жестко отрицательно коррелированных активов

Безрисковый портфель получается при следующей структуре портфеля:

α1 = σ1σ+2σ2, α2 = σ1σ+1σ2.

Его доходность, которую мы обозначим r00, равна

Поскольку из двух таких активов можно составить безрисковый портфель, то рассматривать, как эти активы будут сочетаться с безрисковым активом, не имеет особого смысла. Можно сказать только, что при r00 > r0 и возможности кредита по ставке r0 получается парадоксальный результат — можно брать в кредит по ставке r0 и инвестировать без риска с доходностью r00. При этом можно получить сколь угодно большую доходность портфеля. (Формально в модели решение существует, так как целевая функция насыщаема). Ясно, что этого не может происходить в рыночном равновесии. Следует учесть предложение активов. Естественно предположить, что в равновесии должно быть r00 <r0 (отсутствие «рога изобилия»).

Третий случай, который мы рассмотрим — некоррелированные активы. Тогда

V= diag(σ21, ..., σ2l ).

σ2P = αÅVα= Ûα2kσ2k. k

σP = Ûα2kσ2k. k

Ожидаемая доходность портфеля, как всегда, равна

-rP = Ûαk-rk.

k

Из двух некоррелированных активов комбинируется дуга, изогнутая влево (см. Рис. 64).

-rP = α1-r1 + α2-r2 = α1-r1 + (1 – α1)r-2.

σP = α21σ21 + α22σ22 = α21σ21 + (1 – α1)2σ22.

-rP

(σ1,r-1)

(σ2,r-2)

σP

275

276

Рисунок 64. Возможные рискованные портфели в случае двух некоррелированных активов

В отличие от случая жесткой положительной коррелированности, риски при некоррелированности не складываются, поэтому риск при комбинировании активов будет снижен. Тогда все активы с доходностью выше гарантированной должны войти в оптимальный портфель (эффект диверсификации). Другими словами, для случая некоррелированных доходностей в модели Марковица выполняется аналог теоремы о диверсификации:

Если доходности всех рискованных активов в модели Марковица некоррелированны, то рискованный актив войдет в оптимальный портфель (αk > 0), если, и только если, его ожидаемая доходность выше гарантированной (-rk > r0).

Доказательство этого утверждения будет приведено ниже.

Рисунок 65. Оптимальные портфели в случае двух некоррелированных активов.

На Рис. 65 а оба рискованных актива входят в оптимальный портфель, так как их ожидаемая доходность больше доходности безрискового актива. На Рис. 65 б только один рискованный актив (1-й) входит в оптимальный портфель.

При произвольном коэффициенте корреляции комбинации доходности и риска, достижимые комбинированием двух активов, окажутся на графике некоторой кривой соединяющей эти точки и выгибающейся, при неполной коррелированности, влево. На Рис. 66 показаны портфели, которые можно составить из двух активов при разных коэффициентах корреляции. Чем меньше коэффициент корреляции, тем сильнее влево выгибается кривая возможных портфелей.

ρ12=–0,5 (σ2,r-2)

ρ12=0,5

σP

Рисунок 66. Возможные портфели из двух рискованных активов при разных коэффициентах корреляции

В общем случае допустимое множество R всех доступных инвестору портфелей, состоящих из рискованных активов, на диаграмме риск-доходность будет изображаться некоторой связной фигурой, граница которой оказывается кривой, выпуклой влево (см. напр. Рис. 67).85 Очевидно, что множество R лежит в пределах, задаваемых наибольшей и наименьшей ожидаемой доходностью доступных активов. Т.е. для любого рискованного портфеля (σM, -rM) R выполнено

85 Диаграмма изображает множество возможных портфелей, составленных из 7 активов, при некоторой матрице корреляций доходностей этих активов.

276

277

min -rk <-rM <max -rk.

-rP

R

эффективная граница

σP

Рисунок 67. Множество возможных рискованных портфелей для нескольких активов

Если бы инвестор выбирал портфель из множества R, то он не стал бы выбирать такой портфель (σM, -rM), для которого существует другой допустимый портфель (σM′ , -rM′ ) R с лучшими характеристиками, т.е. такой что

σM′ <σM и -rM′ >-rM,

причем одно из неравенств строгое. Выбор инвестора всегда лежал бы на эффективной границе, состоящей из портфелей, для которых при заданной величине риска доходность максимальна (см. Рис. 67).

Комбинируя рискованные портфели с безрисковым активом получим множество всех возможных портфелей, которое на диаграмме будет выглядеть как конус с вершиной в точке (0, r0) (см. Рис. 68). Этот конус состоит из всех таких лучей, что они выходят из точки (0, r0) и проходят через одну из точек (σM, -rM) R.

Рисунок 68. Множество возможных портфелей для нескольких активов

Комбинируя наилучшую (по наклону луча) точку из R с безрисковым активом, как и ранее получаем наилучший по соотношению риска и доходности. Оптимальный портфель определяется наиболее крутым лучом (см. Рис. 68), т.е.

Полезность инвестора от оптимального портфеля равна

U = -rP – γ(r-P2 + σ2P),

где величины -rP и σ2P можно выразить через доли всех активов, кроме безрискового, (αk, k=1,...,l) следующим образом:

l

-rP = r0 + Ûαk(r-k – r0),

k=1

277

278

Будем рассматривать полезность U как функцию долей всех рискованных активов. Оптимальный портфель характеризуется долями, максимизирующими эту функцию (при ограничениях на их неотрицательность).

Найдем производную U по αk:

(αk > 0), по условию дополняющей нежесткости, ∂U/∂αk = 0. Из условий дополняющей нежесткости

Ûl α ∂U = 0,

k=1 k∂αk

т.е.

(1 – 2γ-rP)(r-P – r0) – γσ2P = 0,

откуда, исключая обсужденный выше вырожденный случай, когда σ2P = 0, получим

Взвешенная сумма ковариаций в этой формуле равна:

278

279

причем если k-й актив входит в оптимальный портфель (αk > 0), то здесь достигается равенство. Т.е. для активов, входящих в портфель, выполнено следующее условие оптимальности:

-rk – r0 = cσPk2 (r-P – r0).

P

Пусть ν= (ν1, ..., νl) — структура рискованной части портфеля. Величина νk представляет собой долю вложений в k-й актив в общих вложениях в рискованные активы. Другими словами, если (α1,...,αl) — оптимальный для инвестора портфель, то

νk = αk , k ≠0.

Ûαj

j≠0

В знаменателе стоит Ûαj = 1 – α0 — доля рискованной части портфеля. Можно записать

j≠0

это соотношение и в другом виде:

αk = νk(1 – α0), k ≠0.

Рассмотрим портфель, составленный только из рискованных активов, с долями νk. Его доходность обозначим через r~M. Она связана с доходностью полного оптимального портфеля как

r~P = α0r0 + (1 – α0)r~M.

Следовательно,

-rP = α0r0 + (1 – α0)r-M,

σ2P = (1 – α0)2σ2M,

cPk = Cov(r~P, r~k) = Cov((1 – α0)r~M, r~k) = = (1 – α0)Cov(r~M, r~k) = (1 – α0)cMk.

Используя эти обозначения, условия первого порядка для актива, входящего в оптимальный портфель, можно записать как

-rk – r0 = βk(r-M – r0),

где

β = Cov(r~M, r~k) = cMk.

k Var(r~M) σ2M

Это основная формула модели CAPM86. В соответствии с этим соотношением ожидаемую доходность актива, вошедшего в портфель, можно разбить на две части:

1)доходность безрискового актива, r0 (это компенсация за отложенное потребление);

2)компенсация за подверженность риску, -rk – r0 (премия за риск).

Коэффициент βk — это ковариация между доходностью k-го актива и доходностью рискованной части оптимального портфеля, нормированная на дисперсию доходности рискованной части оптимального портфеля. Такой нормированный показатель называется величиной бета этого актива.

86 См. напр., статью Уильяма Шарпа: William F. Sharpe, "Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk," Journal of Finance, 19 (1964), 425-442.

279

280

Для активов, не входящих в оптимальный портфель, выполнено

-rk – r0 <βk(r-M – r0).

В частном случае, когда доходности рискованных активов некоррелированны между собой, очевидно, что беты всех активов, не вошедших в оптимальный портфель, будут равны нулю. Следовательно, для актива, не вошедшего в портфель, выполнено

-rk – r0 <βk(r-M – r0) = 0.

С другой стороны, если актив вошел в портфель, то его бета должна быть положительна. Следовательно, для такого актива

-rk – r0 = βk(r-M – r0) > 0

(где мы предполагаем, что -rM > r0). Тем самым, мы доказали «теорему о диверсификации», сформулированную выше.

Интерпретируем теперь полученные результаты в контексте ситуации, когда всем инвесторам на рынке доступны одни и те же активы.

1)Множество R допустимых комбинаций рискованных активов у всех будет одним и тем же.

2)Поскольку оптимальный портфель у каждого инвестора лежит на луче с наибольшим

наклоном, выходящим из точки (0, r0) и проходящем через точку множества R, то у всех инвесторов рискованная часть портфеля будет иметь одно и то же соотношение (r-M –

r0)/σM. Рискованный портфель, характеризующийся этим оптимальным соотношением называется рыночным портфелем (см. Рис. 69). Это точка «касания» эффективного луча и множества R. Ясно, что всякая точка (σP, -rP), лежащая на эффективном луче удовлетворяет уравнению

-rP = r0 – σσP (r-M – r0)

M

или

где (σM, -rM) — характеристики рыночного портфеля.

280