Бусыгин

181

го потребителя представляется линейной функцией полезности: u (x ) =Ûl α x , α >0.

m m k=1 k mk k

Совокупные начальные запасы всех благ положительны.

(1)При каких значениях αk можно гарантировать существование равновесия в этой экономике при любых начальных запасах?

(2)Пусть αk = 0 при k ≠l и αl = 1, и начальные запасы имеют вид первых m – 1 потребителей не содержат благо l. Найдите равновесие в этой экономике.

16. Вычислите квазиравновесия в следующей модели обмена:

В экономике есть только два блага (l=2), функции полезности потребителей i имеют вид

ui(x1i , xi2) = x1i + xi2,

а начальные запасы равны ωi = (0, 1).

17. Покажите, что в модели обмена (с m потребителями) с совпадающими, строго выпуклыми предпочтениями и совпадающими начальными запасами, равновесное распределение, если существует, единственно. Можно ли гарантировать при этом единственность равновесия

Каким будем такое распределение?

18. Покажите, что в модели обмена (с m потребителями) с совпадающими и строго выпуклыми предпочтениями потребителей, представимыми непрерывно дифференцируемыми функциями полезности, и совпадающими начальными запасами, равновесие, если существует, единственно.

Какими будут при этом равновесные цены и равновесное распределение?

Какие дополнительные предположения относительно модели гарантируют существование равновесия? Аргументируйте свой ответ.

19. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают.

Гарантирует ли выпуклость предпочтений существование равновесия? Аргументируйте свой ответ.

20. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают.

Гарантирует ли выпуклость предпочтений единственность равновесия (если оно существует)? Аргументируйте свой ответ.

21. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают. Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений единственность равновесия (если оно существует)? Аргументируйте свой ответ.

181

182

22. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают.

Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений существование равновесия? Аргументируйте свой ответ.

23. Предположим, что предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают, а совокупное производственное множество содержит нулевой вектор чистых выпусков.

Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений тот факт, что равновесные распределения (если существуют) совпадают с начальными запасами? Аргументируйте свой ответ.

24. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают и содержат все блага в положительном количестве. Будет ли равновесное распределение (если существует) совпадать с начальными запасами? Аргументируйте свой ответ.

Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики

Вопрос о том, является ли данное состояние экономики, например равновесие, экономически эффективным, можно решать на основе того, принадлежит ли данное состояние границе Парето.

Определение 8.

Допустимое состояние экономики (x~, y~) является Парето-улучшением для допустимого состояния (x, y) или, другими словами, доминирует его по Парето, если для каждого потребителя i I выполнено x~i }i xi и существует хотя бы один потребитель i0 для которого

x~i0 }i0 xi0.

Определение 9.

Допустимое состояние экономики (x^, y^) называется Парето-оптимальным, если для него не существует Парето-улучшений57.

Множество оптимальных по Парето состояний образует границу Парето, P, экономики.

Проиллюстрируем понятие оптимальности по Парето с помощью диаграммы Эджворта (см. Рис. 36). Парето-оптимальность состояния x^ равносильна тому, что множества L+1(x^1) и L++2 (x^2) не имеют общих точек и множества L++1 (x^1) и L+2(x^2) не имеют общих точек на ящике Эджворта. Здесь L+i (x^i) — множество потребительских наборов, которые не хуже для потребителя i, чем набор x^i, а L++i (x^i) — множество потребительских наборов, которые лучше, чем набор x^i. Для оптимальности достаточно, чтобы множества L+1(x^1) и L+2(x^i) имели только одну общую точку — x^.

57 Эта концепция оптимальности была предложена итальянским экономистом Вильфредо Парето в 1906 г. в

книге Manuale di economia politica.

182

183

x12 x21

L+1(x^1)

x^

L+2(x^2)

x11

x22

Рисунок 36. Иллюстрация Парето-оптимальности на ящике Эджворта

Характеризация границы Парето через задачу максимизации взвешенной

суммы полезностей

Чтобы находить границу Парето удобно пользоваться вспомогательной задачей. Сопоставим каждому из потребителей число αi >0, такое что Ûi Iαi = 1, и рассмотрим следующую

задачу максимизации взвешенной суммы полезностей на множестве допустимых состояний экономики:

Задача поиска оптимума Парето

Ûαiui(xi) →max (x,y) i I

(x, y) E. (Pα)

Здесь (x, y) E означает, что (x, y) — допустимое состояние экономики E.

Чтобы показать связь этой задачи с Парето-границей, введем также вспомогательное понятие слабой Парето-границы.

Определение 10.

Допустимое состояние экономики (x~, y~) является строгим Парето-улучшением для допустимого состояния (x, y) или, другими словами, строго доминирует его по Парето, если для каждого потребителя i I выполнено x~i }i xi.

Определение 11.

Допустимое состояние экономики (x^, y^) принадлежит слабой границе Парето, WP, если не существует другого допустимого состояния, которое строго доминирует его по Парето.

Очевидно, что по определению обычная (сильная) граница Парето P всегда содержится в слабой границе Парето WP, т.е. P WP.

Теорема 11.

(1)Если (x^, y^) — решение задачи (Pα), то (x^, y^) принадлежит слабой границе Парето, а если, кроме того, αi > 0 i I, то (x^, y^) принадлежит (сильной) границе Парето.

(2)Пусть множества Xi выпуклы, функции полезности ui( ) непрерывны и вогнуты, технологические множества Yj выпуклы. Тогда если (x^, y^) принадлежит слабой границе

183

184

Парето, то найдутся такие неотрицательные αi (Ûi Iαi = 1), что (x^, y^) является решением задачи (Pα).

Доказательство:

(1) Предположим, что существует решение задачи (Pα), (x^, y^), которое не принадлежит слабой границе Парето. Тогда найдется такое допустимое состояние (x~, y~), что ui(x~i) > ui(x^i) i I. При этом значение целевой функции задачи (Pα) будет выше в точке x~, чем в точке x^, а это противоречит тому, что (x^, y^) — решение задачи (Pα). Доказательство для случая положительных коэффициентов и обычной (сильной) границы Парето полностью аналогично.

(2) Пусть (x^, y^) принадлежит слабой границе Парето. Введем обозначение

u(x) = (u1(x1), ..., un(xn))

и рассмотрим следующее множество:

U– = {v Ên | (x, y) E: v<u(x)}.

Множество U– непусто, так как u(x^) U–. Покажем, что U– — выпуклое множество. Пусть v′ U– и v″ U–. Это означает, что существуют состояния экономики (x′, y′) E и (x″, y″) E, такие что v′<u(x′) и v″<u(x″). Покажем, что

βv′+ (1 – β)v″ U–, если β (0; 1).

Несложно показать, что

(βx′+ (1 – β)x″, βy′+ (1 – β)y″) E.

Так как ui( ) — вогнутые функции, то

u(βx′+ (1 – β)x″) >βu(x′) + (1 – β)u(x″).

Это означает, что βv′+ (1 – β)v″<u(βx′+ (1 – β)x″), т.е. βv′+ (1 – β)v″ U–.

Множество u(x^) + Ên++ = {v Ên | vi > ui(x^i) i I} также является непустым и выпуклым.

Поскольку (x^, y^) принадлежит слабой границе Парето, то рассмотренные множества не имеют общих точек:

U–](u(x^) + Ên++) = ,

в противном случае мы нашли бы допустимое состояние экономики, в котором каждый потребитель имел бы большую полезность, чем в (x^, y^).

По теореме об отделимости существует разделяющая эти два множества гиперплоскость, т.е. существуют вектор a Ên, a≠0 и число b, такие что

av<b при v U–

и

av>b при v u(x^) + Ên++.

Покажем, что a>0. Предположим, что существует потребитель i, для которого ai < 0. Тогда если v u(x^) + Ên++, то v+ tei u(x^) + Ên++, где t — положительное число, ei — i-й орт. Мы всегда можем подобрать достаточно большое t, чтобы выполнялось a(v+ tei) < b, а это противоречит тому, что v+ tei u(x^) + Ên++.

184

185

Рассмотрим последовательность vN = u(x^) + 1/n 1, где 1 — вектор, состоящий из единиц. Поскольку vN u(x^) + Ên++ N, то avN >b. Переходя к пределу, получим au(x^) >b. С другой стороны, u(x^) U– и au(x^) <b. Следовательно, au(x^) = b.

Таким образом, мы доказали существование гиперплоскости в Ên, с коэффициентами a> ≠0, которая проходит через u(x^) и разделяет множества U– и u(x^) + Ên++ (см. Рис. 37). Возьмем в качестве коэффициентов αi нормированные коэффициенты ai:

αi = aai .

Û j

Не существует состояния (x, y) E, такого что

Ûαiui(xi) > Ûαiui(x^i).

Действительно, для такого состояния выполнено u(x) U–, откуда au(x) <au(x^). Разделив это неравенство на Ûai, получим αu(x) <αu(x^). Это означает, что (x^, y^) является решением задачи (Pα).

*

Из этой теоремы следует, что множество решений задачи (Pα) при неотрицательных коэффициентах совпадает со слабой границей Парето и, следовательно, содержит в себе границу Парето. С другой стороны, множество решений задачи (Pα) при положительных коэффициентах содержится в границе Парето. Другими словами, эта задача позволяет получить для границы Парето оценки сверху и снизу. Кроме того, если сильная и слабая границы Парето совпадают, то задача (Pα) полностью характеризует границу Парето. Следующая теорема предлагает возможные условия, при которых такое совпадение имеет место.

Теорема 12.

(1)Если у каждого потребителя Xi = Êl+, предпочтения строго монотонны и непрерывны, то сильная граница Парето совпадает со слабой: P= WP.

(2)Если предпочтения каждого потребителя полустрого монотонны58 и непрерывны, то все точки сильной границы Парето, компоненты которых строго положительны, также принадлежат и слабой границе Парето.

Доказательство:

58 Предпочтения называются полустрого монотонными, если они монотонны и из x> y следует, что x}y.

185

186

(1) Поскольку P WP, то достаточно доказать только, что WP P. Пусть это не так, т.е. существует допустимое состояние (x`, y`), принадлежащее слабой границе Парето, но не сильной.

Поскольку (x`, y`) не принадлежит границе Парето, то существует другое допустимое состояние (x~, y~), такое что x~i }x`i i I и i0 I: x~i0 }i0 x`i0.

Из строгой монотонности следует, что x`i0 }0, поэтому x~i0 не может быть нулевым вектором. Следовательно, потребитель i0 потребляет хотя бы одно благо k в положительном количестве: x~i0k > 0. Пусть ek — k-й орт (вектор, где на k-м месте стоит 1, а на остальных местах — 0). Рассмотрим последовательность перераспределений (N = 1, 2, ...)

1 x'i0(N) = x~i0 – N ek,

x' (N) = x~ + 1 ek i ≠i . i i N(N – 1) 0

По свойству строгой монотонности, имеем x'i(N) }i x~i(N) i ≠i0 N. Кроме того, для потребителя i0 найдется достаточно большой номер N-, такой что набор x'i0(N-) допустим и (по свойству непрерывности предпочтений) x'i0(N-) }i0 x`i0.

Таким образом, мы нашли допустимое распределение (x'i0(N-), y~) которое строго доминирует допустимое распределение (x`, y`), чего быть не может, так (x`, y`) принадлежит слабой границе Парето.

(2) Доказательство второй части теоремы оставляется в качестве упражнения.

*

Дифференциальная характеристика границы Парето

Переформулируя определение, (x^, y^) является Парето-оптимумом, если полезность ни одного из потребителей нельзя увеличить, не уменьшая полезность остальных потребителей (при том ограничении, что рассматриваются только допустимые состояния). Такая формулировка подсказывает следующую характеристику Парето-оптимальных состояний: для того, чтобы состояние (x^, y^) было Парето-оптимальным, необходимо и достаточно,

чтобы оно являлось решением следующих оптимизационных задач для всех i0 {1,...,m}:

Рассмотрим одну из таких задач для произвольного потребителя i0 и в предположении, что состояние экономики (x^, y^) внутреннее в том смысле, что x^i int(Xi) i I, применим к ней теорему Куна—Таккера (см. Приложение), предполагая, что функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Соответствующий лагранжиан имеет вид (с точностью до постоянных слагаемых)

L = Ûλiui(xi) + Ûµj gj(yj) + Û σk (Ûyjk – Û(xik – ωik)).

186

187

По теореме Джона найдутся множители Лагранжа λi >0 (i I), µj >0 (j J) и σk (k K), такие что в точке (x^, y^) производные функции Лагранжа по всем xik и yjk равны нулю:

Предположим, что в рассматриваемом состоянии (x^, y^) градиенты всех функций полезности и производственных функций не равны нулю. Другими словами мы предполагаем, что для каждого потребителя i найдется благо k, такое что ∂ui(x^i)/∂xik ≠0, и что для каждого производителя j найдется благо k, такое что ∂gj(y^j)/∂yjk ≠0. Это предположение гарантирует выполнение условий регулярности теоремы Куна—Таккера.

Для проверки выполнения условий регулярности нужно убедиться, что градиенты всех активных ограничений (т.е. выполняющихся в рассматриваемом Парето-оптимальном состоянии как равенства) линейно независимы. Для этого достаточно доказать, что градиенты всех, а не только активных, ограничений линейно независимы. Это проводится проверкой ранга матрицы градиентов ограничений: записав структуру матрицы, следует убедиться что если линейная комбинация ее строк равна нулю, то все коэффициенты линейной комбинации нулевые. Мы здесь опускаем эту проверку.

Теорема Куна—Таккера утверждает, что можно выбрать множитель Лагранжа λi0 равным 1.

Из λi0 = 1, и из того, что существует благо k0, такое что ∂ui0(x^i0)/∂xi0k0 ≠0, следует что σk0 > 0. Следовательно, как несложно проверить, из условий первого порядка следует, что все

λi > 0 (i I) и µj > 0 (j J).

Отсюда, исключая коэффициенты λi и µj, получим дифференциальную характеристику внутренних (x^i int(Xi) i I) Парето-оптимальных состояний:

∂ui(x^i)/∂xik = σk , ∂ui(x^i)/∂xik0 σk0

∂gj(y^j)/∂yjk = σk . ∂gj(y^j)/∂yjk0 σk0

Она означает совпадение предельных норм замещения (трансформации) любых двух товаров k, k0 (σk0 > 0) для всех экономических субъектов. Так на Рис. 36 кривые безразличия двух потребителей касаются друг друга.

Задачи

25. Для экономики обмена двух потребителей со строго монотонными, строго вогнутыми функциями полезности, заданными на Êl+, и строго положительными общесистемными запасами благ, доказать, что Парето-граница является связной кривой, соединяющей два угла ящика Эджворта, причем на каждой кривой безразличия в ящике Эджворта лежит ровно одна точка Парето, и что кривая Парето-границы не имеет колец. (Подсказка: воспользоваться представлением Парето-границы через оптимизационную задачу с параметром задающим «вес» полезности одного из потребителей, и теоремой о непрерывности по параметру решения задачи максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве).

187

188

26.Покажите, что в модели обмена (с m потребителями) с совпадающими и строго выпуклыми предпочтениями потребителей и совпадающими начальными запасами вектора начальных запасов потребителей составляют Парето-оптимальное распределение.

27.Найдите ядро в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями, предпочтения которых описываются функциями Кобба—Дугласа, а начальные запасы равны (1, a)

и (b, 1) соответственно при разных значениях a, b >0.

28.Приведите пример экономики обмена, ядро которой...

(1) совпадает с границей Парето;

(2) содержит границу Парето как собственное подмножество;

(3) содержит только одно состояние экономики.

29.В модели обмена распределение x называется справедливым, если xi }i xj i, j (никто никому не завидует).

(1)Покажите, что множество справедливых распределений непусто.

(2)Покажите, что если предпочтения строго выпуклы, непрерывны и строго монотонны, а совокупные начальные запасы положительны, то множество справедливых распределений, которые являются Парето-оптимальными, непусто.

(3)Как выглядит множество Парето-оптимальных справедливых распределений, если предпочтения потребителей одинаковы?

30. Найдите равновесие и Парето-границу в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителя:

u1(x1) = ln(x11) + ln(x12), u2(x2) = ln(x21) + ln(x22), ω1 = (1; 3), ω2 = (3; 1).

Проиллюстрируйте этот анализ на диаграмме Эджворта и проинтерпретируйте графически обе теоремы благосостояния.

31. Рассмотрим модель обмена с m одинаковыми потребителями со строго выпуклыми предпочтениями.

Покажите, что эгалитарное распределение xi = ∑ωi/m принадлежит границе Парето. Принадлежит ли это распределение ядру данной экономики?

При каких дополнительных предположениях это эгалитарное распределение можно реализовать как равновесие? При каких ценах?

Что можно сказать о таких ценах в случае, если предпочтения представимы строго монотонной дифференцируемой функцией полезности?

188

189

Остается ли это утверждение справедливым при отказе от предположения о выпуклости предпочтений?

Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния

Сопоставляя дифференциальные характеристики оптимума Парето и равновесия, видим, что они совпадают. Это совпадение дифференциальных характеристик показывает, что выполняются так называемые теоремы благосостояния59 (или, как их еще называют, фундаментальные теоремы экономики благосостояния). Первая теорема благосостояния утверждает, что равновесие Парето-оптимально. Вторая теорема благосостояния утверждает, что на основе Парето-оптимума можно построить равновесие.

Для доказательства первой теоремы благосостояния нам потребуется определение локальной ненасыщаемости предпочтений60.

Определение 12.

Предпочтения потребителя (}i, }i, ~i) называются локально ненасыщаемыми, если для любого допустимого набора xi Xi в любой окрестности этого набора V(xi) найдется другой лучший для него допустимый набор x`i, т.е. такой набор, что

x`i Xi, x`i V(xi) и x`i }xi.

Для локальной ненасыщаемости, в частности, достаточно, чтобы функция полезности в каждой точке множества Xi строго возрастала хотя бы по одному из благ и Xi = Êl+. (Для внутренних потребительских наборов (xi > 0) строгое возрастание по одному из благ здесь можно заменить на строгое убывание по одному из благ).

Теорема 13 (первая теорема благосостояния)

Пусть (p-, x-, y-) — общее равновесие экономики, и функции полезности всех потребителей локально ненасыщаемы, тогда состояние (x-, y-) Парето-оптимально.

Доказательство.

Доказательство проводится от противного: пусть есть другое допустимое состояние, (x~, y~ ), доминирующее состояние (x-, y-) в смысле Парето, то есть такое, что

x~i }i x-i i I,

и потребитель i0 для которого x~i0 }i0 x-i0.

1) Набор x~i0 дороже, чем нужно, чтобы удовлетворять бюджетному ограничению при равновесных ценах и доходах, т.е.

p-x~i0 > βi0.

59 Идею этих теорем можно найти в книге Парето. Несколько известных экономистов (А. Лернер, Х. Хотеллинг, О. Ланге, М. Алле) занимались этими вопросами в 1930-1940 гг. и дали наброски доказательств. Формальные доказательства теорем разработали Кеннет Эрроу (1951) и Жерар Дебрё (1951, 1954).

60 Отметим, что локальная ненасыщаемость предпочтений потребителя влечет за собой то, что решение задачи потребителя выводит бюджетное ограничение на равенство. Однако этот факт не добавляет ничего нового к характеристикам равновесия, поскольку, как показано выше, в любом равновесии бюджетное ограничение выполнено как равенство.

189

190

Если бы это было не так, то набор x~i0, более предпочтительный для него, чем x-i0, являлся бы допустимым в задаче потребителя, что противоречит определению равновесия.

Аналогично для прочих потребителей p-x~i >βi ( i I). Действительно, в противном случае (при p-x~i < βi) существовала бы окрестность набора x~i, все точки которой удовлетворяли бы бюджетному ограничению, и по условию локальной ненасыщаемости в этой окрестности нашелся бы альтернативный допустимый набор x`i Xi, который лучше для потребителя, чем x~i и удовлетворяет бюджетному ограничению (см. Рис. 38). Этот набор лучше для потребителя, чем равновесный набор x-i, что невозможно.

Рисунок 38. Иллюстрация к доказательству первой теоремы благосостояния

Суммируя полученные неравенства по всем потребителям, получаем

p-Ûx~i > Ûβi.

i I i I

2) С другой стороны, вычислим сумму доходов потребителей в равновесии:

= Ûp-k [Ûωik + Û-yjkÛγij + ÛSi] = Ûp-k(Ûωik + Û-yjk)

или

Ûβi = p-Ûωi + p-Ûy-j.

3) Поскольку y-j — оптимальная технология для j-го предприятия при ценах p-, то p-y-j >p-y~j.

Суммируя по всем предприятиям, получим

p-Ûy-j >p-Ûy~j.

j J j J

4) Сопоставим три полученные выше соотношения:

p-Ûx~i > Ûβi = p-Ûωi + p-Ûy-j >p-Ûωi + p-Ûy~j

или

p-Ûx~i > p-Ûωi + p-Ûy~j.

i I i I j J

Это неравенство противоречит тому, что (x~, y~) — допустимое состояние, поскольку в допустимом состоянии должны выполняться балансы

190