Бусыгин

691

окрестности λ- ε-окрестность множеств X(λ) содержит X(λ-). Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно сверху и снизу одновременно.

Заметим, что поскольку постоянное отображение непрерывно, непрерывность (полунепрепрерывность сверху) функции (отображения) предложения гарантируется при существовании решения задачи потребителя (поскольку функция прибыли непрерывна как функция цен).

Теоремы Куна — Таккера

Теоремы Куна — Таккера —родовое название для утверждений, представляющих собой обобщение теоремы Лагранжа на случай задач оптимизации с ограничениями в виде неравенств, т.е. задач следующего типа:

Пусть

φ(x) →max

ψj(x) >0, j = 1, ..., m, (*)

x= (x1, ..., xn) X.

Здесь φ: X & Ê — (в соответствие с установившейся терминологией) целевая функция, ψr: X & Ê, r = 1,...,m, функции ограничений X Ên.

Мы приведем эти утверждения для случая, когда функции φ, ψr дифференцируемы (теоремы Куна-Таккера в дифференциальной форме).

Напомним, что функция

m

L(x, λ) = λ0φ(x) + Ûλjψj(x)

j=1

называется функцией Лагранжа (лагранжианом) этой задачи, а коэффициенты λj — множителями Лагранжа.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема Джона.

Пусть функции φ( ), ψ1( ), ..., ψn( ) дифференцируемы, и x- — решение задачи (*), такое что x- int(X).

Отметим, что условия дополняющей нежесткости можно записать в виде

ψj(x-)λj = 0, j = 1, ..., m.

Из этих условий следует, что если множитель Лагранжа положителен (λj > 0), то соответствующее ограничение в решении задачи (при для x = x-) выполняется как равенство (т.е.

691

692

ψj(x-) = 0). Другими словами, это ограничение активно. С другой стороны, в случае, когда ψj(x-) > 0, то соответствующий множитель Лагранжа λj равен нулю.

Если в задаче (*) часть ограничений имеет вид ограничений на неотрицательность некоторых xi, то для них можно не вводить множители Лагранжа, записав такие ограничения отдельно:

φ(x) →max

ψj(x) >0, j = 1, ..., m, (**) x X,

xi >0, i P {1, ..., n}.

Условия первого порядка для i P тогда будут иметь следующий вид:

Для i P здесь, как и в случае представления задачи в виде (*), производная функции Ла-

Кроме того, выполнены также условия дополняющей нежесткости

∂ - λ

L(x, ) ∂xi = 0.

С другой стороны, если ∂L(x-, λ)/∂xi < 0, то x-i должен быть равен нулю.

Другая модификация теоремы связана с наличием в задаче ограничений в виде равенств. Обозначим множество соответствующих индексов через E. Задача принимает следующий вид:

φ(x) →max

При этом в теореме Джона снимается условие, что все множители Лагранжа неотрицательны — множители Лагранжа λj при j E могут иметь произвольный знак.

Теорема Джона не гарантирует, что множитель Лагранжа целевой функции, λ0, отличен от нуля. Однако если λ0 = 0, то условия Куна-Таккера характеризуют не решение рассматриваемой задачи, а структуру множества ограничений в точке x- и теорема не имеет непосредственной связи с интересующей нас задачей максимизации функции φ( ), поскольку градиент самой функции φ( ) «пропадает» из условий Куна — Таккера. Поэтому важно охарактеризовать условия, которые гарантируют, что λ0 > 0. Такие условия называются условиями регулярности.

692

693

Одно из условий регулярности формулируется следующим образом: градиенты активных ограничений в точке x- линейно независимы.

Обозначим через A множество индексов тех ограничений, которые в точке оптимума x- активны, т.е.

ψj(x-) = 0 j A.

Тогда если градиенты ограничений — векторы

{ ψj(x-)}j A

линейно независимы, то λ0 > 0.

Заметим, что если λ0 > 0, то без потери общности можно считать λ0 = 1, что обычно и делается. Соответствующую теорему и называют собственно (прямой) теоремой Куна — Таккера.

Прямая теорема Куна — Таккера (необходимое условие оптимальности)

Пусть функции φ( ), ψ1( ), ..., ψn( ) дифференцируемы, и x- — решение задачи (*), такое что x- int(X) и выполнено условие регулярности указанного типа.

Тогда существуют множители Лагранжа λj >0, j = 1, ..., m, такие что при λ0 = 1 выполнены следующие соотношения:

Несложно переформулировать эту теорему для задач (**) и (***). Здесь требуются такие же модификации условий Куна — Таккера, как и в теореме Джона.

Условие

∂L(x-, λ)

∂xi = 0, i=1, ..., n

можно переписать в виде:

m

φ(x-) = –Ûλj ψj(x-).

j=1

Это соотношение показывает, что в точке оптимума градиент целевой функции является линейной комбинацией градиентов ограничений, причем все коэффициенты этой линейной комбинации неположительны.

Один из вариантов обратной теорема Куна — Таккера утверждает, что при вогнутости функций φ( ), {ψk( )} выполнение этих условий в допустимом решении x- (т.е. точке, удовлетворяющей ограничениям) при некоторых множителях Лагранжа, удовлетворяющих требованиям прямой теоремы, гарантирует, что x- является решением задачи.

Обратная теорема Куна–Таккера (достаточное условие оптимальности)

Пусть функции φ( ), ψ1( ), ..., ψn( ) дифференцируемы и вогнуты, множество X выпукло и точка x- допустима в задаче (*), причем x- int(X).

693

694

Пусть, кроме того, существуют множители Лагранжа λj >0, j = 1, ..., m, такие что при λ0 = 1 выполнены следующие соотношения:

Теорему можно очевидным образом переформулировать для задач (**) и (***).

694