Бусыгин

501

DL = ml Dl(c) + mh 2 Dh(c) – cD(c) –

– [ml Dl(pTP) + mh 2 Dh(pTP) – cD(pTP)]=

С точки зрения благосостояния общества однозначного выбора между двумя схемами сделать невозможно. В зависимости от соотношения между ml и mh чистые потери могут быть меньше либо в том, либо в другом случае.

Прибыль монополиста в случае применения пакетной дискриминации равна (ml + mh)2, а

4mlc

прибыль в случае применения двухкомпонентного тарифа равна (2ml + 5mh)2 . Легко

16(ml + 4mh)c

проверить, что вне зависимости от соотношения между ml и mh монополист предпочтет использовать пакетную дискриминацию.

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ПРИ ДИСКРИМИНАЦИИ ВТОРОГО ТИПА

Пакетная схема ценообразования является оптимальной для монополиста. Объясним, почему это так. Предположим, что в результате использования некоторой схемы ценообразования t( ) господин Low выберет сделку, при которой он приобретает xl блага и платит за него tl, а господин High — xh и th соответственно. Тогда монополист мог бы использовать пакетную дискриминацию, предложив потребителям «пакеты» (xl, tl) и (xh, th), первый из которых предпочитает господин Low, а второй — господин High. Таким образом, пара (xl, tl) и (xh, th) является допустимой в задаче выбора оптимальных пакетных сделок, и поэтому прибыль, получаемая монополистом при использовании любой другой схемы t( ) не может превышать прибыль, получаемую при использовании оптимальных пакетных сделок.

В частности, без использования дискриминации (ND) и при использовании двухкомпонентного тарифа (TP) монополист не может получить более высокую прибыль, чем при использовании оптимальных пакетных сделок (P), т.е.

ΠND < ΠP и ΠTP < ΠP.

Как было показано выше:

ΠND < ΠTP

Покажем, что при сделанных предположениях справедливо также следующее строгое соотношение:

ΠTP < ΠP.

Для этого установим, что если xTP (xTP) — объем покупок рассматриваемого блага потреби-

l h

501

502

построенных на их основе, справедливы утверждения:

1. Ограничения самовыявления не является связывающим и поэтому прибыль монополиста может быть увеличена за счет увеличения платы с каждого потребителя второго типа.

С другой стороны, v′ (xTP) – p > 0, и поэтому монополист может повысить t по сравнению

h l h

с tTP, не нарушая условие самовыявления. Тем самым, его прибыль возрастет, что и дока-

h

зывает, что неравенство в вышеприведенном соотношении строгое: ΠTP < ΠP.

2. Поскольку p- > c′(D(p-)), то количество блага в сделке, предназначенной для покупателей второго типа, может быть увеличено, при соответствующем увеличении прибыли производителя, без нарушения условия самовыявления потребителей второго типа. Данное утверждение указывает еще один способ повышения прибыли — за счет увеличения xh.

Сказанное иллюстрирует рисунок 110. Площадь фигуры B на нижней части рисунка равна величине прироста платы за предлагаемое покупателю второго типа количество блага

Площадь фигуры C представляет величину прироста прибыли монополиста за счет увеличения количества блага в сделке, предназначенной для потребителя второго типа.

3-й тип ценовой дискриминации: «сегментация рынка»

Предположим теперь, что монополисту по каким-то причинам недоступны первые два типа дискриминации, но зато он имеет возможность продавать на k сегментах рынка или подрынках. Мы будем предполагать, что арбитраж между подрынками отсутствует, а именно, (1) невозможна покупка на одном рынке и перепродажа на другом, (2) каждый потребитель может покупать на одном, и только на одном подрынке (отсутствует персональный арбитраж). В этом случае монополист может установить разные цены на разных подрынках при том, что в пределах одного подрынка все потребители покупают благо по одной и той же цене.

502

503

При отсутствии арбитража подрынки независимы, в том смысле, что спрос на благо на каждом подрынке зависит только от цены на этом подрынке:

Di = Di(pi), i = 1, ..., k.

Покажем, что при дискриминации третьего типа монополист установит цену выше на том рынке, где эластичность спроса по цене (точнее, ее абсолютная величина) меньше.

Задача монополиста состоит в том, чтобы установить цены таким образом, чтобы полу-

pTP

C c

x

Рисунок 110

чить максимальную прибыль:

k k

Из условия первого порядка при предположении pi >0 i имеем

k

Di(pi) + piDi′(pi) = c′(ÛDs(ps)) Di′(pi), i.

s=1

Используя определение эластичности спроса на i–м подрынке,

получим

Поскольку правая часть во всех условиях первого порядка одинакова, то для любых двух подрынков, i, s, мы можем записать

503

504

Поэтому, если в равновесии |εi(pi)| < |εs(ps)|, то pi > ps, что и требовалось доказать.

Понятно, что монополист не может проиграть от дискриминации, но выигрывает ли он за счет потребителя, или за счет уменьшения чистых потерь, которые существуют при недискриминирующей монополии? Оценим возможное влияние дискриминации третьего типа на благосостояние.

По тем же причинам, которые были рассмотрены ранее, мы можем анализировать влияние дискриминации третьего типа на благосостояние, считая, что спрос на каждом из подрынков порождается поведением репрезентативных потребителей, по одному на каждый подрынок, имеющих квазилинейные функции полезности:

ui(xi, zi) = vi(xi) + zi.

Поскольку репрезентативный потребитель покупает все на данном рынке (xi = yi), то в дальнейшем будем писать yi.

Сравним рынок без дискриминации, на котором монополист устанавливает единую оптимальную цену -p, с рынком в условиях дискриминации третьего типа, когда на каждом из подрынков монополист устанавливает свою цену p~i.

Общая формула для индикатора благосостояния имеет вид:

W = Ûvi(yi) – c(Ûyi).

Если подставить в эту формулу функции спроса, получим

Предположим, что у каждого репрезентативного потребителя vi( ) — строго вогнутая возрастающая функция.

Напомним, что вогнутая функция обладает тем свойством, что лежит ниже своей касательной. Для любой вогнутой дифференцируемой функции f( ) имеет место неравенство

f(x1) (x1 – x0) < f(x1) – f(x0) < f(x0) (x1 – x0)

для любых x0, x1 из ее области определения. Применив это свойство к функции vi( ), получим, что

vi′(y~i) (y~i – -yi) < vi(y~i) – vi(y-i) < vi′(y-i) (y~i – -yi),

или

504

505

vi′(y~i) ∆yi < ∆vi < vi′(y-i) ∆yi, где ∆vi = vi(y~i) – vi(y-i), ∆yi = y~i – -yi.

Поскольку спрос порождается максимизацией квазилинейной функции полезности, то выполняются соотношения

-p = vi′(y-i);

p~i = vi′(y~i).

Используя их можно переписать неравенство (4) в виде

p~i ∆yi < ∆vi < -p ∆yi.

Суммируя по всем подрынкам, получим:

Мы рассмотрим только случай, когда монополист имеет постоянные предельные издержки, равные c:

k k

c(Ûyi) = Ûyi c

i=1 i=1

где c — некоторая константа. Вычитая из всех трех частей соотношения (#) изменение издержек при введении дискриминации,

c(Ûy~i) – c(Û-yi) = (Ûy~i)c – (Û-yi)c = Û∆yic,

можно оценить изменение индикатора благосостояния ∆W = W~ – W- :

Ûp~i ∆yi – Û∆yic < Ûvi(y~i) – (Ûy~i)c – Ûvi(y-i) – (Û-yi)c <

kk

<-p Û∆yi – Û∆yic

i=1 i=1

или

Вторая часть последнего неравенства говорит нам, что в ситуации. когда суммарный объем продаж не изменится, т.е. Û∆yi = 0, то прирост совокупного излишка (в данном случае совокупного потребительского излишка, так как предельные издержки по предположению постоянны) при переходе к дискриминации благосостояние не может вырасти, ∆W < 0. Таким образом, необходимым условием того, что совокупный потребительский излишек в результате дискриминации не упадет, является рост совокупных продаж. Таким образом, мы доказали следующее утверждение.

Теорема 7.

Пусть монополист перешел от единой цены (-p) к дискриминации по сегментам рынка. Пусть оба решения внутренние, функции полезности дифференцируемы, предельные издержки монополии постоянны. Тогда совокупное благосостояние общества может возрасти только в случае роста суммарного выпуска.

505

506

Заметим, что полученная оценка изменения благосостояния опирается только на анализ поведения потребителей, но не на анализ поведения монополии. Смысл утверждения в том, что дискриминация вносит искажения в предельные нормы замещения по подрынкам: без дискриминации они одинаковы, а в случае дискриминации 3-го типа в общем случае разные. Если отрицательный эффект этих искажений не перекрывается ростом общего потребления, то излишек потребителей, а, следовательно, и общее благосостояние не может вырасти.

Если судить по тем результатам которые были получены при анализе первого и второго типов дискриминации, то наблюдается тенденция к падению чистых потерь от монополии при использовании монополистом дискриминации. Однако в случае использования дискриминации второго типа чистые потери могут вырасти по сравнению с недискриминирующей монополией. Пример такой ситуации построить очень просто.

Пример 9. («Теорема Дж. Робинсон и Р. Шмалензи»180)

Предположим, что функции спроса линейны, а предельные издержки равны c. Обратные функции спроса также должны быть линейными. Пусть они имеют вид

pi(yi) = ai – bi yi (ai, bi > 0).

Тогда недискриминирующий монополист, продающий на всех рынках, сталкивается на них со спросом при цене p:

y (p) = ai – 1 p.

i bi bi

Мы предполагаем здесь, что цена не слишком велика, и спрос не равен нулю. Суммируя по подрынкам, получим функцию общего спроса

Функция обратного спроса при этом имеет вид:

и поэтому оптимальный объем продаж равен (см. Пример 1 на стр. 471)

При дискриминации по подрынкам монополист продает на i-м подрынке объем

y~ = ai – c.

i 2bi

Суммируя по подрынкам, получим

180 Джоан Робинсон — британский экономист, в своей работе «Economics of imperfect competitions» (1933г.), London, Macmillan (Д. Робинсон «Экономическая теория несовершенной конкуренции» М., 1986) показала, что в случае линейных функций спроса и издержек суммарный выпуск монополии, не проводящей дискриминацию, совпадает с выпуском монополии, проводящей дискриминацию третьего типа. Американский экономист Ричард Шмалензи показал, что в случае линейных функций спроса и издержек благосостояние ниже при использовании дискриминации (Schmalensee, R. (1981), "Output and welfare implications of monopolistic third-degree price discrimination," American Economic Review, 71 (March), 242–247).

506

Поскольку объем продаж не меняется, то по Теореме 7 благосостояние не может возрасти, и, следовательно, чистые потери не могут уменьшиться. Более того, при том же объеме производства благосостояние при использовании дискриминации должно быть меньше, поскольку цены, а, следовательно, и предельные нормы замещения у разных потребителей оказываются разными. Совпадение чистых потерь возможно только при совпадении цен на всех подрынках, т.е. когда

или

ai = as i, s.

Можно также непосредственно вычислить чистые потери в двух ситуациях и затем сравнить их. Читатель может проделать это самостоятельно. Мы дадим лишь графическое сравнение в случае двух подрынков.

На Рис. 111 первый подрынок изображен в правой системе координат, а второй — в левой. Соответствующие функции спроса обозначены через D1 и D2. Предполагаем, что a1 > a2. Совокупный излишек на первом рынке равен площади фигур A и B, а на втором рынке

— площади фигуры C. Чистые потери составляют четверть этих площадей, поскольку можно рассматривать дискриминирующую монополию как недискриминирующую на каждом из подрынков (см. Пример 2 на стр. 479). Таким образом, если монополист дискриминирует по подрынкам, то чистые потери составляют (A + B + C)/4.

Если монополист не проводит дискриминацию, то он сталкивается со спросом D1(p) + D2(p) при низких ценах и со спросом D1(p) при высоких (так как при a1 > p >a2 спрос на втором подрынке равен нулю, в то время как спрос на первом подрынке все еще остается положительным). Таким образом, кривая спроса представляет собой ломаную. Пусть параметры функций спроса и предельных издержек таковы, что в оптимуме монополист продает на обоих подрынках, и следовательно оптимальная цена -p лежит на нижнем участке кривой спроса (-p < a2). При нахождении чистых потерь (в этом случае) важна форма кривой спроса только при ценах не превышающих -p. Таким образом, можно считать, что в верхней части кривая спроса не изгибается, что показано на Рис. 111 пунктиром. При этом

чистые потери должны составлять четверть треугольника, составленного из фигур A и C ′. Т.е. без дискриминации чистые потери составляют (A + C ′)/4.

507

Рисунок 111

Заметим теперь, что площади треугольников C и C ′ равны, поскольку высоты и основания у них равны. Получаем, что без дискриминации чистые потери меньше на величину

B/4.

Задачи

13. Сравните рассмотренные схемы (поведение недискриминирующего монополиста или схему линейного тарифа, схему двухкомпонентного тарифа, пакетную дискриминацию и идеальную дискриминацию) в случае, когда предпочтения потребителей имеют следующий вид

ui(yi,wi) = 0.5θi [1– (1 – yi)2] + wi.

14. Докажите существование решения задачи идеальной дискриминации при следующих условиях:

♦предельные издержки постоянны, vi( ), i дифференцируемы;

♦v′i(0) > c′(0) i;

♦существуют y~i > 0, такие что vi(y~i) – c(y~i) > vi(y) – c(y) при y > y~i.

15.Представьте проанализированные способы дискриминации в виде динамических игр. Объясните, почему рассмотренные решения соответствуют совершенным в подыграх равновесиям данных игр.

16.Представьте проанализированные схемы дискриминации второго типа в виде динамических байесовских игр в случае постоянных предельных издержек, рассматривая доли участников разных типов как вероятности. Объясните, почему рассмотренные решения соответствуют совершенным байесовским равновесиям данных игр.

17.Предположим, что функции спроса потребителей и функция издержек линейны, а число участников типа «господин Low» не превышает число участников типа «господин High». Покажите, что если при линейном тарифе монополисту невыгодно обслуживать потребителей типа «господин Low», то их оказывается невыгодным обсуживать и при пакетной дискриминации. Покажите, построив контрпример, что обратное неверно.

508

509

18.Проверьте, что когда функции спроса имеют вид D(pi) = αi(β – p) , тогда монополисту не выгодно применять дискриминацию третьего типа.

19.Потребитель имеет функцию спроса D(p) = 10 – p. Предельные издержки монополии постоянны MC = 5. Какие сделки может предложить ему монополия, чтобы получить весь излишек (идеальная ценовая дискриминация). Для каждого вида сделок найти все параметры.

20.Фирма-монополист может разделить своих потребителей на n непересекающихся групп. Функция спроса каждой группы (i = 1,...,n) от цены равна yi(pi) (y′i > 0), общая

n

функция издержек: c(y), где y = Ûyi (c'>0).

i=1

Пусть n = 2,

y1 = (a1 + a2 + b1) – b1p1,

y2 = (a2 + b1 + b2) – (b1+b2)p2, c(y) = y,

где a1, a2, b1, b2 — положительные константы.

1)Возьмите конкретные числа a1, a2, b1, b2 и найдите максимум прибыли при использовании дискриминации и без (когда цена одинакова). В каком случае объем производства выше?

2)Покажите, что при любом наборе констант цену для первой группы выгодно установить более высокую.

21.В той же ситуации взять yi = bipi(1+1/ai), ai, bi > 0. Доказать, при произвольном n, что отношения цен в равновесии не зависят от c(.) и найти их.

22.Пусть монополист продает на двух независимых рынках, где эластичность спроса по-

стоянна и составляет ε1, на одном, ε2 на другом. предельные издержки c′(y) = c постоянны. Какие цены установятся на обоих рынках?

23.Как в ситуации Примера 9 (стр. 506) соотносятся цены на каждом из подрынков при дискриминации с ценой, назначаемой монополистом без применения дискриминации?

24.В ситуации Примера 9 (стр. 506), вычислив чистые потери благосостояния при дискриминации, проверьте, проведя соответствующие алгебраические преобразования, что они не меньше, чем потери без дискриминации. Для упрощения считайте, что предельные издержки нулевые. При доказательстве воспользуйтесь неравенством Коши– Буняковского:

(x1y1 + + xkyk)2 <(x12 + + xk2)(y12 + + yk2).

509

510

25.Постройте пример, в котором при дискриминации третьего типа чистые потери были бы меньше, чем без дискриминации.

26.Пусть в случае дискриминации второго типа монополист сталкивается на каждом из подрынков с обратной функцией спроса pi, которая зависит не только от объема продаж

на данном подрынке, но и от объемов продаж на других подрынках, т.е. pi = pi(yi, y–i). Рассмотрите случай двух подрынков, когда емкость подрынка с меньшей эластичностью спроса (точнее, ее абсолютная величина) больше. Докажите, что монополист установит цену выше на том подрынке, где эластичность спроса по цене меньше.

27. Используя результаты Примеров 7 и 9 покажите, что предпочтение монополиста относительно применения конкретной схемы реализации дискриминации второго типа зависит от структуры рынка (количества потребителей каждого вида).

510