Бусыгин

561

Предположим, что один из игроков в первом периоде назначил цену отличную от монопольной:

p < pM.

(Если игрок в первом периоде назначит цену выше монопольной, то его общая прибыль будет равна нулю, поэтому ему не выгодно назначать такую цену.)

Этот игрок в первом периоде получит весь спрос целиком и его прибыль составит

(p – c)D(p).

Во все последующие периоды его прибыль будет нулевая, поскольку другой игрок, придерживаясь своей стратегии, будет наказывать его за отклонение от соглашения: будет держать цену на уровне предельных издержек. Отклонение от стратегии в первом периоде будет выгодным, если

1 ΠM (p – c)D(p) > 2 1 – δ.

При непрерывной кривой спроса игрок может сделать прибыль (p – c)D(p) сколь угодно близкой к монопольной прибыли ΠM = (pM – c)D(pM). Таким образом, чтобы рассматриваемый набор стратегий мог быть равновесным, требуется чтобы

1 < 12 1 1– δ

или

δ > 12.

Мы доказали, что в первом периоде при δ > 1/2 игроку нет смысла отклоняться от своей стратегии. При δ < 1/2 выгодно отклоняться, т.е. это не равновесие Нэша.

Выгодно ли ему делать это в последующие периоды? Нет, поскольку ситуация будет той же — прибыли останутся теми же с точностью до возрастающего линейного преобразования (считая дисконтирование и прибыль в периоды до нарушения соглашения).

Таким образом, доказано, что рассматриваемый набор стратегий является равновесием Нэша. Нам осталось доказать, что он будет равновесием Нэша в каждой подыгре. Для этого достаточно понять, что с точностью до возрастающего линейного преобразования выигрышей каждая подыгра повторяет исходную игру. *

Таким образом, доказано, что в рассмотренной бесконечной повторяющейся игре существует Парето-оптимальное (с точки зрения олигополистов) равновесие. Фактически же это равновесие не будет единственным. Можно придумать бесконечно много различных пар стратегий, составляющих совершенное в подыграх равновесие, и среди этих равновесий есть не Парето-оптимальные.

Задачи

28. Найдите равновесие в модели Бертрана в случае неодинаковых (но постоянных) предельных издержек.

561

563

щими функциями предложения. При соответствующих предположениях функции отклика удовлетворяют условиям первого порядка:

c′j(Rj(p)) = p,

то есть функции Rj(p) являются обратными к функциям предельных издержек c′j(yj)218. Обычно предполагают, что функции издержек характеризуются убывающей отдачей, так что функции предельных издержек возрастают и поэтому являются обратимыми.

В свою очередь, лидер выбирает цену, ориентируясь на функции отклика. Для каждого уровня цены, выбранной лидером, можно определить остаточный спрос:

n

D1(p) = D(p) – ÛRj(p).

j=2

Фактически, лидера можно рассматривать как монополиста, сталкивающегося с функцией спроса D1(p). Таким образом, лидер решает задачу

Π1 = D1(p)p – c1(D1(p)) → max p .

На Рис. 126 дана иллюстрация равновесия олигополии с ценовым лидерством для случая

n= 4.

Задачи

32.Сформулируйте и докажите теорему существования равновесия в модели ценового лидерства. (Подсказка: В качестве образца возьмите доказательство существования равновесия в модели Штакельберга.)

33.Пусть в дуопольной отрасли, в которой фирмы конкурируют в соответствии с моделью

ценового лидерства, функция издержек лидера и ведомого равны c1(y1) = c y1 и c2(y2) = y22 соответственно, а функция спроса равна D(p) = a – b p. Показать, что суммарный выпуск будет больше, чем в равновесии Курно, но меньше, чем Парето-оптимальный. Показать равновесие графически.

34.Двое олигополистов конкурируют по типу модели ценового лидерства. Лидер имеет нулевые предельные издержки, а ведомый имеет квадратичную функцию издержек:

c2(y2) = y22/2. Спрос в отрасли описывается функцией D(p) = 8 – p. Сколько суммарной прибыли выиграли бы олигополисты, если бы сумели объединиться в одну фирму (картель)?

218 Предполагается, что уравнение имеет решение при всех p > 0.

563

564

13. Модели найма

Модели с неполной и неодинаковой информированностью экономических субъектов о характере сделки, свойствах обмениваемых благ, их воздействиях друг с другом и др. довольно многообразны. В этой главе мы разберем ситуацию взаимодействия двух экономических субъектов: нанимателя (заказчика, владельца, начальника), и нанимаемого работника (подрядчика, менеджера, подчиненного), известную под названием "Principal-Agent problem".

Модель с полной информацией

Рассмотрим сначала модель найма, в которой участники сделки полностью информированы обо всех ее характеристиках (ее условиях, результатах).

В этой модели наниматель владеет неким «фактором производства», позволяющим получать доход (добавленную стоимость) величиной y = y(x), если уровень усилий работника составляет величину x X, где X — множество возможных усилий (действий). Обычно предполагается, что функция y( ) является возрастающей и вогнутой, что означает, что доход возрастает с уровнем усилий, но с «убывающей отдачей». В предположении дифференцируемости функции y( ) это означает, что y′(x) > 0, x X и y′( ) убывает.

Для стимулирования усилий работника наниматель выбирает схему оплаты w( ) в зависимости от некоторого наблюдаемого им сигнала о величине таких усилий. Схему оплаты w( ) называют также контрактом.

При этом, выбирая контракт, наниматель максимизирует остаточный доход, то есть разность между создаваемым работником доходом y и вознаграждением w. Будем называть эту величину прибылью нанимателя:

Π= y(x) – w.

Естественно предполагать, что полезность работника в результате работы по найму зависит от уровня усилий и от величины оплаты, т.е. u = u(x, w). Для упрощения анализа будем предполагать, что эта функция является сепарабельной:

u(x, w) = v(w) – c(x),

где v(w) — полезность от зарплаты w, а c(x) — тягость усилий x. Будем предполагать, что v( ) — возрастающая вогнутая функция, c( ) — возрастающая выпуклая функция. Если эти функции дифференцируемы, то приведенные условия модифицируются следующим образом: v′(x) > 0, v′( ) убывает (убывающая предельная полезность), c′(x) > 0 и c′( ) возрастает (возрастающая предельная тягость усилий).

Предположим сначала, что работник характеризуется резервной полезностью u0. Это полезность альтернативной занятости, и работник не согласится на работу по контракту, если его полезность окажется меньше u0. (Мы будем предполагать, что когда u = u0, работник соглашается на данную работу).

Предполагают, что наниматель, выбирая схему оплаты (контракт) знает функцию полезности и резервную полезность работника, а работник принимает контракт как данный.

Можно рассматривать данную модель как динамическую игру. В ней стратегия нанимателя — контракт w( ). Мы рассмотрим один из вариантов модели, в которой контракт — это функция от усилий x: w = w(x).

564

565

1.Наниматель выбирает функцию w( ) — контракт.

2.Работник выбирает, работать ему или нет (заключать или не заключать контракт).

3.Работник, если он подписал контракт, выбирает уровень усилий x.

Можно изобразить эту игру в виде дерева.

Наниматель

w( )

Рисунок 127. Представление модели наниматель-работник в виде дерева

Для полного описания игры необходимо задать множество допустимых выборов нанимателя — множество возможных контрактов {w( )}. В случае, если множество усилий не является конечным, решение описанной игры существует не для всех множеств возможных контрактов: задача работника (выбор усилий x) имеет решение далеко не для всех типов контрактов w( ). Мы будем в дальнейшем предполагать, что наниматель может выбрать любой контракт, при котором задача работника имеет решение.

Это ситуация полной информации — всем все известно (о технологии, предпочтениях и производимых усилиях). Равновесие можно найти с помощью обратной индукции. При данном контракте w( ) работник решает задачу

u = v(w(x)) – c(x) → max x X ,

и выбирает соответствующие усилия x*:

x* argmax x X(v(w(x)) – c(x)),

(ясно, что решение может быть и не единственное). При дифференцируемости функций

v′(w(x*))w′(x*) = c′(x*)

для внутреннего решения.

Рисунок 128. Выбор работником оптимальных действий

Далее, работник выбирает, подписывать ли ему контракт, зная оптимальное решение. Он сравнивает величины u0 и maxx X(v(w(x)) – c(x)). Если maxx X(v(w(x)) – c(x)) < u0, работ-

ник отказывается подписывать контракт и выигрыш предпринимателя оказывается равным нулю. Если u0 оказывается выше, то работник не подписывает контракт. Напомним, что если полезность одинакова при обоих вариантах его поведения, то мы предполагаем, что работник принимает решение подписать контракт.

565

566

Таким образом, в этой ситуации решение работника зависит от предлагаемого ему контракта — w( ). С другой стороны, от решения работника x* зависит величина прибыли Π= y(x*) – w(x*). Наниматель предлагает контракт, дающий ему максимальную прибыль с учетом предсказуемого решения работника219.

Эти рассуждения позволяют сформулировать следующую задачу, с помощью которой можно найти решения игры:

Ограничение (1) называют ограничением совместимости стимулов. Ограничение (2) называют ограничением участия. Ограничение участия исключает из анализа случай v(w(x*)) – c(x*) < u0, для которого выигрыши участников известны, упрощая анализ (в противном случае требовалось бы искать максимум, вообще говоря, разрывной функции выигрыша нанимателя). Если в полученном решении прибыль нанимателя отрицательна, то он предложит работнику такой контракт, который тот не подпишет; при этом наниматель получит более высокую прибыль (нулевую).220

Если решение задачи работника x* не единственно, то будем считать, что работник делает выбор, благоприятный для нанимателя. Поэтому можно предполагать, что наниматель сам выбирает x* при тех же ограничениях. Т.е. он выбирает как w( ), так и x*, решая следующую задачу:

Π= y(x*) – w(x*) → max x*, w( ) v(w(x*)) – c(x*) >v(w(x)) – c(x), x X,

v(w(x*)) – c(x*) >u0.

(Заметьте, что здесь ограничение совместимости стимулов записано несколько в другом виде).

Решение этой задачи нанимателя включает в себя максимизацию по функции, причем обычно решение является не единственным. Для нахождения решения удобно рассмотреть сначала вспомогательную задачу, без ограничения совместимости стимулов

Π= y(x*) – w(x*) → max x*, w( ) v(w(x*)) – c(x*) >u0.

Вводя обозначения w = w(x*), x = x*, приходим к следующей задаче:

Π= y(x) – w → max x, w

v(w) – c(x) >u0.

В этой задаче выбираются оптимальные для нанимателя значения x и w при учете только ограничения участия. Поэтому уровень прибыли, соответствующий решению этой задачи, не может быть ниже ее уровня, соответствующего оптимальному контракту. В дальнейшем мы покажем, что в действительности они совпадают.

219Фактически, рассматривается решение игры в виде совершенного в подыграх равновесия.

220Можно было бы добавить еще один ход нанимателя: предлагать контракт или нет. Тогда в рассматриваемом «невыгодном» случае нанимателю достаточно не предлагать работнику никакого контракта.

566

567

Обозначим решение этой вспомогательной задачи через (x^, w^).

С учетом ограничения участия (которое в точке решения выполняется как равенство) ее можно свести к следующей задаче безусловной оптимизации по уровню усилий x:

Π= y(x) – v–1(c(x) + u0) → max x

Для данного уровня усилий x^, в котором достигается максимум, плата должна быть равна w^ = v–1(c(x^) + u0).

При дифференцируемости функций внутреннее решение характеризуется соотношением

c′(x^) y′(x^) = v′(w^).

Рисунок 129. Идеальная для нанимателя ситуация, выбор x^ и w^

Это будет Парето-оптимум с точки зрения целевых функций Π и u, (элемент переговорного множества, наиболее предпочитаемый нанимателем: наниматель получит весь излишек от сделки), см. Рис??.

Рисунок 130. Идеальная для нанимателя ситуация на Парето-границе

Может ли наниматель достичь этой идеальной для себя ситуации?

Если нет ограничений на возможные контракты, то да, причем несколькими способами. Действительно, для этого следует выбрать контракт w( ) таким образом, чтобы решение задачи работника

v(w(x)) – c(x) → max x X

достигалось в требуемой точке x^ и работник получал в этой точке требуемую оплату w^ = w(x^). Графически это означает, что кривая v(w(x)) лежит под кривой c(x) + u0 и совпадает с ней в точке (x^, w^). Если c( ) и y( ) дифференцируемы и ищется дифференцируемая функция w( ), то для внутреннего решения должно быть выполнено

c′(x^)

w′(x^) = v′(w^) ( = y′(x^) ).

567

Рисунок 131. Подбор схемы оплаты, реализующей идеальную для нанимателя ситуацию

Таким образом, если стратегии нанимателя и работника составляют равновесие, причем в равновесии выполнено ограничение участия, то они обладают следующими характеристиками:

Усилия работника в равновесии равны x = x^, а равновесный контракт w( ) удовлетворяет условиям w(x) <v–1(c(x) + u0) x X и w(x^) = w^. Если работник сталкивается с произвольным (в том числе неравновесным) контрактом w( ), то он выбирает уровень усилий x = x*(w( )), который максимизирует полезность работника v(w(x)) – c(x).

Верно и обратное: если существует уровень усилий x, при котором прибыль y(x) – v– 1(c(x) + u0) неотрицательна, то любые стратегии, удовлетворяющие этим условиям, составляют равновесие рассматриваемой игры.

Опишем несколько простейших контрактов, при использовании которых достигается идеальная для нанимателя ситуация.

1) Пакетный контракт («не хочешь, не бери», "take-it-or-leave-it"). Простейший контракт обуславливает положительную оплату только для уровня усилий x^, например,

0, x ≠x-, w(x) = w-, x = x-.

Контракт

0, x < x-, w(x) = >

w-, x x-.

также будем называть пакетным (см. Рис. ??).

Рисунок 132. Оптимальный пакетный контракт

Очевидно, что для оптимальности пакетного контракта его параметры x- и w- следует выбрать следующим образом:

x-= x^ и w- = w^.

2) Линейный по усилиям контракт:

w(x) = a + bx.

568

569

Найдем его параметры. Из условия w′(x^) = y′(x^) получаем, что

b = y′(x^).

Из условия v(w(x^)) = v(w^) = c(x^) + u0 получаем, что a = w^ – bx^ = v–1(c(x^) + u0) – bx^,

Т.е. если x^ — оптимальные усилия, а w^ — соответствующая оплата то

Рисунок 133. Оптимальный линейный по действиям контракт

3) Линейный по результатам контракт:

w(x) = a + by(x).

Для того, чтобы выполнялось w′(x^) = y′(x^), требуется, чтобы b = 1. Таким образом, это должен быть контракт с полной ответственностью — все прибыли и убытки берет на себя работник. Наниматель же получает фиксированную сумму A = –a (Π= A). Т.е.

w(x) = y(x) – A.

Для того, чтобы этот контракт был оптимальным для нанимателя, следует выбрать

A = y(x^) – w^.

Контракт с полной ответственностью заставляет работника, по сути дела, самому решать задачу нанимателя, которая была сформулирована нами ранее.

Рисунок 134. Оптимальный линейный по результатам контракт

Мы рассмотрели модель с полной информацией. Далее рассмотрим модели с неполной и, прежде всего, асимметричной информацией, в которых работник владеет некоторой информацией, а наниматель — нет.

Задачи

1. Барин выбирает, какую долю τ [0; 1] стоимости урожая y забирать у крестьянина в виде издольщины. При этом он максимизирует свой ожидаемый доход τy. Крестьянин максимизирует по y >0 функцию (1 – τ) y – y2, то есть прибыль при квадратичной функции тягости усилий.

569

570

(1)Найти оптимальную для барина долю τ.

(2)Что будет, если дополнительно к издольщине барин может использовать фиксированный оброк (r)? Какими данными следует дополнить задачу, чтобы она имела решение? Введите соответствующие обозначения, запишите целевые функции и найдите решение.

2. [Varian] Профессор P наняла преподавателя-ассистента мистера A. Профессора интересует, сколько часов мистер A будет преподавать, а также то, сколько она должна ему заплатить. Профессор P желает максимизировать свою функцию заработной платы x – w, где x — количество часов, преподаваемых мистером A, а w — заработная плата, которую она ему платит. Если мистер A преподает x часов и получает w, то его полезность равна w – x2/2. Резервная полезность мистера A равна нулю.

(a)Если профессор P выбирает x и w, максимизируя свою полезность при ограничении, что мистер A готов на нее работать, то сколько часов будет преподавать мистер A и сколько ему придется заплатить?

(b)Предположим, что профессор P устанавливает схему заработной платы в форме w(x) = ax + b и позволяет мистеру A выбирать количество часов x. Какие значения a и b следует выбрать профессору P? Удалось бы профессору P достичь более высокого уровня заработной платы, если бы она использовала схему w(x) более общей функциональной формы?

Модель с ненаблюдаемыми действиями

Рассмотрим модель, в которой скрытыми являются действия работника, то есть наниматель не знает, какие усилия произвел работник, он наблюдает только их результат, и в этих условиях нанимателю нужно стимулировать работника выбрать уровень усилий, который бы максимизировал ожидаемую прибыль.

Примером такой ситуации является рынок страховых услуг. Если условия страхования актуарно справедливы, страхователю выгодно заключить контракт на величину, равную потенциальным потерям. Однако, застраховав имущество, многие начинают использовать его менее аккуратно, тем самым увеличивая риск его потери или порчи, то есть риск наступления страхового случая. Это связано с ненаблюдаемостью усилий по сохранению имущества и невозможностью обусловить плату уровнем этих усилий. Подобные ситуации известны в экономической теории под названием моральный риск. Ясно, что страховой компании выгодно стимулировать своих клиентов относиться к застрахованному имуществу более бережно, однако, как правило, это можно сделать только за счет неполного страхования.

Формулировка модели и общие свойства

Пусть действия работника, x, ненаблюдаемы. Результат же действий (доход), y~, есть (нетривиальная) случайная величина, распределение которой зависит от x:

y~~ Fx.

Здесь {Fx} — это семейство распределений с параметром x. Через Fx( ) обозначим соответствующую функцию распределения.

(В соответствии с моделью принятия решений при риске, можно предположить, что y~ — это случайная величина, заданная на состояниях мира s S).

Для простоты мы в дальнейшем будем предполагать, что носитель этого распределения (область значений, принимаемых величиной y~) не зависит от x. Содержательно это озна-

570