Бусыгин

531

3.Докажите существование равновесия в модели Курно, используя приведенные в тексте указания.

4.Докажите, что если функция спроса убывает и вогнута, а функция издержек выпукла, обе они дважды непрерывно дифференцируемы, то выполняется следующее условие (условие Хана)

p′(Y) + p′′(Y) yj < 0 и p′(Y) – c″j (yj) < 0 j, Y, yj.

5. Докажите, что если обратная функция спроса убывает и вогнута, то отображение отклика каждого производителя не возрастает, т.е. если Y1–j < Y2–j, то для любых y1j Rj(Y1–j) и y2jRj(Y2–j) выполнено y1j > y2j.

Указание. Воспользуйтесь тем, что

Πj(Y1–j, y1j) > Πj(Y1–j, y2j) и Πj(Y2–j, y2j) > Πj(Y2–j, y1j).

Предположите противное (y1j < y2j) и используйте определение вогнутости функции.

6. Предположим, что обратная функция спроса p(y) и функция издержек cj(y) дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию:

Докажите что при этих предположениях существует единственное равновесие Курно, а если, кроме того, функции издержек всех производителей одинаковы, это равновесие симметрично, т.е. y*j = y*i j, i

Указание. Рассмотрите функции двух переменных

Tj(Y, yj) = p(Y) + p′(Y) yj

Заметим, что если (y*1,..., y*n) — равновесие Курно, то

Tj(Y*, y*j) < 0,

причем

Tj(Y*, y*j) = 0, если y*j > 0,

где Y*= Û y*j.

j

(1)Покажите, что в условиях (*) функции Tj(Y*, yj*) монотонно убывают по обеим переменным. Обозначим это предположение (**).

(2)Пусть существуют два равновесия Курно, такие что для суммарных объемов производства выполнено Y1 > Y2. Докажите от противного, используя (**), что y1j < y2j j. Таким образом, суммарный объем производства в двух равновесиях Курно должен совпадать.

Рассмотрите случай Y1 = Y2 и докажите, что y1j = y2j j.

(3) Докажите симметричность равновесия.

531

532

7.Пусть так же, как и в предыдущей задаче, выполнено предположение (**). Рассмотрите внутренние равновесия Курно при n и n+1 участниках. Покажите, что Y*n+1 > Yn* и yj,n+1* <

y*j,n.

8.Предположим, что предельные издержки у всех производителей постоянны и выполнено предположение (**).

Покажите, что если предельные издержки одного из производителей сокращаются при неизменных предельных издержках других производителей, то их выпуск в равновесии Курно сокращается, а совокупный выпуск возрастает.

9.Предположим, что выполнено условие (*), функции издержек олигополистов одинаковы и средние издержки не убывают. Тогда благосостояние (измеряемое величиной совокупного излишка) возрастает при росте числа фирм в отрасли.

10.Покажите, что если в дуополии Курно предельные издержки производителей удовлетворяют соотношению

196 Von Stackelberg, H. Marktform und Gleichgewicht. Wien: Springer, 1934.

532

533

Эта модель приложима, например, к ситуации, когда в новой отрасли лидирующая фирма выбирает размер строящегося завода (мощность) и решает «работать на полную мощность». Считается, что она хорошо описывает рыночную ситуацию в случае, когда фирмалидер, занимает значительную долю рынка. Так или иначе, ситуации, представленные в модели не столь и редки на реальных рынках. С точки зрения теории игр модель Штакельберга представляет собой динамическую игру с совершенной информацией, в которой лидер делает ход первым. Дерево игры изображено на Рис. 113.

Выпуски (yS1 , y2S), соответствующие совершенному в подыграх равновесию этой модели принято называть равновесием Штакельберга. Вектор выпусков не есть собственно совершенное в подыграх равновесие. По определению совершенное в подыграх равновесие — это набор стратегий, (yS1 , r2S( )), где rS2 ( ) — равновесная стратегия ведомого игрока. (Стратегия ведомого игрока должна быть функцией r2(y1), которая сопоставляет каждому ходу лидера некоторый отклик.)

Определение 2.

Вектор выпусков (yS1 , yS2 ), называется равновесием Штакельберга, если существует функция (представляющая равновесную стратегию ведомого)

rS2 ( ): Ê+ & Ê+,

такая, что выполнены два условия:

1)Выпуск y2 = rS2 (y1) максимизирует прибыль ведомого на [0, +∞) при любом выпуске лидера, y1 > 0.

2)Выпуск y1S является решением следующей задачи максимизации прибыли лидера:

Π1 = y1 p(y1 + r2S(y1)) y1 – c1(y1) → max y1>0.

Равновесие Штакельберга находят с помощью обратной индукции. Лидер, назначая выпуск, рассчитывает отклик ведомого, R2(y1). Отклик будет таким же, как в модели Курно. Вообще говоря, отклик может быть неоднозначным. Тогда различные функции r2(y1), удовлетворяющие условию:

r2(y1) R2(y1) y1

могут задавать различные равновесия.

Мы будем далее предполагать, если не оговорено противное, что оптимальный отклик однозначен, т.е. R2(y1) — функция197. Задача лидера в этом случае имеет вид:

Π1 = y1 p(y1 + R2(y1)) y1 – c1(y1) → max y1>0.

Если решением этой задачи является yS1 , и y2S = R2(yS1 ), то (y1S, yS2 ) — равновесие Штакельберга.

Дуополию Штакельберга можно представить графически (см. Рис. 114). Разницу между равновесиями в моделях Курно и Штакельберга иллюстрирует Рисунок 115. Лидер выбирает точку на кривой отклика, которая бы максимизировала его прибыль. В равновесии кривая равной прибыли лидера касается кривой отклика.

197 Однозначность отклика можно, например, гарантировать, если выполнено условие Хана (см. сноску 187).

533

534

y2

yS

y2 = R2(y1)

y1

Рисунок 114

yS

y2 = R2(y1)

Рисунок 115

Существование равновесия Штакельберга

Докажем теперь теорему существования равновесия в модели Штакельберга.

Теорема 7.

Предположим, что в модели Штакельберга выполнены следующие условия:

1)функции издержек cj(y) дифференцируемы,

2)обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает,

3)существуют y~j > 0 j = 1, 2 такие, что p(yj) < c′j(yj) при yj > y~j.

Тогда равновесие Штакельберга (yS1 , yS2 ) существует, причем 0 < ySj < y-j.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы во многом повторяет доказательство существования равновесия при монополии.

1) Докажем, что при любых ожиданиях относительно выпуска лидера ведомому не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем y~2, в том смысле, что Π2(y1, y2) < Π2(y1, y~2) y1 при y2 > y~2. Рассмотрим разность прибылей:

Π2(y1, y2) – Π2(y1, y~2) = p(y1 + y2) y2 – p(y1 + y~2) y~2 – (c2(y2) – c2(y~2)).

Эту разность можно преобразовать следующим образом:

Π2(y1, y2) – Π2(y1, y~2) =

534

Поскольку p(y) убывает, то p(y1 + y2) < p(y1 + t) при t < y2 и p(y1 + t) < p(t) при y1 > 0, по-

этому

Π2(y1, y2) – Π2(y1, y~2) <

y2

< p(y1 + y2) y2 – p(y1 + y~2) y~2 – p(y1 + y2)(y2 – y~2) + ø[p(t) – c′2(t)]dt =

y~2

y2

= (p(y1 + y2) – p(y1 + y~2)) y~2 + ø[p(t) – c′2(t)]dt < 0.

y~2

Таким образом, прибыль ведомого при y2 = y~2 выше, чем при выпуске любого большего количества. Тем самым, исходная задача выбора ведомого (при любом наперед заданном y1 > 0) эквивалентна задаче выбора на отрезке [0, y~2]. Другими словами, отображение отклика исходной задачи совпадает с отображением отклика в задаче максимизации прибыли ведомого на отрезке [0, y~2]. Обозначим множество решений модифицированной за-

дачи при данном y1 через R~2(y1). Тем самым определено отображение отклика R~2: Ê+ & [0, y~2]. Мы доказали, что R~2(y1) = R2(y1) y1.

По Теореме 9 из Приложения (стр. 539) для любого y множество решений R~2(y) непусто и

компактно, и, кроме того, отображение R~2( ) полунепрерывно сверху. (Читателю предоставляется проверить самостоятельно, что эта теорема применима в данном случае.) В силу совпадения R~2( ) и R2( ) теми же свойствами будет обладать и R2( ).

2) Рассмотрим теперь следующую задачу:

Π1(y1, y2) = y1 p(y1 + y2) y1 – c1(y1) → max y1,y2>0. (•) y2 R2(y1).

Докажем, что решение этой задачи существует.

Пользуясь теми же рассуждениями, что и для функции прибыли ведомого, можно показать, что при любом наперед заданном y2 > 0 прибыль лидера в точке y1 = y~1 больше, чем во всех точках y1 > y~1. Таким образом, множество решений задачи (•) не изменится, если в нее дополнительно включить ограничение y1 < y~1.

Таким образом, нам требуется, чтобы существовало решение задачи максимизации прибыли лидера по y1 и y2 на множестве

R = {(y1, y2) | y1 [0, y~1], y2 R2(y1) [0, y~2]}.

Из доказанных свойств отображения R2( ) следует, что множество R непусто, замкнуто и ограничено. Существование решения такой задачи следует из теоремы Вейерштрасса.

3) Пусть (y1S, y2S) — некоторое решение задачи (•). Теперь выбрав любую функцию r2S(y1), график которой проходит через точку (yS1 , y2S), и такую что

rS2 (y1) R2(y1) y1,

увидим, что выпуск yS1 является решением задачи лидера

Π1 = y1 p(y1 + rS2 (y1)) y1 – c1(y1) → max y1>0.

535

536

Действительно, этот выпуск максимизирует цели лидера на всем допустимом множестве задачи (•), а значит — и на множестве, суженном дополнительным ограничением y2 r2S (y1). Тем самым пара yS1 , r2S( ) удовлетворяет определению равновесия Штакельберга. *

Равновесие Штакельберга и равновесие Курно

Представляется интересным сравнить объемы производства в модели Курно и в модели Штакельберга. Результат сравнения для ведомого однозначен: в модели Штакельберга он производит меньше. Покажем это.

Пусть yC1 и yC2 — объемы производства в модели Курно.

Лидер в модели Штакельберга в предположении однозначности отклика ведомого всегда может обеспечить себе такую же прибыль, как в модели Курно, назначив y1 = yC1 , поэтому

p(yC1 + yC2 ) yC1 – c1(yC1 ) < p(y1S + y2S) yS1 – c1(yS1 ).198

Поскольку yC1 максимизирует прибыль лидера при y2 = yC2 , то p(yS1 + yC2 ) y1S – c1(yS1 ) < p(yC1 + yC2 ) yC1 – c1(yC1 ).

Если yS1 > 0, то из этих двух неравенств следует, что p(yS1 + yC2 ) < p(y1S + y2S).

Из убывания спроса имеем, что

yC2 > yS2 .

Результат сравнения между объемами производства лидера в двух ситуациях зависит от наклона кривой отклика. В случае, если R2( ) убывает (на достаточно большом интервале, который должен заведомо включать, как yC2 так и yS2 ), имеем

yC1 < yS1 .

Если же R2( ) возрастает, то, наоборот,

y2

y2 = R2(y1)

y1

Рисунок 116

yC1 > yS1 .

Функция R2( ) убывает, например, в случае линейного спроса и постоянных предельных издержек. Пример возрастающей функции отклика построить достаточно трудно. На Рис. 116 показана кривая отклика, соответствующая обратной функции спроса p(y) = 1/y2 при постоянных предельных издержках. При малых объемах производства лидера она возрастает, а при больших — убывает. Для более общего случая рассмотрим теорему.

Теорема 8.

198 Данное неравенство получено как сравнение прибылей лидера при выборе им объемов выпуска y1S и yC1 . Отметим, что при этом оптимальным откликом ведомого на yS1 будет yS2 , а на yC1 – yC2 .

536

537

Предположим, что выполнены следующие условия:

1)обратная функция спроса, p(y), и функция издержек, c2(y), дважды дифференцируемы,

2)обратная функция спроса имеет отрицательную производную: p′(y) < 0, y > 0,

3)p′(y1 + y2) – c″2(y2) < 0 при любых y1 и y2,

4)отклик R2(y1) является дифференцируемой функцией.199

Тогда в тех точках y1, где R2(y1) > 0, наклон функции отклика R2(y1), удовлетворяет условию

– 1 < R2′(y1) ,

то есть суммарный выпуск R2(y1) + y1, возрастает. Дополнительное условие200

p′(y1 + y2) + p″(y1 + y2) y2 < 0 y1, y1

является необходимым и достаточным для того, чтобы R2′(y1) < 0.

Доказательство.

При принятых предположениях докажем, что суммарный выпуск дуополии, y1 + R2(y1), возрастает по y1. Функция R2(y1) при всех y1 таких, что R2(y1) > 0 удовлетворяет условию первого порядка — равенству

p(y1 + R2(y1)) + p′(y1 + R2(y1)) R2(y1) = c2′(R2(y1)).

Дифференцируя это соотношение по y1, получим

p′(y1 + R2(y1)) (1 + R2′(y1)) + p″(y1 + R2(y1))R2(y1) (1 + R2′(y1)) + + p′(y1 + R2(y1)) R2′(y1) = c″2(R2(y1)) R2′(y1).

Отсюда

(1 + R2′(y1)) [2p′(y1 + R2(y1)) + p″(y1 + R2(y1))R2(y1) – c″2(R2(y1))] = = p′(y1 + R2(y1)) – c″2(R2(y1)).

По условию второго порядка

2p′(y1 + R2(y1)) + p″(y1 + R2(y1)) R2(y1) – c2″(R2(y1)) < 0.

С другой стороны, по предположению

p′(y1 + R2(y1)) – c″2(R2(y1)) < 0.

Это гарантирует, что

2p′(y1 + R2(y1)) + p″(y1 + R2(y1)) R2(y1) – c2″(R2(y1)) ≠ 0

Получаем, что

199Однозначность и дифференцируемость отклика рассмотрены в Приложении.

200Это условие, в частности, следует из строгой выпуклости функции потребительского излишка. Напомним, что это одно упоминавшихся ранее условий Хана.

537

538

откуда 1 + R2′(y1) > 0 или R′2(y1) > –1 .

Докажем теперь неубывание функции отклика R2(y1). Условие (*) можно переписать в виде

y2

В этой дроби знаменатель отрицателен, поэтому условие R2′(y1) < 0 эквивалентно отрицательности числителя, что и требовалось. *

Пользуясь полученным ранее результатом, получим, что если R2( ) убывает, то

yC1 + yC2 < yS1 + yS2 ,

а если возрастает, то

yC1 + yC2 > yS1 + yS2 .

В первом случае равновесная цена в равновесии Штакельберга не превышает равновесную цену в равновесии Курно, во втором — наоборот.

Иллюстрация полученных соотношений для случая убывающей кривой отклика представлена на Рис. 117. Из рисунка видно, что поскольку точка равновесия в модели Штакельберга лежит ниже кривой равной прибыли, проходящей через точка равновесия в модели Курно, то объем yC2 должен быть выше yS2 . Из-за убывания функции отклика объем yC1 оказывается ниже yS1 . Штрих-пунктирная линия, проходящая под углом 45° показывает расположение точек, в которых суммарный выпуск одинаков. Поскольку кривая отклика более пологая, то yC1 + yC2 оказывается меньше yS1 + yS2 .

Можно сравнить также прибыли участников в двух ситуациях. Как уже упоминалось ранее, по очевидным причинам прибыль лидера в модели Штакельберга выше. Читателю предлагается доказать самостоятельно простой факт, что прибыль ведомого в модели Штакельберга выше в случае возрастающей функции отклика, и ниже в случае убывающей функции отклика.

Пример 5.

Пусть обратная функция спроса линейна: p(y) = a – by, а функции издержек дуополистов имеют вид cj(yj) = cyj (j = 1,2). Функция отклика второго равна

R (y ) = a – c – by1.

2 1 2b

Подставив ее в прибыль лидера, получим

538

539

Максимум достигается при

Кроме того, в равновесии

Суммарный выпуск равен

Это больше, чем выпуск в модели Курно, но меньше, чем выпуск при совершенной конкуренции, то есть имеется неоптимальность.

Приложение

Рассмотрим параметрическую задачу условной максимизации:

Обозначим через m(x) значение целевой функции в максимуме:

m(x) = max{f(x, y) | y β(x)},

а через r(x) — множество оптимальных решений при параметрах x:

r(x) = {y β(x) | f(x, y) = m(x)}.

Относительно решений этой задачи верна следующая теорема:201

Теорема 9.

Пусть отображение β(x) компактнозначно и непрерывно, а f(x, y) — непрерывная функция. Тогда

а) функция m(x) непрерывна;

б) для любого x S множество r(x) не пусто и компактно, причем r( ) полунепрерывно сверху.

Условия существования и дифференцируемости функции отклика могут быть получены на основе следующей теоремы.

Теорема 10.

Рассмотрим задачу (Ρ) с постоянным отображением β(x) = β. Предположим, что существует пара (x-, y-), такая что y- r(x-) и y- int(β). Предположим, кроме того, что функция

201 См. В. Гильденбранд, «Ядро и равновесие в большой экономике». — М.: Наука, 1986, с. 31.

539

540

f(x, y) дважды непрерывно дифференцируема и строго вогнута по y в некоторой окре-

стности точки (x-, y-), и | 2yyf(x-, y-)| ≠ 0. Тогда решение задачи (Ρ) существует и единственно при любых x из некоторой окрестности точки x-, причем функция r(x) непрерыв-

но дифференцируема в этой окрестности.

Доказательство.

По условию y- — внутренняя точка в задаче (Ρ) при x = x-. Это означает, что пара (x-, y-) удовлетворяет условиям первого порядка:

yf(x-, y-) = 0.

Условия теоремы гарантируют выполнение всех предположений теоремы о неявной функции относительно соотношения

yf(x, y) = 0

и поэтому существует удовлетворяющая этому соотношению функция y = -r(x), определенная в некоторой окрестности точки x- и непрерывно дифференцируемая в этой окрестности. Из непрерывности -r(x) следует, что существует окрестность точки x-, в которой

-r(x) β.

Поскольку -r(x) удовлетворяет условиям первого порядка и функция f(x, y) строго вогнута по y, то -r(x) является единственным решением задачи (Ρ) при данном x. *

Задачи

13.Две фирмы, конкурируя на рынке, выбирают объемы производства. Известно, что для этих фирм равновесный объем производства в модели Курно совпадает с равновесным объемом производства в модели Штакельберга. Каков наклон кривых отклика в этой общей точке равновесия? Пояснить графически с использованием кривых отклика и кривых равной прибыли.

14.Рассмотрим отрасль с двумя фирмами. Пусть обратная функция спроса имеет вид

p(Y) = Y1 ,

и обе фирмы имеют постоянные предельные издержки cj (0 < cj < 1). При каких условиях равновесие в модели Штакельберга совпадает с равновесием в модели Курно? Изобразите эту ситуацию на диаграмме (в том числе поведение функций отклика).

15.Двое олигополистов имеют постоянные одинаковые предельные издержки равные 2. Предполагается, что они конкурируют как в модели Штакельберга. Спрос в отрасли задан обратной функцией спроса P(Y) = 16 – 0.5Y. Сколько суммарной прибыли они бы выиграли, если бы сумели объединиться в картель?

16.Рассмотрим дуополию, в которой у 1-й фирмы предельные издержки нулевые, а функция издержек 2-й фирмы равна

c2(y) = αy2,

где α > 0 — параметр. Обратная функция спроса в отрасли равна

P(Y) = 1 – Y.

540