Бусыгин

591

Предполагаем, что функция полезности работника любого типа сепарабельна по деньгам и усилиям:

uθ(x, w) = vθ(w) – cθ(x),

где, как и ранее, vθ(w) — полезность оплаты w, а cθ(x) — тягость усилий x для работника типа θ. Мы будем предполагать, что vθ(w) — возрастающая вогнутая функция, а cθ(x) — возрастающая выпуклая функция. Разные типы работников характеризуются разной формой функций vθ(w) и cθ(x).

Предположим, что vθ(w) = w.

Пусть xθ — усилия, которые, как планирует наниматель, должен осуществлять работник типа θ, а wθ — соответствующая зарплата. Пары (xθ, wθ) будем называть пакетами. Удобно начать изучение модели найма со скрытой информацией с задачи поиска оптимальных пакетов, по одному на каждый тип работника, а не с анализа нахождения оптимального контракта w(x), который бы специфицировал плату при каждом возможном уровне усилий работника. Оказывается, и мы это покажем в дальнейшем, что при таком упрощении модели мы, фактически, ничего не теряем.

Модель найма со скрытой информацией при монопольном положении нанимателя: характеристики оптимальных пакетных контрактов

Рассмотрим сначала случай найма с единственным нанимателем. При этом предположим, что каждый тип работников характеризуется уровнем резервной полезности u0θ, заданной экзогенно. (Если предложенный ему контракт обеспечивает полезность ниже величины u0θ , работник отказывается его подписывать). Нормируя функции издержек (добавляя к "первоначальным" функциям величины u0θ), будем считать, что все u0θ равны нулю.

Модель найма со скрытой информацией можно представить как динамическую игру с неполной информацией. Опишем последовательность ходов в этой игре:

0.«Природа» выбирает тип работника θ Θ.

1.Наниматель, не зная типа, предлагает контракты — пакеты (xθ, wθ), θ Θ.

2.Работник (зная свой тип) выбирает одну из возможных альтернатив: либо не подписывать контракт, либо подписать контракт, выбрав какой-то из предложенных пакетов выбрать.

Мы, как обычно, будем предполагать благожелательное поведение работника по отношению к хозяину. Будем предполагать также, что пакеты правильно маркированы: (xθ, wθ) — пакет, который добровольно выбирает работник типа θ. Это позволяет описать выбор оптимальных пакетов задачей максимизации ожидаемой прибыли нанимателя при ограничениях двух типов, следующих из предположения о рациональном поведении работников:

(1) работнику каждого из типов должно быть выгодно подписать контракт (условия участия), (2) работнику типа θ должно быть выгодно выбрать предназначенный для него пакет (условия совместимости стимулов). Условия совместимости стимулов, называют в данном случае также условиями самовыявления(, поскольку они фактически требуют, чтобы пакеты были выбраны так, чтобы происходило добровольное выявление типа работника.

Таким образом, следует рассмотреть следующую задачу:

EΠ= E(xθ – wθ) → max {wθ, xθ} wθ – cθ(xθ) >wϕ – cθ(xϕ), θ, ϕ Θ,

591

592

wθ – cθ(xθ) >0, θ Θ.

Поскольку в оптимальном решении некоторые из типов работников могут не подписать контракт, то работников таких типов следует исключить из рассмотрения, дополнив указанную задачу ограничениями неучастия. Следует провести перебор по подмножествам множества типов работников, разделяя их на тех, кто подписывает контракт, и тех, кто его не подписывает, и выбрать тот вариант, который дает наибольшую ожидаемую прибыль.

МОДЕЛЬ НАЙМА СО СКРЫТОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ ПРИ ДВУХ ТИПАХ РАБОТНИКОВ

Прежде, чем анализировать более общие случаи, проведем анализ простого частного случая, когда встречаются только работники двух типов: θ= 1, 2. Вероятность появления работника 1-го типа на рынке труда равна µ1, а 2-го — µ2. Будем предполагать, что работник первого типа более способный, т.е. один и тот же объем работ он выполняет с меньшими усилиями и, кроме того, производство дополнительной единицы продукции требует от него меньших издержек:

c2(x) >c1(x)

и

c2′(x) > c1′(x) x.

Последнее неравенство означает, что разность d(x) = c2(x) – c1(x) возрастает по x. Заметим, что для справедливости приведенных ниже результатов достаточно выполнения этого условия (а не условия на производные этих функций).

Для каждой из категорий работников θ {1, 2} предназначается своя пара усилия — зарплата, т.е. пакет (xθ, wθ).

Если бы наниматель мог различать работников, тогда он выбрал бы «идеальные» пакеты (x^θ, w^θ), которые рассматривались выше для случая полной информации.

«Идеальные» уровни усилий x^θ находились бы из условия максимизации прибыли, соответствующей сделке с работником каждого типа. При этом единственным ограничением для нанимателя было бы условие участия. В оптимуме это ограничение должно выполняться как равенство: wθ = cθ(xθ). Подставим это равенство в функцию прибыли:

x – cθ(x) →max x X

Сделанные выше предположения относительно функций издержек гарантируют, что x^1 >x^ 2. Покажем это. Из того, что x^1 и x^2 являются решениями соответствующих задач, следует, что

x^1 – c1(x^1) >x^2 – c1(x^2)

и

x^2 – c2(x^2) >x^1 – c2(x^1).

Складывая эти неравенства, получаем

c2(x^1) – c1(x^1) >c2(x^2) – c1(x^2),

и

d(x^1) >d(x^2).

Неравенство x^1 >x^2 следует из возрастания функции d(x). Выполнение строгого неравенства можно гарантировать при дифференцируемости функций издержек в предположении,

что c2′(x) > c1′(x) x.

592

593

Если функции издержек дифференцируемы, то условие первого порядка внутреннего максимума выглядит следующим образом (см. Рис. 139):

cθ′(x^θ) = 1.

Оплата w^i выбирается так, чтобы в точности компенсировать работнику издержки его усилий, т.е.

w^θ = cθ(x^θ).

Сказанное иллюстрирует Рис. 139. Оплата w^1 работника 1-го типа равна сумме площадей фигур A и B и величины c1(0), а оплата w^2 работника 2-го типа — A + C + c2(0).

Рисунок 139. Идеальная оплата при полной информации

Поскольку наниматель не может отличать тип работников, то требуется, чтобы произошло их самовыявление, то есть, чтобы работник каждого типа выбрал именно тот пакет, который для него предназначен. Таким образом, задача нанимателя имеет следующий вид:

EΠ= E(xθ – wθ) = µ1(x1 – w1) + µ2(x2 – w2) → max w1, x1, w2, x2 w1 – c1(x1) >w2 – c1(x2)

(условие самовыявления работника 1-го типа),

w2 – c2(x2) >w1 – c2(x1)

(условие самовыявления работника 2-го типа),

wθ – cθ(xθ) >0, θ= 1, 2

(условия участия).

Заметим, что для любых допустимых в этой задаче пакетов (а значит и для оптимальных) выполнены условия монотонности (упорядоченности) усилий и соответствующих уровней оплат. Действительно, сложив два условия самовыявления, получим

c2(x1) – c1(x1) >c2(x2) – c1(x2),

или

d(x1) >d(x2),

откуда при возрастании функции d(x) следует, что x1 >x2. Из условия самовыявления работника 1-го типа при возрастании функции c1(x) следует, что

w1 – w2 >c1(x1) – c1(x2) >0,

т.е. w1 >w2.

593

594

Рассматриваемую задачу можно существенно упростить, используя сделанные выше предположения относительно функций издержек.

Покажем, что два из четырех условий выполняются в решении задачи как равенство. Анализ проведем в несколько шагов.

1. Покажем сначала, что условие участия для работника первого типа является следствием указанных двух условий, т.е. избыточно. Действительно, из условия самовыявления работника 1-го типа и условия участия работника 2-го типа, учитывая, что c2(x) >c1(x)x, получим, что выполняется и условие участия для работника первого типа:

w1 – c1(x1) >w2 – c1(x2) >w2 – c2(x2) >0.

2.Далее, условие самовыявления для работника 1-го типа в решении обращается в равенство (для него оба пакета должны оказаться эквивалентными). Действительно, если это не

так, то возможно уменьшить величину w1, не нарушая ограничения задачи, что противоречит оптимальности рассматриваемых пакетов. (Ограничение участия для работника 1-го типа не нарушается, коль скоро не нарушается ограничение самовыявления работника 1- го типа, а ограничение участия для работника 2-го типа остается без изменений).

3.Наконец, условие участия для работника второго типа в решении обращается в равенство. Действительно, если это не так, то оба условия участия выполняются как строгие неравенства. Но тогда можно уменьшить оплату работников обоих типов на одну и ту же величину, не нарушив эти условия. При этом по прежнему выполняются ограничения самовыявления, а прибыль нанимателя увеличивается (на величину уменьшения оплаты), что противоречит предположению об оптимальности пакетов.

Мы показали, что в оптимальном решении w-1, w-2, x-1, x-2 выполнены равенства w-1 – c1(x-1) = w-2 – c1(x-2)

w-2 – c2(x-2) = 0, откуда w-2 = c2(x-2), w-1 = c1(x-1) + c2(x-2)– c1(x-2),

Подставляя эти значения в ограничение участия для работника второго типа, получим

c2(x-2) – c2(x-2) >c2(x-2) – c1(x-2) + c1(x-1) – c2(x-1),

или

d(x-1) >d(x-2).

Выполнение последнего неравенства гарантируют предположения относительно функций издержек (d(x) — возрастающая функция) и установленное выше соотношение x1 >x2. Таким образом, в оптимальном решении задачи выполнение условия участия работников 2-го типа является следствием двух полученных выше равенств.

Подставив w-1 и w-2 в целевую функцию задачи, получим следующую задачу для выбора x-

1 и x-2:

µ1(x1 – c2(x2) + c1(x2) – c1(x1)) + µ2(x2 – c2(x2)) → max x1, x2 X x1 >x2.

Сначала мы найдем решение соответствующей задачи безусловной оптимизации (не учитывая ограничения x1 >x2), а затем покажем, что это ограничение выполняется в полученном решении, и поэтому несущественно.

Поскольку µ1 > 0 и µ2 > 0, то без ограничения монотонности уровней усилий, x1 >x2, задача, фактически, распадается на две задачи, одна — для выбора x-1, другая — для выбора x-2

594

595

x1 – c1(x1) → max x1 X.

x2 – c2(x2) – µµ1(c2(x2) – c1(x2)) → max x2 X.

2

Первая задача имеет тот же вид, что и задача определения оптимального уровня усилий (x^ 1) в условиях, когда типы работников наблюдаемы. Следовательно, множества решений этих двух задач совпадают. Для 2-го типа задача отличается от задачи поиска x^2 тем, что к

Поэтому решения двух задач, вообще говоря, различны, причем если x^2 и x-2 — решения этих задач, то x^2 >x-2. Действительно, по определению x^2

или

d(x^2) >d(x-2),

откуда следует требуемое неравенство.

Таким образом, если x-1, x-2, x^2 — решения соответствующих задач, то имеет место неравенство x-1 >x^2 >x-2. Таким образом, ограничение x1 >x2 выполняется для любого решения задачи и поэтому несущественно.

Заметим, что при дифференцируемости функций для любой пары внутренних оптимальных пакетов выполнено строгое неравенство x-1 > x-2 при условии, что c2′(x) > c1′(x) x. Мы покажем это ниже.

Условия первого порядка для внутренних решений x-1, x-2 при дифференцируемости функций издержек имеют вид:

c1′(x-1) = 1,

c2′(x-2) = 1 – µµ1[c2′(x-2) – c1′(x-2)].

2

Поскольку c2′(x) >c1′(x), то c2′(x-2) < 1. Это означает, что x-2 ≠x^2, где x^2 — оптимальный уровень усилий для работника 2-го типа. Поскольку x-2 <x^2, то это означает, что усилия, осуществляемые работником 2-го типа, неоптимально низки (x-2 < x^2).

Поскольку x-1 — оптимальный уровень усилий для работника 1-го типа, то x-1 > x^2, где если x^2 — оптимальный уровень усилий для работника 2-го типа. Получаем цепочку неравенств x-1 > x^2 > x-2.

Заметим, что строгая выпуклость функций издержек cθ( ) гарантирует единственность решений задач определения оптимальных уровней усилий x^1 и x^2 в ситуации симметричной информированности и достаточность условий первого порядка. То же самое справедливо и для задачи определения величины оптимального уровня усилий x-1 для случая

595

596

асимметричной информированности. Аналогичные свойства задачи определения уровня усилий x-2 можно гарантировать лишь при дополнительных условиях, например, при вы-

пуклости функции c2(x) – c1(x) (монотонности функции c2′(x) – c1′(x)). При этом

x^1 = x-1 > x^2 > x-2.

Таким образом, для работника 2-го типа приходится планировать меньшую величину усилий, чтобы понизить оплату работника 1-го типа.

Рис. 140 иллюстрирует сделанные нами выводы.

Рисунок 140.

Поскольку, как мы предполагаем, решение внутреннее, то c2(x-2) > c1(x-2), откуда

w-1 – c1(x-1) = w-2 – c1(x-2) > w-2 – c2(x-2) = 0

Таким образом, работник 2-го типа при этом всегда получает лишь резервную полезность (его излишек равен нулю), а первый — несколько больше своей резервной полезности. То есть наличие на рынке менее производительных работников и невозможность их отличить приводит к тому, что более производительный работник при условии, что выгодно нанимать работников 2-го типа, получает так называемую информационную ренту (квазиренту). Т.е. здесь имеет место отрицательная экстерналия.

Проиллюстрируем это графически (Рис. 141). На рисунке OA — прибыль от контракта с работником 2-го типа, OB — прибыль от идеального контракта с работником 2-го типа, OC — прибыль от контракта с работником 1-го типа, OD — прибыль от идеального контракта с работником 1-го типа.

Заштрихованная область соответствует пакетам (x2, w2), обеспечивающим Парето-улучше- ние. Пакеты в этой области не могут быть реализованы из-за необходимости обеспечить выполнение условия самовыявления для работников 1-го типа.

596

Рисунок 141

Пример 3.

Для функций издержек

c1(x) = 0,5 x2, c2(x) = x2,

и множества возможных усилий X = Ê+ решая задачу

получим

1

x-1 = 1, x-2 = 2 + µ1/µ2.

При этом уровни оплаты будут равны:

2 2 1 ,

w-1 = 0,5 x-2 + 0,5 x-1 = 2(2 + µ1/µ2)2 + 0,5

w- = x-2 = µ1 µ .

2 2 (2 + 1/ 2)2

Работник второго типа будет производить меньше эффективного уровня x^2 = 0,5. Совпадение возможно только если µ1 = 0, µ2 = 1.

Информационная рента работника 1-го типа равна

w- – 0,5 x- 2 = 1 > 0. 1 1 2(2 + µ1/µ2)2

Проделанный анализ характеризует оптимальные с точки зрения нанимателя условия найма работников обоих типов. Как было указано выше, это решение следует сравнить с решением, полученным при условии, что нанимаются только работники первого типа. Напоминаем, что, как и прежде, мы предполагаем, что если два варианта поведения приносят работнику одинаковую полезность, то он выбирает поведение, выгодное нанимателю. Поэтому условия неучастия запишем в виде нестрогого неравенства. Выбор оптимального пакета для случая, когда нанимаются только работники 1-го типа, характеризуется следующей задачей:

x – w → max w, x

597

598

w – c1(x) >0

(условия участия работника 1-го типа).

w – c2(x) <0

(условия неучастия работника 2-го типа).

Для решения (x-, w-) этой задачи выполнено w- = c1(x-), т.е. ограничение участия работника 1-го типа выходит на равенство. При этом ограничение неучастия работника 2-го типа является несущественным, поскольку c1(x) <c2(x). Таким образом, задача совпадает с задачей выбора оптимального пакета (x^1, w^1) для работника 1-го типа в условиях полной информации.

В этом простом случае, разрабатывая стратегию найма, наниматель сравнивает минимальное значение ожидаемой информационной ренты с максимальным значением ожидаемого дохода от занятости работника второго типа. В случае, когда первая величина превышает вторую, предлагаются пакеты для работников обоих типов. В случае, когда доход от занятости работников второго типа относительно низкий, предлагается только один пакет (x^1, w^1).

МОДЕЛЬ НАЙМА СО СКРЫТОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ ПРИ КОНЕЧНОМ КОЛИЧЕСТВЕ ТИПОВ РАБОТНИКОВ. ЦЕПНОЕ ПРАВИЛО

Пусть теперь на рынке труда присутствуют n различных типов работников, т.е.

Θ= {1, ..., n}.

Предположим, относительно функций издержек что

cθ(x) >cϕ(x) ( x X) θ>ϕ,

и разности cθ(x) – cϕ(x) возрастают по x при θ> ϕ.

x

Рисунок 142

Напомним, что составление оптимального контракта сводится к решению следующей задачи

Ûµθ(xθ – wθ) → max {wθ, xθ}

θ Θ

Если указанные условия упорядоченности издержек выполнены, то можно доказать важный результат: цепное правило. Он состоит в том, что можно заменить задачу ( ) эквивалентной задачей:

598

wn – cn(xn) = 0, xθ >xθ+1, θ< n.

Это означает, что наниматель выберет контракт, обладающий следующими свойствами:

1)Чем большей производительностью отличается работник, тем большие он осуществляет усилия (условие упорядоченности уровней усилий xθ).

2)Не требуется следить, чтобы работник типа θ (θ< n) не выбирал пакет, предназначенный для работника типа θ+ k при k > 1, достаточно гарантировать, чтобы это было выполнено для k = 1. Ограничение участия достаточно обеспечить для работника типа θ= n.

3)При максимизации прибыли указанные ограничения следует вывести на равенство. А

именно, работник типа θ (θ< n) должен быть безразличен при выборе между пакетом (wθ, xθ) и пакетом (wθ+1, xθ+1), а работник типа θ= n должен быть безразличен при решении о подписании контракта.

В следующей теореме мы последовательно покажем, что оптимальные пакеты характеризуются этими свойствами, и, тем самым, покажем эквивалентность двух задач.

Теорема 3.

Если выполнено условие упорядоченности издержек, то задача ( ) эквивалентна задаче

( ).

Доказательство.

1) Пусть пакеты {wθ, xθ} удовлетворяют ограничениям задачи ( ). Покажем, что уровни усилий упорядочены.

Рассмотрим два произвольных типа θ, ϕ Θ, таких что θ> ϕ. Для этих типов выполнены условия самовыявления:

wθ – cθ(xθ) >wϕ – cθ(xϕ), wϕ – cϕ(xϕ) >wθ – cϕ(xθ).

Сложив два неравенства, получим

cθ(xϕ) – cϕ(xϕ) >cθ(xθ) – cϕ(xθ).

Поскольку cθ(x) – cϕ(x) возрастает, то отсюда следует, что xϕ >xθ.

2) Докажем, что если для работника любого типа θ< n пакет (wθ, xθ) не хуже, чем пакет (wθ+1, xθ+1), то, как следствие, для работника любого типа θ< n пакет (wθ, xθ) не хуже, чем любой пакет (wθ+k, xθ+k), k >1 (k <n – θ).

Докажем это утверждение по индукции. При k = 1 оно верно по предположению. Предположим теперь, что оно верно для некоторого фиксированного k и покажем, что оно также верно и для k + 1.

Поскольку

wθ – cθ(xθ) >wθ+k – cθ(xθ+k),

и

599

600

wθ+k – cθ+k(xθ+k) >wθ+k+1 – cθ+k(xθ+k+1),

откуда

wθ – cθ(xθ) >wθ+k+1 – cθ(xθ+k) + cθ+k(xθ+k) – cθ+k(xθ+k+1).

Поскольку, как мы только что доказали, xθ+k >xθ+k+1, а функция cθ+k(x) – cθ(x) возрастает, то cθ+k(xθ+k) – cθ(xθ+k) >cθ+k(xθ+k+1) – cθ(xθ+k+1),

и, следовательно,

wθ – cθ(xθ) >wθ+k+1 – cθ(xθ+k+1)

Мы показали, что часть ограничений самовыявления избыточна. Покажем теперь, что из ограничения самовыявления для θ и θ+1 и ограничения участия для θ= n следуют ограничения участия для θ< n, поэтому они также избыточны. Действительно, из

wθ – cθ(xθ) >wθ+1 – cθ(xθ+1),

и

wθ+1 – cθ+1(xθ+1) >0,

при выполнении предположения об упорядоченности издержек следует

wθ – cθ(xθ) >0.

3) В решении задачи ( ) строгое неравенство

wθ – cθ(xθ) > wθ+1 – cθ(xθ+1), θ< n,

невозможно. Если бы выполнялось такое неравенство, то, как следует из только что доказанного, мы могли бы уменьшить все wϕ, ϕ>θ, на величину соответствующей невязки, не нарушая ни одного ограничения задачи (все ограничения, которые могли бы быть нарушены при таком сдвиге, являются избыточными, то есть выполняются автоматически). Но тем самым, мы увеличили бы прибыль, что невозможно.

Аналогично, если бы

wn – cn(xn) > 0,

то возможно было бы уменьшить wn до cn(xn), не нарушая ни одного ограничения задачи.

Таким образом, оптимальное решение задачи ( ) удовлетворяет всем ограничениям зада-

чи ( ).

4) Для доказательства теоремы осталось показать, что если пакеты {wθ, xθ} удовлетворяет ограничениям задачи ( ), то они удовлетворяют всем ограничениям задачи ( ).

Достаточно проверить ограничения самовыявления для θ, ϕ при θ> ϕ и ограничение участия для n, поскольку, как мы уже показали, остальные ограничения избыточны. Ограничение участия для работника типа n в задаче ( ) выполнено.

Докажем выполнение указанных ограничений самовыявления по индукции. Зафиксируем θ. При θ= ϕ ограничение выполнено. Пусть оно выполнено при некотором заданном ϕ (θ> ϕ). Докажем, что оно выполнено и при ϕ– 1.

Из предположения индукции

wθ – cθ(xθ) >wϕ – cθ(xϕ)

и ограничения задачи ( )

wϕ–1 – cϕ–1(xϕ–1) = wϕ – cϕ–1(xϕ)

600