Бусыгин

91

Пусть u(.) — функция полезности, а ν(.,.) — соответствующая ей непрямая функция полезности. Пусть вектор x — оптимальный потребительский набор при ценах p′ и доходе

R, т.е. x x(p′, R). Тогда вектор p′ является решением задачи ♥и ν(p′, R) = u*(x).

Доказательство:

Пусть p — произвольный вектор, являющийся допустимый в задаче (♥) при x x(p′,

R), т.е. px < R. Это неравенство, с другой стороны, означает, x допустим в задаче потребителя при ценах p и доходе R. Этот набор не может иметь большую полезность, чем набор x^ x(p, R), являющийся оптимальным в задаче потребителя при ценах p и доходе R,

т.е. u(x) < u(x^), или ν(p′, R)< ν(p, R). Отсюда следует, что p′ оптимален в задаче ♥при x x(p′, R). Таким образом, мы получили, что ν(p′, R) = u*(x).

*

Заметим, что в принципе данная процедура позволяет построить «функцию полезности» u*(x) на множестве всех наборов благ. Однако она может не везде совпадать с исходной

функцией полезности. Так, если x — вектор, для которого задача (♥) имеет решение, но который не реализуется как спрос участника ни при каких ценах p и доходе R (при которых x является допустимым в задаче потребителя), то u(x) < u(x(p, R)) = ν(p, R) для каждого p такого, что px< R. В том числе неравенство u(x) < ν(p, R) верно и для вектора

p, являющегося решением задачи (♥), т.е. u(x) < u*(x). Таким образом, описанная процедура не всегда позволяет получить исходные значения полезности в точках, которые не реализуется как спрос участника ни при каких ценах p и доходе R. Хотя мы не всегда можем восстановить функцию полезности правильно, однако полученная функция полезности порождает тот же спрос, что и исходная.

Теорема 29.

Пусть u(.) — функция полезности, а ν(.,.) — соответствующая ей непрямая функция по-

лезности. Кроме того, пусть u*(.) — построена на основе задачи (♥) указанным выше способом. Тогда набор x-, являющийся решением задачи потребителя с функцией полезности u(.) при ценах p Þ 0 и доходе R > 0, является решением задачи потребителя с функцией полезности u*(.).

Доказательство:

Пусть x^ — произвольный потребительский набор, удовлетворяющий бюджетному огра-

ничению при некоторых ценах p и доходе R: px^< R. Рассмотрим задачу (♥) с x = x^. Цены p являются допустимыми в этой задаче, а u*(x^) — значение этой задачи. Поэтому ν(p, R) > u*(x^). Поскольку u*(x-) = ν(p, R), то u*(x-)> u*(x^).

*

Поскольку существует бесконечно много функций полезности, описывающих одни и те же предпочтения, то дифференциальные уравнения, порождаемые тождеством Роя, не позволяют однозначно восстановить непрямую функцию полезности: если эти уравнения имеют хотя бы одно решение, то решений бесконечно много. Чтобы решение было единственным, необходимо наложить дополнительные ограничения на функциональную форму непрямой функции полезности. В простом случае, когда известно, что восстанавливае-

91

92

мые предпочтения могут быть представлены квазилинейной функцией полезности, —

u(x1, ..., xK) = s(x1, ..., xK–1) + xK , — такая нормировка определяется самим видом функции.

Приведем сначала характеристики функции спроса. Предположим, что s(x1, ..., xK–1) — строго вогнутая дифференцируемая функция, и выбор потребителя при некоторых ценах и доходе содержит все продукты в положительном количестве, т.е. x(p, R) >>0. Тогда по

теореме Куна-Таккера при некотором положительном λ, верны соотношения ∂∂s = λpi (i ≠ xi

(x1, ..., xK–1)= λpi, i≠K. Эти соотношения определяют функцию спроса на все блага кроме последнего. Отсюда следует, что спрос на эти блага не зависит от дохода:

xi = xi(p1, ..., pK–1) = xi(p–i), i≠K.

Пользуясь видом функции спроса, получаем, что непрямая функция полезности имеет вид

не зависит от R. Поэтому, интегрируя K–1 уравнений тождества Роя, по p1, ... , pK–1 соответственно, мы можем получить (с точностью до константы интегрирования) искомую функцию ν(.,.) в любой данной точке. Отметим также, что соответствующие интегралы будут равны изменению так называемого потребительского излишка, который будет рассмотрен нами далее.

Особенно простой задача восстановления предпочтений оказывается, если известно (дополнительно к квазилинейности), что функция полезности сепарабельна, т.е.

K–1

u(x1, ..., xK) = Σsi(xi) + xK.

i=1

Условия первого порядка для задачи потребителя в предположении, что потребитель при рассматриваемых ценах и доходах предъявляет спрос на все блага (x(p, R)>>0), а цена последнего блага равна единице, имеют вид,

∂si(xi(p)) = p .

∂xi i

Эти уравнения фактически задают обратную функцию спроса pi(xi). При этом спрос на каждое благо зависит только от его цены, т.е. xi(p) = xi(pi). С учетом этого непрямая функция полезности имеет вид

92

93

Откуда

+∞

νi(pi) – limpi → +∞ νi(pi) = ∫ xi(t)dt, pi

или

+∞

νi(pi) = ∫ xi(t)dt + const. pi

Интеграл в последнем соотношении есть по определению потребительский излишек:

Можно восстановить также непосредственно прямую функцию полезности, проинтегрировав уравнения условий первого порядка задачи потребителя. Действительно,

xi

si(xi) = ø pi(t)dt + si(0).

0

Интеграл в этом соотношении является альтернативной формой определения потребительского излишка, поэтому

si(xi) = СSi(xi) + si(0)

и

K–1

u(x1 ,..., xl) = Σ СSi(xi) + xK + const.

i=1

Денежная непрямая полезность и восстановление предпочтений

В общем случае на основе системы функций спроса естественно восстанавливается функция расходов e(p, x). Для дальнейших рассуждений нам понадобится следующее определение.

Определение 21.

Денежная непрямая полезность µ (q; p, R) — это доход, который требуется, чтобы при ценах q потребитель мог бы иметь тот же уровень полезности, что и при ценах p, распо-

лагая доходом R, т.е. µ (q; p, R) = e(q, ν (p, R)).

Теорема 30.

Денежная непрямая полезность µ (q; p, R) является непрямой функцией полезности для функции расходов e(p, x).

93

94

Доказательство:

Данное свойство очевидно.

*

Поскольку µ (q; p, R) = e(q, ν(p, R)), то верно соотношение

Мы воспользовались здесь тем, что

∂e(p, x) ≡

∂pi = hi(p, x) и h(p, x) x(p, e(p, x)).

Тем самым мы получили систему дифференциальных уравнений относительно непрямой функции полезности µ (q; p, R):

∂µ (q; p, R) µ

∂qi = xi(q, (q; p, R)).

К ней следует добавить граничные условия µ (p; p, R) = R. Предположим дополнительно, что функция спроса имеет непрерывные частные производные по ценам и доходу и некоторое техническое условие, состоящее в том, что существует конечное число K такое, что

∂x

для каждого номера i справедливо неравенство |∂Ri (p, R)|< K, для всех комбинаций цен и доходов.

Из теории дифференциальных уравнений в частных производных48 известно, что в этом случае система имеет единственное (локальное) решение тогда и только тогда, когда система функций спроса такова, что матрица

∂2µ

∂qi∂qj i, j

48Смотри, например, приложение к Hurwicz, L., Uzawa H., On the Integrability of Demand Functions, in Chipman, J.S., Hurwicz, L., Richter M.K., Sonnenschein, H.F., Preferences, utility and demand, N.Y., Harcourt Brace Jovanovich

49Пусть функция fi(x, z) определена на множестве Ω=Π × Θ, где Π={x| a’< xi< a’’}и Θ ={z| 0< z<+∞}. Если

∂f

при этом а) функция непрерывно дифференцируема на Ω, б) для каждого номера i частная производная ∂zi

∂f

равномерно ограничена на Ω, т.е. существует конечное число K такое, что | ∂zi(x, z)|< K, для всех (x, z)

при изменении граничных условий.

94

95

Если у нас есть некоторая система функций спроса, удовлетворяющая этим условиям, то мы можем получить решение данных уравнений. Однако, можем ли мы быть уверены в том, что система функций спроса совместима с моделью рационального поведения потребителя, т.е., что существует функция полезности, максимизация которой порождает данную систему функций?

Необходимые условия того, что данная система функций спроса порождена моделью рационального поведения – нам известны:

Система функций спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу. Система функций спроса x(p, R) удовлетворяет закону Вальраса (p, x(p, R)) = R (если предпочтения потребителя локально ненасыщаемы).

Матрица коэффициентов замены

является симметричной и отрицательно полуопределенной.

Оказывается, что эти условия являются и достаточными, т.е. любая система функций, удовлетворяющая этим условиям, может быть порождена некоторой моделью рационального поведения.

Перед тем как проиллюстрировать нахождение функции µ (q; p, R) при известной функции спроса x(p, R). Покажем, что приведенные условия избыточны, а именно:

Теорема 31.

Пусть функция спроса x(p, R) – дифференцируема по ценам и доходу, удовлетворяет

ляется симметричной, тогда функция спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу.

Доказательство:

Рассмотрим вектор-функцию f(t) = x(tp, tR), в силу дифференцируемости функции спроса по ценам и доходу для любого t>0 имеем, что:

xi(p, R) = 0.

дифференцирования закона Вальраса. Таким образом, f(t) – константа и, тем самым, для любого t верно, что f(t) = f(1) или x(tp, tR) = x(p, R) = t0x(p, R). Последнее и означает, что функция спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу.

*

95

96

Пример 16.

Продемонстрируем получение непрямой денежной функции полезности µ (q; p, R) из

требуемых условий, так как, фактически они все проверены и продемонстрированы в предыдущих параграфах. Нам требуется решить следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных:

при граничном условии: µ (p; p, R) = R. Рассмотрим первое уравнение. Для того чтобы

нение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными, интегрируя по частям, имеем:

Так как, интегрируя первое уравнение по q1, мы принимали q2 за константу, то, в общем случае, константа интегрирования зависит от q2. Упрощая, имеем:

ln(µ (q; p, R)) = ln(q1) – ln(q2 + a2q1) + C′(q2, p, R), или

где C(q2, p, R) = exp{C′(q2, p, R)}. Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, подставим полученное выражение для µ (q; p, R) во второе уравнение и получим дифференциальное уравнение для C (q2, p, R):

Несложно увидеть, что данное дифференциальное уравнение имеет решение: C(q2, p, R) =

96

Предполагая, что система функций спроса удовлетворяет указанным выше условиям, рассмотрим, какие свойства функции µ (q; p, R), являющейся решением системы дифференциальных уравнений,

∂µ (q; p, R) µ

∂qi = xi(q, (q; p, R))

с граничными условиями

µ (p; p, R) = R.

следуют из этих свойств x(p, R).

Совершенно очевидно выполнение следующих свойств:

Функция µ (q; p, R) дифференцируема по q. Функция µ (q; p, R) однородна первой степени по q.

Функция µ (q; p, R) не убывает по q, так как функция спроса неотрицательна. Функция µ (q; p, R) вогнута по q, в силу отрицательной полуопределенности матрицы Слуцкого.

Если для некоторого q верно соотношение µ (q; p, R) = µ (q; p′, R), то оно также верно и для любого q′, т.е. µ (q′; p, R) = µ (q′; p′, R). (Данное свойство ничто иное, как следствие единственности решения предложенного дифференциального уравнения.)

Рассмотрим теперь остальные менее очевидные свойства.

Теорема 32.

Если для некоторого q справедливо соотношение µ(q; p, R) > µ(q; p′, R), то для любого q′ также выполнено µ(q′; p, R) > µ(q′; p′, R).

Доказательство:

Случай, когда для некоторого q справедливо соотношение µ(q; p, R) = µ(q; p′, R), очевиден, как уже упоминалось, в силу единственности решения. Поэтому разберем случай, когда для некоторого значения q выполнено µ(q; p, R) > µ(q; p′, R). Предположим противное, то есть нашлось такое значение q′, что µ (q′; p, R) < µ (q′; p′, R). Рассмотрим функцию f(t) = µ(q +t(q′ – q); p, R) – µ(q +t(q′ – q); p′, R). Эта функция непрерывна в силу непрерывности по q функции µ(q; p, R). Кроме того, f(0) > 0 > f(1), откуда в силу непрерывности следует существование такого -t , что f(t-) = 0. Другими словами найдется такой вектор q′′, что для него справедливо равенство µ (q′′; p, R) = µ (q′′; p′, R). Но это же означает, что равенство µ (q; p, R) = µ (q; p′, R) должно выполняться для любого q. Противоречие.

*

Теорема 33.

97

98

µ (q; p, R) = minx V(p,R) qx где V(p, R) = {x> 0 | qx> µ(q; p, R) q> 0} и при этом для произвольных векторов p, p′>>0 выполнено либо V(p, R) V(p′, R), либо V(p′, R)

V(p, R).

Доказательство:

(1) Из свойств функции µ (q; p, R) и определения множества V(p, R) следует, что V(p, R) непусто, замкнуто и ограничено снизу. Покажем непустоту этого множества. Вогнутость функции µ (q; p, R) по q влечет, что для любых q и q′ выполнено неравенство:

µ(q′; p, R)< µ(q; p, R) + qµ(q; p, R)(q′– q). Поскольку µ(q; p, R) однородна первой степени по q, то по формуле Эйлера qµ(q; p, R)q=µ(q; p, R). Поэтому, для любого q′ выполнено µ(q′; p, R)< qµ(q; p, R)q′. В силу того, что qµ(q; p, R)> 0, имеемqµ(q; p, R) V(p, R). Замкнутость и ограниченность снизу очевидна. Если q>>0 то эти

условия гарантируют существование решения задачи minx V(p,R)qx. Из определения V(p,

R) следует, что µ (q; p, R) < minx V(p,R) qx. Нам требуется показать, что это соотношение

выполняется как равенство. Для этого достаточно показать, что µ(q; p, R)> minx V(p,R) qx. Как было показано при демонстрации непустоты множества V(p, R) верно qµ(q; p,

R) V(p, R). Отсюда следует, что µ (q; p, R)= qµ(q; p, R)q> minx V(p,R) qx. Таким образом, получили требуемое равенство µ (q; p, R) = minx V(p,R)qx.

(2) Из определения множеств V(.) следует, что если µ(q; p′, R)> µ(q; p, R) q> 0, то V(p, R) V(p′, R).

*

Приведенные утверждения наводят на мысль о том, чтобы в качестве отношения предпочтения взять отношение, для которого верхними лебеговскими множествами будут построенные множества V(.,.). В связи с этим, естественно определить предпочтения на области значений функции спроса, породившей данный спрос, как x(p, R) }x(p′, R) V(p, R) V(p′, R). В частности, в качестве функции полезности можно взять uq( x(p, R)) =

µ (q; p, R).

Теорема 34.50

1)Пусть x0 = x(p0, R0) и x1 = x(p1, R1), x0 ≠ x1 и R1>µ (p1; p0, R0). Тогда p0x1>p0x0.

2)Пусть x0 = x(p0, R0) и x1 = x(p1, R1). Если p0x0> p0x1, тогда p1x0> p1x1.

3)Множество {(p, R)| x(p, R) = x-} – выпукло.

4)Если x(p0, R0) = x(p1, R1), то µ (p; p0, R0) = µ (p; p1, R1) для всех p.

5)Пусть uq(x(p, R)) = µ (q; p, R), тогда uq(x(p, R))> uq(x) для каждого вектора x реализуемого как спрос при некоторой комбинации цен и доходов и допустимого при цене p и доходе R.

Доказательство:

50 Доказательство данной теоремы следует работе Гурвица, Узавы.

98

99

1) Разобьем доказательство на два этапа. Вначале рассмотрим случай, когда R1 =

µ (p1; p0, R0). Определим pt= p0+t(p1 – p0), Rt = µ (pt; p0, R0), xt = x(pt, Rt), f(t) = p0xt.

Продифференцируем f(t) по t:

где A – матрица Слуцкого. Продифференцируем бюджетное ограничение ptxt = Rt по t, получаем ptA(p1 – p0) = 0. С учетом этого f′(t) = –t(p1 – p0)A(pt, Rt)(p1 – p0). В силу от-

рицательной полуопределенности матрицы Слуцкого имеем f′(t)>0. Таким образом, f(1)>

f(0), или p0x1 > p0x0. Покажем, что знак этого неравенства строгий. Предположим, что p0x1 = p0x0. В этом случае f′(t)=0 t, или, что тоже самое (p1 – p0)A(pt, Rt)(p1 – p0)Å =0. Матрица –A(pt, Rt) симметричная и положительно полуопределена. Из курса линейной алгебры известно, что симметричная матрица имеет n различных собственных чисел и представима в виде (–A(pt, Rt)) = DΛDÅ, где матрица D – составлена из собственных векторов матрицы (–A(pt, Rt)), а Λ – диагональная матрица, где по диагонали стоят собственные числа этой матрицы. Тогда, в силу положительной полуопределенности матрицы (– A(pt, Rt)) имеем, что (–A(pt, Rt)) = (D Λ)(D Λ)Å. Отсюда следует, что x(–A(pt, Rt))xÅ=

x(D Λ)(D Λ)ÅxÅ=(xD Λ)(xD Λ)Å, то x(–A(pt, Rt))xÅ= 0, если xD Λ=0. Откуда xA(pt, Rt) =A(pt, Rt)xÅ= 0. Таким образом, имеем, что A(pt, Rt)(p1 – p0)Å =0. Несложно прове-

рить, что ∂∂xtt = A(pt, Rt)xÅ= 0. Таким образом, xt – константа, т.е. получаем, что xt= x0=x1.

Получили противоречие. А значит, доказали, что если R1 = µ (p1; p0, R0), то p0x1>p0x0.

Теперь рассмотрим случай, когда R1 > µ (p1; p0, R0). С учетом того, что R1 = µ (p1; p1, R1) имеем, что µ (p0; p1, R1) >µ (p0; p0, R0) = R0. Используя рассуждения аналогичные рассуждениям, использующимся при доказательстве предыдущего пункта (в упражнениях Вам

предложат доказать это самостоятельно) получаем: µ (p0; p1, R1) < p0x1. Отсюда, p0x1>

µ (p0; p1, R1) >µ (p0; p0, R0) = R0 = p0x0.

2)В силу p0x0> p0x1 и доказанного в предыдущем пункте утверждения, имеем, что µ (p0; p1, R1)< µ (p0; p0, R0) = R0. Отсюда, в силу предыдущего пункта, имеем требуемое.

3)Пусть x(p0, R0) = x(p1, R1) = x-. В силу закона Вальраса имеем, что p0x- = R0, p1x- = R1.

Пусть pt= p0 + t(p1 – p0), Rt= R0 + t(R 1 – R 0), xt = x(pt, Rt). Тогда, ptx- = Rt = ptxt. Пока-

жем, что xt = x-. Пусть это не так, тогда p0x- <p0xt и p1x- <p0xt. Откуда ptx- <ptxt. Противо-

речие.

4)Доказательство оставляется читателю в качестве упражнения.

5)Пусть x0 = x(p0, R0) и x1 = x(p1, R1). Имеем, что p0x0 = R0, p1x1 = R1 и p0x1 < R0.

Отсюда, по доказанному в пункте 1, имеем что выполнено либо R1<µ (p1; p0, R0) либо

µ(p1; p1, R1) < µ (p1; p0, R0). Откуда имеем, что для любого p справедливо µ (p; p1, R1) <

µ(p; p0, R0). Что и означает требуемое.

*

Эта теорема, а точнее последний ее пункт, доказывает, что построенная на основании денежной непрямой функции полезности функция uq(.), определенная на множестве значений функции спроса, представляет собой функции, рационализующие исходную функцию спроса. В задачах вам предложат показать, что ранжировка потребительских наборов, задаваемая функцией uq(.) не будет зависеть от q. Тем самым мы смогли корректно восстановить функцию полезности, обладающую функцией спроса x(p, R).

99

100

Альтернативный подход к восстановлению предпочтений при известной функции µ (q; p, R)

Альтернативно, для произвольной точки x Ê l+, зная функцию спроса можно получить значение полезности следующим образом: 1) отталкиваясь от функции x(p, R) найти µ(q;

p, R) 2) решить задачу ♥ и найти функцию u*(.). Построенная функция u*(.) = inf{µ (q;

p, R)| p Ê l++, px < R}, будет соответствовать наблюдаемому спросу, на основе которого она получена, что следует из следующего утверждения.

Теорема 35.

Пусть функция спроса x(p, R) дифференцируема, однородна нулевой степени, удовлетворяет закону Вальраса, матрица коэффициентов замены является симметричной и отрицательно полуопределенной, а µ (q; p, R) = µ (q; p′, R) µ (q′; p, R) = µ (q′; p′, R),

q, q′>> 0. Тогда если функция u*(.) построена на основе задачи ♥, при некотором

векторе q>> 0, то спрос x(p, R) p>> 0, R > 0, является решением задачи потребителя с функцией полезности u*(.).

Доказательство:

Докажем сначала, что u*(x(p, R)) = µ (q; p, R). Вектор p является допустимым в задаче

♥ при x x(p, R). Нам нужно показать, что для любого вектора p′>0 такого, что p′x<R, выполнено µ (q; p′, R) >µ (q; p, R). Поскольку функция µ (q; p, R) вогнута по q, то µ (q; p, R) >µ(q′; p, R) + (q – q′)x(q, µ(q; p, R)). При q = p, используя закон Вальраса, имеем, что q′x(p, R) > µ(q′; p, R) p, q′. Поскольку R = µ(p′; p′, R), то неравенство p′x(p, R)<R можно переписать в виде p′x(p, R)< µ(p′; p′, R). С другой стороны, по только что доказанному p′x(p, R)> µ(p′; p′, R). Поэтому при p′x(p, R)<R имеем µ(p′; p, R) < µ(p′; p′, R). В силу единственности и непрерывности решения рассмотренной системы дифференциальных уравнений имеем, что µ (q; p, R) > µ (q; p′, R). Используя u*(x(p, R)) = µ (q; p, R) несложно показать, что u*(x(p, R)) > u*(x) для любого набора x такого, что px < R.

*

Приведенные выше необходимые и достаточные условия интегрируемости позволяют для заданной явно системы функций спроса определить, совместима ли она с моделью рационального поведения потребителя. В ситуации, когда нам доступно лишь конечное число значений функции спроса, полученных на основе наблюдений за фактическим поведением потребителя, проверить совместимость этих наблюдений с моделью рационального поведения позволяет так называемая концепция выявленных предпочтений. Основные ее положения будут изложены чуть позже.

Задачи

120. Пусть функция u(.) — функция полезности, представляющая строго выпуклые и строго монотонные предпочтения, v(.) — соответствующая непрямая функция полезности.

Покажите, что если функция u*(.) построена на основе задачи ♥, то

u*(x) = u(x) x Êl++.

100