Бусыгин

81

Доказательство:

Учитывая значение этого результата для теории потребления, укажем несколько его обоснований.

A) По определению функции расходов e(p, x) = ph(p, x) p, x. Продифференцировав это тождество по pi, получим соотношение:

Остается показать, что второе слагаемое равно нулю.

Последнее утверждение стоит проинтерпретировать. Хотя при изменении цен рассматриваемых благ потребитель меняет свое поведение, предпочитая, вообще говоря, другой потребительский набор, при расчете изменения расходов на приобретение нового набора в первом приближении можно не учитывать этого изменение спроса потребителя. Другими словами, новые расходы в первом приближении рассчитываются, как если бы оптимальный выбор остался неизменным, т.е. эти новые расходы равны стоимости старого набора в новых ценах. Изменение спроса проявляется лишь во втором приближении.

Докажем это утверждение.

Так как h(p, x) — решение задачи взаимности, то по теореме Куна-Таккера существует множитель Лагранжа λ ограничения задачи такой, что

По доказанному свойству функции хиксианского спроса имеем u(h(p, x)) ≡ u(x). Продифференцировав это тождество по pi, получаем требуемое соотношение

K ∂u ∂hj(p,x) = 0

Ûj=1 ∂hj ∂pi .

Другое доказательство этого факта состоит в построении касательной для графика функции расходов.

B) Обозначим p–i = (p1,..., pi–1, pi+1,...,pK), и p = (pi, p–i). Пусть p* — некоторая точка. Зафик-

сируем все цены, кроме цены i-го блага p–i = p*–i . Покажем, что прямая pihi(pi, p*–i, x) + Û

j≠i

pj*hj(pi, p*–i, x) касается графика функции e(pi, p*–i, x) в точке p*i. Действительно, набор h(p*, x) при ценах p* требует минимальных расходов на приобретение из наборов, обеспечивающих тот же уровень благосостояния, что и потребительский набор x. При любых других ценах он допустим, но, вообще говоря, не минимизирует расходы. При ценах (pi, p*–i) минимум расходов достигается на потребительской корзине h(pi, p*–i, x). Другими словами, справедливо соотношение, которое и устанавливает требуемый результат о касании:

e(pi, p*–i, x) = pihi(pi, p*–i, x) + Ûpj*hj(pi, p*–i, x)< p*ihi(p*, x) + Ûpj*hj(p*, x).

Сказанное иллюстрирует нижеприведенный график.

81

А

e (pi, p*–i, x)

pi

Рисунок 13 Иллюстрация доказательства леммы Шепарда

Согласно неравенству, кривая e(pi, p*–i, x) лежит под прямой

pihi(pi, p*–i, x) + Ûpj*hj(pi, p*–i, x)

j≠i

и имеет с ней общую точку (p*i, e(p*, x)) (точка А на рисунке). Значит, эта прямая является касательной к кривой e(pi, p*–i, x). Наклон прямой в точке касания равен hi(p*, x). Таким образом, производная функции e(pi, p*–i, x) в точке p*i равна hi(p*, x). Тем самым мы и доказали

∂e(p,x)

∂pi = hi(p, x).

■

Из леммы Шепарда следует, что по функции расходов всегда можно построить функцию (хиксианского) спроса. Отметим также, что из нее следует, дважды непрерывно дифференцируемость функции расходов, так как непрерывно дифференцируемым является хиксианский спрос.

Вполне естественно, что в качестве результата дифференцирования мы получили найденный нами ранее хиксианский спрос.

Теорема 23. (Тождество Роя)

Пусть выполнены условия теоремы 22, тогда

∂ν(p, R) ∂ν(p, R)

– ∂pi / ∂R = xi(p, R)

Доказательство:

Для доказательства этого тождества воспользуемся одним из тождеств взаимности:

82

В качестве x возьмем x = x(p, R).

Воспользуемся тождествами h(p, x(p, R)) ≡ x(p, R) и e(p, x(p, R)) ≡ R. Из них следует, что верно соотношение

Пример 13.

Как показано ранее для потребителя с функцией полезности u(x)= x1 +a x2 непрямая

Несложно, заметить, что найденная функция является спросом на первый товар для функции полезности u(x)= x1 +a x2 .

45 Slutsky,E., Sulla Teoria Del Bilancio Del Consumatore, Giornale Degli Economisti, Vol. 51, 1915, русский пе-

ревод Слуцкий, Е. Е., К теории сбалансированного бюджета потребителя, в Народнохозяйственные модели. Теоретические вопросы потребления, М., Изд-во АН СССР, 1963.

83

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся следующим тождеством взаимности: x(p, e(p, x-)) = h(p,x-). Продифференцируем это тождество по pj:

возьмем x(p, R), тогда в силу соотношений взаимности имеем hj(p, x(p, R)) = xj(p, R) и e(p, x(p, R)) =R.

Следовательно,

■

Пример 14.

Проиллюстрируем уравнение Слуцкого по первому товару и второй цене для рассмотрен-

Проверка уравнения Слуцкого для первого товара и второй цены состоит в проверке равенства:

Выполнение этого равенства очевидно, действительно:

84

85

Теорема 25. (Свойства матрицы замены)

∂h

Пусть выполнены условия теоремы 22, тогда матрица A={∂ i} эффектов замены являет- pj

ся симметричной, отрицательно полуопределенной и вырождена.

Доказательство:

Как было отмечено, выше при обсуждении леммы Шепарда при сделанных нами предположениях, функция расходов является дважды непрерывно дифференцируемой. Тогда в силу теоремы Юнга46 ее смешанные вторые производные совпадают, т.е.

Таким образом, матрица коэффициентов замены функции расходов потребителя, выборы которого описываются моделью рационального поведения, симметрична. Кроме того, поскольку функция расходов e(p, x) — вогнутая функция цен, то матрица коэффициентов замены является отрицательно полуопределенной. Вырожденность матрицы A читателя попросят доказать в упражнениях.

■

Обсудим теперь связь матрицы замены с полученными ранее вариантами закона спроса. Рассмотрим, вначале, закон спроса при компенсированном изменении дохода по Слуцкому: (p′ – p)(x(p′, p′x-) - x(p, R)) < 0. Пусть p′ = p + ∆p. Разложим функцию x(p′, p′x-) в

R) xj(p, R)(∆pj)+ o(||∆p||). Используя это разложение, получаем, что из закона спроса следует, что ∆pA(∆p)Å+ ∆po(||∆p||)< 0. Отсюда видно, что если закон спроса при компенсированном изменении дохода выполняется со строгим знаком, то матрица коэффициентов замены отрицательно полуопределена. Этот же результат получится при использовании закона спроса при компенсированном изменении дохода по Хиксу. Действительно, несложно понять, что компенсированные изменения дохода по Слуцкому и по Хиксу будут сближаться при ∆p, стремящемся к 0. Таким образом, получается эквивалентность этих законов при дифференциально малом изменении цен. В упражнениях вам будет предложено показать, что следствием закона спроса является отрицательная полуопреде-

ленность матрицы составленной из производных спроса по ценам: ∂xi (p, R).47

∂pj

Теперь получим основные соотношения, которые связывают производные спроса по ценам и доходу.

Теорема 26.

46Смотри, например, Зорич, В.А., Математический анализ I, М., ЦНМО, 2001, стр.532-34.

47Собственно говоря, отрицательная определенность, матрицы вторых частных производных хиксианского спроса эквивалентна выполнению закона спроса. Смотри, цитировавшиеся работы В.М. Полтеровича.

85

86

Пусть x(p, R) – решение задачи потребителя. Предположим, также что x(p, R) – непрерывно дифференцируемая функция по ценам и доходу, тогда выполнены следующие свойства:

3)Ûp ∂xi (p, R) = 1.

ii∂R

Доказательство:

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.

■

Данные соотношения знакомы читателю по курсам микроэкономики промежуточного курса. Обычно они переформулируются в терминах эластичностей спроса по доходу и ценам.

Определение 20.

Эластичностью спроса на i-ое благо по доходу называется выражение –

Эластичностью спроса на i-ое благо по цене i-ого называется выражение –

Долей дохода, затрачиваемой на покупку i-ого благо, называется выражение –

С учетом этого определения теорема 26 может быть переформулирована в виде:

Теорема 27.

Пусть x(p, R) – решение задачи потребителя. Предположим, также что x(p, R) – непрерывно дифференцируемая функция по ценам и доходу, тогда выполнены следующие свойства:

1)µ(p, R)Ep= –µ(p, R),

2)для любого k справедливо ERk = – ÛEpkj,

k

3) µ(p, R)ER=1.

Доказательство:

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.

■

86

87

Перечисленные в данном параграфе соотношения важны для характеризации спроса, порожденного моделью рационального поведения. Они являются не только необходимыми (как мы только что установили), но и достаточными (как покажем далее) условиями того, что некоторая функция цен и уровней полезности является функцией расходов рационального потребителя. Согласно уравнению Слуцкого эти характеристики могут быть выражены в терминах первых частных производных маршаллианского спроса, которые, как предполагается, являются непосредственно наблюдаемыми, что дает возможность проверять согласованность наблюдаемого потребительского поведения с моделью рационального поведения и восстанавливать предпочтения потребителя на основе его рыночного поведения (выборов).

98.Докажите, что при приведенных в тексте предположениях функция расходов и функция хиксианского спроса являются непрерывно дифференцируемыми по x.

99.Является ли дифференцируемым на положительном ортанте, функция спроса потреби-

теля, у которого u(x)= x31x2 + x1x32. (Данный пример показывает, что для дифференцируемости недостаточно строгой квазивогнутости, дважды непрерывной дифференцируемости и локальной ненасыщаемости)

100.Докажите аналог уравнения Слуцкого для случая, когда доход потребителя формируется за счет продажи начальных запасов w.

101.Сформулируйте и докажите аналог уравнения Слуцкого для случая когда доход потребителя формируется за счет заработной платы. Почасовая ставка заработной платы равна w, потребитель располагает 24 часами времени в сутки. Время отдыха является одним из благ, количество потребления которого выбирает потребитель.

102.Проверьте выполнение леммы Шепарда, тождества Роя и уравнения Слуцкого для следующих функций полезности:

103.Пусть выполнен закон Вальраса и функция спроса однородна нулевой степени. Пусть, кроме того, в экономике обращается только два товара. Докажите симметричность матрицы Слуцкого, не делая предположения о максимизации полезности потребителем.

104.Пусть A — матрица коэффициентов замены. Докажите, что pA = 0.

105.В экономике 2 товара. Известно, что в матрице замены a11 = –2 и a22 = –1. В этом случае элемент a21 равен

87

88

106. Матрица замены при ценах p1 = 1, p2 = 2, p3 =6 имеет вид

Найдите пропущенные элементы. Может ли эта матрица быть матрицей замены рационального потребителя?

107. Пусть в экономике представлено 3 блага. Спрос на первое блага имеет вид x1(p, R) =

R R

2p1(1 + (p2/p1)1/2). Спрос на второе благо имеет вид x2(p, R) = 2p2(1 + (p2/p1)1/2). Проверьте выполнение уравнения Слуцкого.

108. (МасКолелл, Винстон, Грин) В экономике с тремя благами потребитель имеет положительный доход R > 0 и его функции спроса на первое и второе благо равны

где α, β, γ, δ > 0.

(a) Объясните, как можно рассчитать спрос не третье благо (вычисления делать не надо). (б) Являются ли функции спроса для x1 и x2 однородными требуемой степени?

(в) Какие ограничения на параметры α, β, γ, δ должны выполняться, чтобы данные функции спроса могли быть порождены задачей максимизации полезности.

(г) Используя результаты пункта (в) для фиксированного значения спроса на 3-й товар изобразите кривые безразличия в пространстве (x1, x2).

(д) Что можно сказать о свойствах функции полезности этого потребителя? (Используйте результаты пункта (г).)

109.Докажите утверждения теорем 26 и 27.

110.Покажите, что если блага комплементарны, то эффект замены отсутствует, а если предпочтения квазилинейны (для спроса на благо, уровень полезности которого нелинейно зависит от потребления этого блага) то отсутствует эффект дохода.

111.Покажите, что если функция полезности аддитивно–сепарабельна и строго монотонна, то в экономике не будет взаимодополняемых товаров

112.Покажите, что если функция полезности потребителя однородна, то функции спроса удовлетворяют соотношению

88

89

113. Во вводных курсах микроэкономики обычно вводят следующее определение благзаменителей и комплементарных благ (в терминах функций спроса Маршалла):

∂x

«Благо 1 называется субститутом блага 2, если ∂ 2 < 0». p1

∂x

«Благо 1 называется комплементарным для блага 2, если ∂ 2 > 0». p1

Покажите, что такое определение ведет к парадоксам. Например, возможна ситуация, когда благо 1 является субститутом блага 2, а обратное неверно.

Покажите также, что, аналогичные определения в терминах функции спроса Хикса (приведите их) свободны от парадоксов такого типа.

114.Покажите, что любой товар Гиффена является малоценным. Справедливо ли обрат-

ное?

115.Могут ли все блага быть малоценнными, если предпочтения локально ненасыщаемы?

116.Пусть для некоторого потребителя значения эластичности спроса по доходу равны по всем товарам. Найдите чему равно это значение.

117.Пусть функция полезности однородна первой степени. Чему равны эластичности спроса по доходу?

∂v(p,R)

119. Используя теорему об огибающей, докажите, что ∂R — значение множителя Лагранжа задачи потребителя.

Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений

На основе модели рационального поведения, ключевым элементом которой являются предпочтения потребителя, можно построить функции спроса. Однако сами по себе предпочтения ненаблюдаемы, и чтобы иметь возможность прогнозировать будущий спрос при изменениях цен и дохода, нам необходимо решить обратную задачу: восстановить предпочтения по наблюдаемому спросу. Есть несколько подходов к ее решению.

Восстановление предпочтений через непрямую функцию полезности

Предположим, что нам известна система функций спроса xi(p, R). Для восстановления непрямой функции полезности можно прямо воспользоваться тождеством Роя

∂ν(p, R) ∂ν(p, R)

– ∂pi / ∂R = xi(p, R)

рассматривая это тождество как систему дифференциальных уравнений. Если бы мы смогли решить данную систему дифференциальных уравнений, то получили бы непрямую

89

90

функцию полезности. Знание непрямой функции полезности и системы функций спроса позволяет нам сопоставить каждому потребительскому набору, который может быть выбран как наилучший при некоторых ценах p и доходе R, значение полезности по следую-

щему правилу: u(x(p, R)) = ν(p, R).

Однако данное правило задает полезность не всех наборов. Так функции полезности u(x1, x2) = min{2x1 – x2, 2x2 – x1} соответствует функция спроса, для которой x1(p, R) = x2(p, R). Как не сложно понять, предложенное правило не позволяет задать полезность для наборов (x1, x2) таких, что x1 ≠ x2.

Восстановить функцию полезности на множестве потребительских наборов, которые являются оптимальными выборами потребителя при некоторых ценах и доходах, по построенной непрямой функции полезности можно также на основе решения следующей задачи:

При этом в качестве полезности набора x выбираем значение этой задачи — u*(x) = inf{ν(p, R) | p Ê l++, px<R}. В качестве дохода можно взять любое положительное число, например, R = 1. Отметим, что данная задача ориентированна на поиск инфимума, а не минимума. Это объясняется тем, что оптимизация ведется на множестве, которое не является замкнутым. Отметим, что оно не является также и открытым. Кроме того, оптимизируемая непрямая функция полезности, не определена в случае, когда хотя бы одна цена обращается в 0. В силу этого замена инфимума на минимум невозможно, так как последний может, вообще говоря, не существовать. В то же время инфимум существует, хотя при некотором значении параметров и может быть равен –∞.

Пример 15.

Пусть непрямая функция полезности равна ν(p, R)=max R . Решим задачу

{p1, p2}

max R → inf p Ê l

{p1, p2} ++ px < R,

в случае, когда вектор параметров x состоит из строго положительных компонент. Пусть,

также, x1 > x2. В этом случае инфимум достигается при p1 = 0, а p2 = R . В то же время эта x2

же задача на минимум решения не имеет. Значение задачи в точке оптимума, в этом случае равно x2 Аналогично, рассматривая случай, когда x2 > x1, имеем что значение целевой функции равно x1. В случае если, например, x1>0, а x2=0, то значение целевой функции будет равно 0, а инфимум достигается при p2=+∞. Несложно догадаться, что в общем случае, значение целевой функции этой задачи в точке к инфимума равно min{ x1, x2}.

Покажем, что такая процедура корректна, т.е. на ее основе мы получаем (правда, не для всех точек x) прямую функцию полезности, соответствующую данной ν(p, R).

Теорема 28.

90