201
ux(x) = xa1 + xb2, uz(z) = cz1 + dz2,
где x>0, z>0, и обладают начальными запасами ωx и ωz.
а) При каких значениях параметров (a, b, c, d, ω) можно гарантировать, что состояние экономики, не улучшаемое по Парето, можно реализовать как равновесие?
Предположим, что в этой экономике осуществилось равновесие.
б) При каких значениях параметров (a, b, c, d, ω) можно гарантировать, что оно не улучшаемо по Парето?
в) При каких значениях параметров (a, b, c, d, ω) можно утверждать, что для обоих потребителей оно не лучше, чем начальное состояние?
г) При каких значениях параметров (a, b, c, d, ω) можно утверждать, что для одного из потребителей оно не лучше, чем начальное состояние? О каком из потребителей идет речь?
54. В экономике обмена один потребитель имеет функцию полезности ux(x1, x2) = ln x1 + ln x2, а другой — uz(z1, z2) (x1, x2, z1, z2 >0). Начальные запасы равны ωx = (1; 1) и ωz = (2; 1).
Укажите функцию uz( ) и равновесие Вальраса такие, что равновесное состояние не является Парето-оптимальным состоянием данной экономики.
Какое условие теоремы (какой?) при этом будет нарушаться? Объяснить, почему это равновесие не Парето-оптимально.
55. В экономике обмена один потребитель имеет функцию полезности ux(x1, x2), а другой
— uz(z1, z2) = z1 + z2 (x1, x2, z1, z2 >0). Начальные запасы равны ωx = (4; 1) и ωz = (2; 2).
Укажите функцию ux( ) и равновесие Вальраса в соответствующей экономике такие, что равновесное состояние этой экономики не является Парето-оптимальным. Объяснить, почему это равновесие не Парето-оптимально.
Какое условие теоремы (какой?) при этом нарушается?
56. В экономике обмена один потребитель имеет функцию полезности ux(x1, x2) = 2x1 + x2, а другой — uz(z1, z2) (x1, x2, z1, z2 >0). Начальные запасы равны ωx = (3; 2) и ωz = (2; 1).
Укажите функцию uz( ) такую, что не каждый Парето-оптимум можно реализовать как равновесие. Какое условие теоремы (какой?) при этом нарушается?
Какие именно Парето-оптимальные состояния нельзя реализовать как равновесие. Объяснить, почему.
57. В экономике имеется один производитель с технологией, задаваемой неявной производственной функцией g(y) = –y1 – y2 и один потребитель с функцией полезности u(x1, x2). Начальные запасы равны (ω1, ω2) = (2; 0). Известно, что функция полезности может быть одного из трех видов: u = min(Ax1, Bx2), u = max(Ax1, Bx2) или же u = Ax1 + Bx2. Выберите функцию и подберите параметры A и B так, чтобы точка (x1, x2) = (1; 1) соответствовала оптимуму Парето, но на ее основе нельзя было бы сконструировать равновесие. Объясните, почему это будет оптимум. Объясните, почему нельзя сконструировать равновесие. Какие условия теоремы (какой?) при этом нарушены? Проиллюстрируйте
201
202
анализ на графике с помощью множества производственных возможностей и кривых безразличия.
58. |
В экономике имеются потребители i = 1, 2 с функциями полезности ui(xiA, xiB), |
где |
xiA, xiB >0. Суммарные начальные запасы |
равны (ωΣA, ωΣB) = (2; 2). Известно, |
что |
u2 = |
x2A + x2B, а функция полезности 1-го |
может быть одного из трех видов: |
u1 = αln(1 + x1A) + βln(1 + x1B), u1 = αx1A + βx1B или же u1 = α(x1A)2 + β(x1B)2. Выберите функ-
цию и подберите параметры α и β так, чтобы точка (x1A, x1B) = (2; 0) соответствовала оптимуму Парето, но на ее основе нельзя было бы сконструировать равновесие. Объясните, почему это будет оптимум. Объясните, почему нельзя сконструировать равновесие. Какие условия теоремы (какой?) при этом нарушены? Проиллюстрируйте анализ на диаграмме Эджворта.
59. В экономике имеется один производитель с технологией, задаваемой неявной производственной функцией g(y) = – y1 – y2 и один потребитель с функцией полезности u(x1, x2). Начальные запасы равны (ω1, ω2) = (1; 3). Известно, что функция полезности может быть одного из трех видов: u = min(Ax1, x2), u = Ax1 + x2 или же u = max(x1x2, A). Выберите функцию и подберите параметр A так, чтобы точка (x1, x2) = (1; 1) соответствовала оптимуму Парето, но на ее основе нельзя было бы сконструировать равновесие. Объясните, почему это будет оптимум. Объясните, почему ее нельзя реализовать как равновесие. Какие условия теоремы (какой?) при этом нарушены? Проиллюстрируйте анализ на графике с помощью множества производственных возможностей и кривых безразличия.
60. В экономике имеются потребители i = 1, 2 с функциями полезности ui(xiA, xiB), |
где |
xiA, xiB >0. Суммарные начальные запасы равны (ωΣA, ωΣB) = (2; 2). Известно, что |
u1 = |
(x1A)2 + (x1B)2, а функция полезности 2-го может быть одного из трех видов: |
u2 = |
max(x2A, α+ x2B), u2 = αx2A + x2B или же u2 = x2Aα x2B. Выберите функцию и подберите параметр α так, чтобы точка (x1A, x1B) = (1; 2) соответствовала оптимуму Парето, но на ее осно-
ве нельзя было бы сконструировать равновесие. Объясните, почему это будет оптимум. Объясните, почему нельзя сконструировать равновесие. Какие условия теоремы (какой?) при этом нарушены? Проиллюстрируйте анализ на диаграмме Эджворта.
61. Какие из нижеприведенных функций полезности соответствуют условиям 1-й теоремы благосостояния?
I. u(x1, x2) = – 1/x1 – 1/x2, |
II. u(x1, x2) = x1 – x2, |
III. u(x1, x2) = 100, |
а) I и II. |
|
|
б) I и III. |
|
|
в) II и III. |
|
|
г) только I. |
|
|
62. Для выполнения первой теоремы благосостояния требуется, чтобы функция полезности удовлетворяла свойствам...
а) только локальной ненасыщаемости, б) локальной ненасыщаемости и вогнутости,
202
203
в) дифференцируемости и вогнутости, г) только вогнутости.
63. Для выполнения второй теоремы благосостояния требуется, чтобы функция полезности удовлетворяла свойствам...
а) локальной ненасыщаемости, б) локальной ненасыщаемости и вогнутости, в) вогнутости,
г) вогнутости и дифференцируемости.
64. Если функция полезности одного из потребителей является локально ненасыщаемой,
то...
а) первая теорема благосостояния несправедлива; б) бюджетное ограничение выполняется как равенство; в) точка равновесия не является внутренней; г) вторая теорема благосостояния несправедлива.
65. Вторая теорема благосостояния может не выполняться, если...
а) у одного из потребителей в его множестве потребительских наборов есть наилучший набор;
б) технологические множества выпуклы; в) функция полезности хотя бы одного из потребителей недифференцируема;
г) функция полезности хотя бы одного из потребителей локально ненасыщаема.
66. В экономике двух потребителей с двумя благами функции полезности имеют вид
u1 = x11 + 2 x12 и u2 = 2 x21 + x22.
Начальные запасы 1-го потребителя равны (1; 3), а 2-го — (2; 1).
Пусть x11 = 2, x12 = 1, x21 = 1, x22 = 3, p1 = 1, p2 = 1, T1 = –1, T2 = 1.
(а) Покажите формально, что (p, x, T) является равновесием с трансфертами. (б) Является ли это равновесие оптимальным по Парето? Обоснуйте свой ответ.
67. В экономике с двумя благами функция полезности единственного потребителя имеет вид
u = 2 x1 + x2,
а его начальные запасы равны (3; 1). Технология единственного предприятия задана неявной производственной функцией
g = – y1 + 2 –y2. Пусть x1 = 4, x2 = 3/4, y1 = 1, y2 = –1/4.
204
(а) Покажите формально, что (x, y) является Парето-оптимальным состоянием.
(б) Можно ли на основе этого Парето-оптимального состояния сконструировать равновесие? Обоснуйте свой ответ.
68. В экономике двух потребителей с двумя благами функции полезности имеют вид
u1 = x11 + 4 x12 и u2 = 2 x21 + x22.
Начальные запасы 1-го потребителя равны (2; 4), а 2-го — (1; 1).
Пусть x11 = 1, x12 = 2, x21 = 2, x22 = 3.
(а) Покажите формально, что x является Парето-оптимальным состоянием.
(б) Можно ли на основе этого Парето-оптимального состояния сконструировать равновесие? Обоснуйте свой ответ.
69. В экономике с двумя благами функция полезности единственного потребителя имеет вид
u = x1 + 2 x2,
а его начальные запасы равны (3; 0). Технология единственного предприятия задана неявной производственной функцией
g = 4 –y1 – y2. Пусть x1 = 2, x2 = 4, y1 = –1, y2 = 4, p1 = 2, p2 = 1.
(а) Покажите формально, что (p, x, y) является равновесием.
(б) Можно ли на основе этого Парето-оптимального состояния сконструировать равновесие? Обоснуйте свой ответ.
70. При каких дополнительных предположениях относительно параметров модели обмена (с m потребителями) и совпадающими, выпуклыми и строго монотонными предпочтениями, представимыми непрерывно дифференцируемыми функциями полезности, распределение, состоящее из векторов начальных запасов, можно реализовать как равновесие? При каких ценах?
71.Пусть начальные запасы в экономике обмена лежат на Парето-границе. При каких дополнительных условиях можно гарантировать существование и единственность равновесия в этой экономике?
72.Рассмотрим модель обмена в двумя благами и двумя потребителями с функциями по-
лезности u1 = x11, u2 = x21, совокупные начальные запасы которых положительны ωΣÞ0. Покажите формально, что:
а) Любая точка ящика Эджворта (x1 [0, ω1Σ]×[0, ω2Σ]) принадлежит слабой и сильной границе Парето.
б) Каждую из точек ящика Эджворта можно реализовать как равновесие, и при этом p2=0.
205 73. Рассмотрим модель обмена в двумя благами и двумя потребителями с функциями по-
лезностиu1 = x11, u2 = x22 совокупные начальные запасы экономики положительны (ωΣÞ0). Покажите формально, что:
а) Правая (x11=ωΣ1 , x21 [0, ω2Σ]) и нижняя (x11 [0, ω1Σ], x21=0) стороны ящика Эджворта состав-
ляют слабую границу Парето, а правый нижний угол (x1 = (ωΣ1 , ωΣ2 )) — сильную Паретограницу.
б) Сильную границу Парето можно реализовать как равновесие при любых неотрицательных ценах.
74. Пусть, как и в Примере 3, потребители имеют линейные функции полезности с положительными коэффициентами,
u1 = α1x11 + β1x12 |
и |
u2 = α2x21 + β2x22, |
совокупные начальные запасы экономики положительны (ωΣÞ0). Продемонстрируйте
формально, что сильная и слабая граница Парето совпадают в этой экономике. Найдите их в зависимости от значений коэффициентов.
75. Пусть в ситуации Примера 4 (u1 = lnx11 + lnx21, u2 = x12 + x22) совокупные начальные запасы экономики положительны (ωΣÞ0). Продемонстрируйте формально, что сильная и слабая
граница Парето совпадают в этой экономике. Найдите их в зависимости от величины начальных запасов.
76. Первый потребитель имеет функцию полезности с "толстой" кривой безразличия
|
x11x12 |
|
x11x12 < 2 |
u1 |
|
|
|
2 < x11x21 < 3 |
= |
2 |
|
|
|
1 2 |
– 1 |
1 2 |
|
x1x1 |
x1x1 > 3 |
и
u2 = x12 + x22.
В ситуации Примера 5 при достаточно больших совокупных начальных запасах найдите формально сильную и слабую границы Парето и множество точек, которые можно реализовать как равновесие. Как соотносятся между собой эти три множества?
77. В ситуации Примера 6 (u1 = – (x11 – 1)2 – (x21 – 1)2, u2 = 2 x12 + x22) при достаточно больших совокупных начальных запасах найдите формально границу Парето и множество точек,
которые можно реализовать как равновесие.
78. В ситуации Примера 7 (u1 = x11 + x21, u2 = x22) при положительных совокупных начальных запасах найдите формально границу Парето и множество точек, которые можно реализовать как равновесие.
206
Задачи к главе
79.Покажите, что в экономике обмена с двумя потребителями и двумя благами, если предпочтения гомотетичны и одинаковы, то граница Парето совпадает с диагональю ящика Эджворта. Как найти равновесие в такой экономике, используя свойства границы Парето?
80.В моделях общего равновесия часто рассматривают альтернативную концепцию допустимого состояния экономики, заменяя балансы благ
Ûxik = Ûωik + Ûyjk , k K
i=1 |
i=1 |
j=1 |
на полубалансы |
|
|
m |
m |
n |
Ûxik <Ûωik + Ûyjk , k K.
Обозначим такую экономику EA.
Равновесием в этом случае называют набор (p-, x-, y-), такой, что:
—цены p- неотрицательны;
—каждый вектор x-i является решением задачи потребителя при ценах p- и доходе βi = Ûp-
k K
kωik + Ûγijπj ; j J
—каждый вектор y-j является решением задачи производителя при ценах p-;
—состояние (x-, y-) является допустимым;
—выполнен закон Вальраса, т.е.
p-Ûx-i = p-Ûωi + p-Ûy-j.
Рассмотрите экономику с одним дополнительным производителем, технологическое множество которого имеет вид Yn+1 = – Êl+ (технология утилизации благ без издержек), и балансами в виде равенств. Обозначим такую экономику EU. Рассмотрите равновесие в этой экономике и продемонстрируйте его эквивалентность равновесию в экономике EA, а именно:
(1)Покажите, что в любом равновесии экономики EU цены благ неотрицательны.
(2)Покажите, что если (p-, x-, y-) — равновесие в экономике EA, то (p-, x-, (y-, y-n+1)) — равновесие в экономике EU, где
y-n+1 = Ûx-i – Ûωi – Ûy-j.
i=1 i=1 j=1
(3) Покажите, что если (p-, x-, (y-, y-n+1)) — равновесие в экономике EU, тогда (p-, x-, y-) — равновесие в экономике EA.
81. Рассмотрим модель обмена с m потребителями. Коалицией называется любое подмножество множества потребителей. Говорят, что коалиция S блокирует данное состояние экономики x= (x1, ..., xm), если существует состояние экономики y= (y1, ..., ym), такое что
207
ys }s xs и Ûs Sys <Ûs Sωs, где ωi — начальные запасы потребителя i, а }i — его предпочтения (другими словами, участники коалиции могут, обмениваясь только друг с другом, улучшить свое положение, по сравнению с рассматриваемым состоянием x). Наконец, ядро данной экономики состоит из распределений x, которые не блокируются ни одной из коалиций.
Предположим, что допустимые потребительские наборы задаются неравенствами xi >0.
(1)Докажите, что если предпочтения потребителей строго монотонны и непрерывны, то каждое распределение из ядра Парето-оптимально.
(2)Покажите, приведя соответствующий контрпример, что отказ от условия строгой монотонности делает утверждение, вообще говоря, неверным.
(3)Докажите следующий аналог первой теоремы благосостояния: если предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, то равновесное распределение принадлежит ядру экономики.
82. Найти в соответствующей модели обмена с двумя потребителями и двумя благами (и потребительским множеством, удовлетворяющим ограничениям xi >0) и с начальными запасами ω1 = (1; 1), ω2 = (1; 1)
-равновесие,
-границу Парето,
-ядро.
Функции полезностей обоих потребителей одинаковы и имеют вид
(A)u(x1, x2) = xα1 1xα2 2;
(B)u(x1, x2) = α1 x1 + α2 x2 ;
(C) u(x1, x2) = α1 x1 + α2x2;
(D) u(x1, x2) = xα1 1 exp(α2x2).
83. Какими свойствами обладает равновесие в модели Эрроу-Дебре с локально ненасыщаемыми предпочтениями и строго положительными начальными запасами потребителей в случае, если технологические множества Yj производителей, вообще говоря, не выпуклы (Предполо-
жите, что 0 Yj). Аргументируйте свой ответ.
84. Какими свойствами обладает равновесие в модели обмена с монотонными (но, вообще говоря, не строго монотонными) предпочтениями. Аргументируйте свой ответ.
208
85.Какими свойствами обладает равновесие в модели обмена с монотонными и строго выпуклыми предпочтениями. Аргументируйте свой ответ.
86.Какими свойствами обладает равновесие в модели обмена с монотонными и строго
выпуклыми предпочтениями. Аргументируйте свой ответ.
87. Предположим, что предпочтения потребителей в модели обмена допускают представление линейными функциями полезности. Какие свойства этих функций гарантируют, что каждое равновесие этой модели ...
(1)принадлежит слабой границе Парето;
(2)принадлежит сильной границе Парето.
88.Могут ли в экономике обмена с одинаковыми предпочтениями потребителей и одинаковыми начальными запасами существовать возможности для взаимовыгодных обменов?
89.Могут ли в экономике обмена с одинаковыми выпуклыми предпочтениями потребителей и одинаковыми начальными запасами существовать возможности для взаимовыгодных обменов?
90.Покажите, что совпадение предпочтений потребителей, начальных запасов и положительность начальных запасов не гарантирует, что начальное распределение является равновесным. Приведите соответствующий контрпример.
91.Покажите, что совпадение предпочтений потребителей, начальных запасов и выпуклость предпочтений не гарантирует, что начальное распределение является равновесным. Приведите соответствующий контрпример.
92.Покажите, что выпуклость предпочтений потребителей и Парето-эффективность состояния экономики с начальными запасами в качестве потребительских наборов не гарантирует, что начальное распределение является равновесным. Приведите соответствующий контрпример.
93.Покажите, что в экономике обмена прирост начальных запасов потребителя может привести к падению его полезности в точке равновесия.
209
Указание. Рассмотрите экономику с двумя товарами и двумя потребителями с одинаковыми предпочтениями, описываемыми следующей квазилинейной функцией полезности
u(x) = x1 + x2,
рассмотрите сравнительную статику потребителя 1 в зависимости от изменения начальных запасов ω1 и ω2.
94. (1) Предположим, что в экономике обмена с непрерывными, строго выпуклыми и строго монотонными квазилинейными сепарабельными предпочтениями происходит перераспределение начальных запасов. Покажите, что если начальные запасы потребителя возрастают, то его полезность не может упасть.
(2)Рассмотрим передачу ресурсов от первого потребителя ко второму, как и выше, но на этот раз предпочтения не квазилинейные. Предположите, что передаваемое количество мало и что изменение (относительное) равновесной цены мало. Покажите, что полезность потребителя 1 может упасть. Проинтерпретируйте с точки зрения соотношения между эффектом замены и эффектом дохода.
(3)Покажите, что в экономике с двумя товарами и двумя потребителями этот парадокс может произойти только в случае единственности равновесия. (Подсказка: Покажите, что если передача начальных запасов потребителя 1 ведет к уменьшению его полезности тогда в первоначальной ситуации должно существовать еще одно равновесие с еще более низким уровнем полезности у потребителя 1).
210
4. Квазилинейная экономика и частное
равновесие
В этой главе мы рассмотрим теоретическое основание моделей частного равновесия, то есть таких моделей, в которых рассматривается равновесие на рынке одного товара в предположении, что цены всех остальных товаров остаются фиксированными.
Как известно, спрос и предложение каждого блага в моделях общего равновесия зависят, вообще говоря, от цен всех рассматриваемых благ. Такая зависимость не позволяет анализировать рынки благ по отдельности, поскольку изменения на одном рынке влияют на ситуацию на других рынках, приводя к сдвигу кривых спроса и предложения на этих рынках. Это, в свою очередь, приводит к сдвигам кривых спроса и предложения на данном рынке и т.д. Поэтому частный равновесный анализ оказывается корректным только в ситуациях, когда указанные зависимости отсутствуют. Это случай так называемых квазилинейных предпочтений. Если предпочтения потребителей квазилинейны, то функция спроса, соответствующая этим предпочтениям характеризуется отсутствием эффекта дохода. Если к тому же предпочтения и технологии сепарабельны, то рынки оказываются полностью независимыми и при изменениях на одном из них состояния прочих рынков остаются неизменными. В данной главе нам предстоит проиллюстрировать сказанное. Таким образом, экономика с квазилинейными сепарабельными предпочтениями годится для моделирования ситуаций, в которых в первом приближении можно пренебречь эффектом дохода и взаимозависимостью рынков.
Приведем соответствующие обозначения и определения. Рассмотрим экономику с l + 1 благом, m потребителями и n производителями. Будем обозначать через I = {1, ..., m} множество потребителей, а через J = {1, ..., n} множество производителей.
Предположим, что предпочтения i-го потребителя описываются функцией полезности
следующего вида: ui(xi1,..., xil, zi) = vi(xi1,..., xil) + zi. Эту функцию полезности принято называть квазилинейной. Последнее благо будем интерпретировать как деньги.63 В дальней-
шем, если не оговорено противное, будем предполагать, что величина zi может принимать и отрицательные значения.64 Будем предполагать, что множество физически допустимых потребительских наборов потребителя i задано ограничениями xik > 0.
Каждый потребитель сталкивается с бюджетным ограничением, формируемым его начальными запасами и доходами, получаемыми от владения финансовыми активами. Пусть каждый потребитель обладает начальными запасами только (l+1)-го блага. Другими словами, начальный запас потребителя i имеет вид (0, 0, ..., 0, ωi), причем ωi >0. Предполагается также, что потребитель i I получает доход от владения активами в виде долей от прибыли фирм. Числа γij >0, i I, j J задают распределение прав на получение прибыли, т.е. γij обозначает долю потребителя i в прибыли фирмы j.
Производители в модели представлены технологиями вида (y1,..., yl, –r), где yk >0 для всех k = 1, ..., l — объемы выпуска первых l благ, а r >0 — затраты последнего l + 1-го блага на производства первых l благ. Таким образом, предполагается, что единственным затрачи-
63Тем самым мы имеем в виду следующую интерпретацию: рассматриваемая нами экономика является малой частью некоторой большей экономики, в которой эти деньги можно потратить на покупку производящихся там товаров.
64Это предположение введено для упрощения анализа. В дальнейшем предлагаются условия, которые гарантируют неотрицательность значений zi в рассматриваемых состояниях равновесия.
