Бусыгин

Рисунок 69. Оптимальные портфели разных инвесторов

Теорема о разделении (Separation Theorem):

Для всякого инвестора (независимо от γ) рискованная часть оптимального портфеля является рыночным портфелем.

Соответственно, процесс поиска оптимального портфеля можно разделить на два этапа: сначала определяется оптимальный рискованный портфель (σM, -rM), а затем в зависимости от склонности к риску выбирается его оптимальное сочетание с безрисковым активом. При отождествлении оптимального рискованного портфеля с рыночным задачу первого «решает» рынок и инвестору достаточно выбрать соотношение между безрисковым активом и этим портфелем. Тем самым, вместо того, чтобы рассматривать все активы, инве-

стору достаточно выбрать соотношение между безрисковым активом и рыночным портфелем. (Выше мы уже анализировали подобную задачу).

Это утверждение называют также «теоремой о взаимных фондах» ("Mutual Fund Theorem"). Название отражает тот факт, что в «мире Марковица» инвесторы могут доверить составление оптимального портфеля рискованных активов инвестиционным организациям («взаимным фондам»), а сами должны будут лишь комбинировать этот готовый портфель с безрисковым активом в соответствии со своими предпочтениями.

Как мы видели, точка касания (σM, -rM), вообще говоря, может быть не единственной. Кроме того, в общем случае данной паре (σM, -rM) не всегда соответствует единственная структура активов, поэтому рыночный портфель может быть не единственным.

Если мы имеем дело с невырожденным случаем (например, когда матрица корреляций доходностей рискованных активов невырождена), то рыночный портфель (ν1,...,νl) единственный и вектор (ν1,...,νl) для любого инвестора характеризует структуру рискованной части портфеля. Таким образом, этот же вектор характеризует структуру продаж активов на рынке в целом (отсюда и термин «рыночный портфель»).

Показатель бета отдельного актива, βk = cMk/σ2M, представляет собой характеристику актива, общую для всех инвесторов. Бета актива измеряет степень взаимосвязанности доходности актива и доходности рыночного портфеля. Бета актива, фактически, представляет

281

282

собой наклон теоретической линии регрессии доходности актива по доходности рыночного портфеля (отсюда и название).

r~k

βk

r0

r~M

r0

Рисунок 70. Интерпретация беты актива как наклона линии регрессии

Коэффициенты бета характеризуют структуру равновесия на рынке активов, задавая обратное соотношение между риском и доходностью:

-rk – r0 = βk(r-M – r0).

Эти соотношения показывают, что премия за риск, -rk – r0, пропорциональна коэффициенту βk. Коэффициент пропорциональности здесь — премия за риск для рыночного портфеля,

-rM – r0.

Отметим несколько свойств этих равновесных соотношений и коэффициентов бета.

Ожидаемая доходность актива с нулевой бетой (т.е. актива, доходность которого некоррелированна с рыночной доходностью) равна безрисковой ставке, r0. Поскольку такой актив не изменяет риск рыночного портфеля, то он по сути дела является безрисковым (несмотря на то, что дисперсия доходности может быть положительной).

Актив с бетой, равной единице, эквивалентен рыночному портфелю и обладает той же ожидаемой доходностью, что и рыночный портфель.

Определим бету произвольного портфеля следующим образом:

β = Cov(r~P, r~M) = cMP.

P Var(r~M) σ2M

При этом бета портфеля — это взвешенное среднее бет активов, составляющих портфель:

Заметим, что для любого портфеля, лежащего на эффективном луче σP = (1 – α0)σM и cMP = Cov(r~P, r~M) = (1 – α0)σ2M.

Следовательно, у такого портфеля бета равна

βP = cσMP2 = σσP .

M M

В частности, бета рыночного портфеля равна единице.

Для эффективного портфеля, так же как для активов, входящих в оптимальный портфель, выполнено

-rP – r0 = βP(r-M – r0) = r0 + σσP (r-M – r0).

M

282

283

Это уравнение эффективного луча, которое мы вывели выше.

Задачи

37. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности типа Неймана— Моргенштерна с квадратичной элементарной функцией полезности. Он обладает некоторым богатством ω и может формировать портфель из активов со следующими характери-

рованы (с коэффициентом 1). Что можно сказать о структуре рисковой части оптимального портфеля? Поясните словами и графически.

38. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности типа Неймана— Моргенштерна с квадратичной элементарной функцией полезности. Он обладает некоторым богатством ω и может формировать портфель из активов со следующими характери-

2, σ2) = (1,2; 0,2). Рискованные активы некоррелированы. При какой величине r0 рисковая часть оптимального портфеля может иметь характеристики (r-R, σR) = (1,15; 0,2)? Поясните словами и графически.

39. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности типа Неймана— Моргенштерна с квадратичной элементарной функцией полезности. Он обладает некоторым богатством ω и может формировать портфель из активов со следующими характери-

2, σ2) = (1,1; 0,2). Рискованные активы жестко отрицательно коррелированы (с коэффициентом –1). Что можно сказать о структуре рисковой части оптимального портфеля? Поясните словами и графически.

40. В модели Марковица инвестор со строгим неприятием риска выбирает какую долю капитала оставить в безрисковой форме с доходностью r0 а сколько вложить в рискованные активы (акции) двух типов со средними доходностями -r1 > r0, -r2 > r0. Могут ли какиелибо условия на коэффициент корреляции ρ и (или) доходности гарантировать, что

(A) все три актива войдут в портфель;

(B)только первый из рискованных активов войдет в портфель;

(C)только два рискованных актива войдут в портфель?

41.Пусть в модели Марковица инвестор, обладающий капиталом 1 млн. долл. делает выбор между тремя активами: один безрисковый с доходностью r0 = 1,1, а другие два — с

доходностями -r1 = 1,2 и -r2 = 1,5 соответственно и дисперсиями доходностей σ21 = σ22 = 1. Известно, что инвестор выбрал портфель, характеризующейся доходностью rP = 1,27 и дисперсией доходности σ2P = 0,17. Доходность рискованной части его портфеля равна rR = 1,44.

(1) Найдите суммы, вложенные инвестором в каждый из активов.

283

284

(2)Найдите дисперсию доходности рискованной части портфеля этого инвестора.

(3)Найдите коэффициент корреляции доходностей двух рискованных активов.

42. В модели Марковица инвестор сталкивается с двумя рискованными активами с характеристиками σ21 = 4, -r1 = 2, σ22 = 1, -r2 = 11/2, где σ2k — дисперсия доходности k-го актива, а -rk

— ожидаемая доходность, и с одним безрисковым активом с доходностью r0 = 1. Известно, что инвестор выбрал такой портфель, что его рискованная часть имеет характеристики σ2R = 8/3, -rR = 12/3, а сам оптимальный портфель имеет ожидаемую доходность -rP = 12/3. Найдите дисперсию доходности оптимального портфеля. Найдите доли активов в оптимальном портфеле. Найдите величину корреляции между доходностями двух рискованных активов.

43. В модели Марковица—Тобина полезность инвестора насыщается при доходности равной 1,6. Имеются два вида активов: акции с параметрами риск-доходность (σ1, -r1) = (2; 1,2) и облигации с параметрами (σ2, -r2) = (1; 1,4), причем они некоррелированы. Будет ли строго возрастать или убывать доля облигаций в рисковой (рыночной) части портфеля инвестора по мере роста доходности безрискового актива от r0 = 1 до r0 = 2?

(A)Нарисовать ее приблизительный график и объяснить ход рассуждений, можно с помощью графиков.

(B)Вывести функциональную зависимость.

44. В модели Марковица—Тобина полезность инвестора насыщается при доходности равной 1,7. Имеются два вида активов– акции с параметрами риск-доходность (σ1, -r1) = (1; 0,8) и облигации с параметрами (σ2, -r2) = (1; 1,4), причем они отрицательно коррелированы с коэффициентом –1. Будет ли строго возрастать или убывать доля облигаций в портфеле инвестора по мере роста доходности безрискового актива от r0 = 1 до r0 = 2?

(A)Нарисовать ее приблизительный график и объяснить ход рассуждений, можно с помощью графиков.

(B)Вывести функциональную зависимость.

45. В модели Марковица—Тобина полезность инвестора насыщается при доходности равной 1,8. Имеются два вида активов– акции с параметрами риск-доходность (σ1, -r1) = (2; 1,4) и облигации с параметрами (σ2, -r2) = (1; 1,3), причем они положительно коррелированы с коэффициентом 1. Будет ли строго возрастать или убывать доля акций в портфеле инвестора по мере роста доходности безрискового актива от r0 = 1 до r0 = 2?

(A)Нарисовать ее приблизительный график и объяснить ход рассуждений, можно с помощью графиков.

(B)Вывести функциональную зависимость.

46. (Очень осторожный инвестор).

Некий инвестор всегда предпочитает активы с меньшим риском (дисперсией) вне зависимости от ожидаемой доходности. Пусть он составляет портфель из двух активов с ожи-

284

285

даемыми полезностями -r1 и -r2 и дисперсиями доходности σ21 и σ22. В какой пропорции войдут в портфель эти активы, если они ...

(1)жестко положительно коррелированны (коэффициент корреляции равен ρ12 = 1),

(2)некоррелированы (ρ12 = 0),

(3)строго отрицательно коррелированы (ρ12 = –1).

47. На отрезке в ряд расположены четыре предприятия:

Время от времени происходит стихийное бедствие, которое сокращает прибыли на двух соседних предприятиях наполовину. Без учета этого прибыль на всех предприятиях одинакова. Вероятность стихийного бедствия для каждой пары предприятий, (1, 2), (2, 3), (3, 4), одинакова. В какой пропорции распределит свой капитал между акциями этих предприятий инвестор с квадратичной элементарной функцией полезности?

48.Покажите, что если инвестору доступны два рискованных актива (r-1, σ1), (r-2, σ2), доходности которых некоррелированны, и выполнено -r1< -r2, то оптимальный портфель обязательно содержит 2-й актив. Покажите, что условие некоррелированности активов существенно для справедливости этого утверждения, приведя соответствующий контрпример.

49.Покажите в явном виде, что если инвестору доступны два рискованных актива (r-1, σ1), (r-2, σ2), доходности которых некоррелированны, и безрисковый актив, и выполнено -r1< -r2, то оптимальный портфель содержит 1-й актив тогда и только тогда, когда r0 < -r1. Покажите, что условие некоррелированности активов существенно для справедливости этого утверждения, приведя соответствующий контрпример.

Задачи к главе

50. Имеются два вида активов — облигации и акции. Их доходности, зависящие от предполагаемого состояния экономики, приведены в таблице:

Кредит невозможен. Элементарная функция полезности инвестора равна u(x) = 4x – x2.

(А) Найдите оптимальную структуру инвестиционного портфеля методом максимизации функции полезности фон Неймана—Моргенштерна.

(Б) Найдите оптимальную структуру инвестиционного портфеля методом модели Марко- вица—Тобина.

(В) Найдите оптимальную структуру инвестиционного портфеля методом модели Марко- вица—Тобина, если дополнительно существует безрисковый актив с доходностью 1,3.

285

286

6. Рынки в условиях неопределенности

В этом параграфе мы рассматриваем модели общего равновесия (обмена) с контингентными благами в предположении, что существует конечное множество таких благ, а, следовательно, и состояний мира. Участники обмена при этом имеют собственные (возможно неверные) представления о вероятностях возможных состояний мира. Частным случаем этой ситуации является рынок, где представления всех участников о вероятностях совпадают. Заметим, что часто полученные результаты не зависят от того, являются ли эти представления верными или ошибочными.

Модель Эрроу экономики с неопределенностью

Как и прежде, будем предполагать, что имеется m потребителей (i I = {1, ..., m}) и l товаров (k K = {1, ..., l}). S = {1, ..., s^} — множество всех возможных состояний мира. Условно можно представить, что рассматриваются два момента времени — «сегодня» и «завтра». Предполагается, что сегодня заключаются сделки и уравновешиваются рынки, а выполняться сделки будут завтра, когда выяснится, какое из состояний мира реализуется.

Напомним, что контингентным благом (k, s) является контракт, заключаемый сегодня и гарантирующий поставку единицы товара k K завтра в том случае, если реализуется состояние s S.

Цену такого контингентного блага обозначим pks, а его количество, приобретаемое потребителем i — xiks. Таким образом, потребительский набор в данной модели характеризуется вектором xi = {xiks}ks Êls^. Заметим, что контингентное благо покупается и оплачивается сегодня, когда неизвестно, какое состояние мира реализуется.

Как и прежде, будем предполагать, что в каждом из состояний мира s S потребитель i обладает начальными запасами ωis Êl. Таким образом, начальные запасы ωi = {ωiks}ks потребителя i состоят из наборов контингентных благ.

Будем рассматривать здесь только экономику без производства (экономику обмена). Потребители обмениваются между собой только имеющимися у них контингентными благами и заключают сделки в рамках бюджетного ограничения. Каждый из потребителей максимизирует в рамках такого ограничения свою функцию полезности Ui(xi).

Напомним, что задача потребителя имеет вид

Ui(xi) → max xi

xis Xi s S.

Соответствующую экономику назовем экономикой Эрроу. Выполнение балансов в этой экономике требуется для каждого из состояний мира s S отдельно. Т.е. состояние экономики Эрроу допустимо, если для каждого блага и каждого состояния мира выполнен баланс:

Ûxiks = Ûωiks, k K, s S.

i I i I

Кроме того, как и ранее, для допустимости состояния экономики требуется допустимость наборов всех потребителей:

xis Xi, s S, i I.

286

287

Определение общего равновесия остается прежним.

Определение 1.

Назовем (p, x-) равновесием Эрроу—Дебре экономики Эрроу, если

1)x-i — решение задачи потребителя (1) при ценах p.

2)x- — допустимое состояние, т.е.

Ûx-iks = Ûωiks, k K, s S.

i I i I

Несложно понять, что такая модель рынка ничем не отличается от классической, с точностью до способа спецификации благ (k, s). Этот факт можно использовать для доказательства теорем благосостояния для равновесия Эрроу—Дебре.

Теоремы благосостояния для экономики Эрроу

В этом параграфе мы получим аналог двух теорем благосостояния, характеризующих свойства равновесия в терминах Парето-эффективности. При определении Паретоэффективности в данной экономике мы сталкиваемся с проблемами, связанными с возможными ошибками при оценке вероятностей состояний мира.

Заметим, что понятие (и определение) Парето-оптимального состояния такой экономики зависит от способа оценивания возможных потребительских наборов и, в конечном итоге, от оценок вероятностей состояний мира. В дальнейшем мы будем использовать два таких понятия. Первое, аналогичное классическому определению, основывается на функциях полезности потребителей, полученных при оценках состояний мира, приписываемых этим состояниям данными потребителями (функциях Ui(xi)). Второе основывается на истинных значениях вероятностей состояний мира.

Определение 2.

Допустимое состояние экономики Эрроу x^ = (x^1, ..., x^m) называется (субъективно) Паре- , если не существует другого допустимого состояния x` = (x`1, ..., x`m), та-

кого что Ui(x^i) <Ui(x`i), причем хотя бы для одного потребителя неравенство строгое.

Альтернативное определение мы дадим только для случая, когда предпочтения описываются функцией Неймана—Моргенштерна.

Определение 3.

Пусть функции полезности всех потребителей в экономике Эрроу имеют вид Неймана— Моргенштерна с субъективными вероятностями:

Ui(xi) = Û µisui(xis),

s S

и µi — объективные вероятности состояний мира.

Допустимое состояние экономики Эрроу x^ = (x^1, ..., x^m) называется (объективно) Паре- то-оптимальным, если не существует другого допустимого состояния x` = (x`1, ..., x`m), такого что

Û µsui(x`is) > Û µsui(x^is),

причем хотя бы для одного потребителя неравенство строгое.

287

288

Различие двух определений связано только с корректировкой возможных ошибок в оценке вероятностей состояний мира потребителями.

В этом параграфе мы будем исходить из первого (субъективного) определения оптимальности. При использовании этого определения для экономики Эрроу выполнены аналоги Теорем благосостояния при стандартных предположениях. В то же время, очевидно, что при использовании второго («объективного») определения оптимальности, аналоги Теорем благосостояния при тех же предположениях в общем случае не выполнены.

Теорема 1.87

Пусть (p, x-) — равновесие Эрроу—Дебре экономики Эрроу, причем предпочтения потребителей локально ненасыщаемы. Тогда x- — Парето-оптимальное состояние.

Пусть x^ — внутреннее Парето-оптимальное состояние экономики Эрроу. Предположим также, что предпочтения потребителей выпуклы, непрерывны и локально ненасыщаемы. Тогда существуют цены p, такие что (p, x^) является равновесием Эрроу—Дебре при некотором распределении собственности ωi.

Доказательство.

Перенумеруем контингентные блага: (k, s) → k′.

После такой операции получаем классическую модель Вальраса с l×s^ «обычными» благами, в которой выполнены предположения первой и второй теорем благосостояния.

*

Один из возможных способов нумерации контингентных благ иллюстрирует Таблица 1.

Таблица 1. Иллюстрация нумерации контингентных благ

s

Свойства равновесий Эрроу—Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике Эрроу с функциями полезности Неймана—Моргенштерна

Мы рассмотрим в данном параграфе, какие черты специфический вид функции полезности Неймана—Моргенштерна (линейность по вероятностям и постоянство элементарных функций полезности по состояниям мира) накладывают на равновесия и Паретооптимальные состояния.

Пример 1.

Рассмотрим экономику, в которой есть одно благо (деньги), два потребителя, и два состояния мира: R (дождь), и S (солнечная погода). Потребители обладают начальными за-

87 Заметим, что в случае, когда предпочтения потребителей представимы функцией полезности НейманаМоргенштерна, ненасыщаемость предпочтений гарантируется монотонностью элементарной функции полезности, непрерывность — непрерывностью элементарной функции полезности, выпуклость — ее вогнутостью.

288

289

пасами ω1 = (1, 3), ω2 = (3, 1) контингентных благ. Т.е., первый потребитель, если обмен не происходит, может рассчитывать на 1 при дожде и на 3 при солнце, а второй — наоборот. Пусть оба считают, что вероятности состояний R и S равны µR = 0.25 и µS = 0.75 соответственно, и имеют одинаковые элементарные функции полезности ui(x)= ln(x). Тогда функции полезности потребителей имеют вид:

Ui = 0,25 ln(xiR) + 0,75 ln(xiS), i = 1, 2.

Описанная экономика представляет собой типичный пример «ящика Эджворта», только интерпретация переменных специфическая. Здесь речь идет не об обмене обычными («физическими») благами, а об обмене рисками.

Дифференциальная характеристика Парето-оптимума имеет вид

∂U1/∂x1R = 0,25 x1S = ∂U2/∂x2R = 0,25 x2S, ∂U1/∂x1S 0,75 x1R ∂U2/∂x2S 0,75 x2R

откуда

x1Sx2R = x1Rx2S.

В Парето-оптимуме также должны выполняться балансы:

x1R + x1S = 4, x2R + x2S = 4.

Отсюда получаем следующее уравнение границы Парето в координатах (x1R, x1S): x1S(4 – x1R) = x1R(4 – x1S)

или

x1S = x1R.

Следовательно, граница Парето совпадает с диагональю ящика Эджворта. Найдем теперь равновесие. Его дифференциальная характеристика имеет вид:

∂U1/∂x1R = 0,25 x1S = pR, ∂U1/∂x1S 0,75 x1R pS

∂U2/∂x2R = 0,25 x2S = pR. ∂U2/∂x2S 0,75 x2R pS

Равновесие удовлетворяет соотношениям для Парето-оптимальных состояний, то есть, как и предсказывает Теорема 1, равновесие лежит на границе Парето. Таким образом, в равновесии x1S = x1R.

Учитывая это соотношение, получим из дифференциальной характеристики равновесия, что отношение цен в двух состояниях мира равно

Таким образом, можно выбрать pR = 1, pS = 3.

Поскольку предпочтения потребителей монотонны, то бюджетные ограничения в равновесии выходят на равенство. Для 1-го потребителя

pRx1R + pSx1S = pR + pS 3,

т.е.

x1R + 3x1S = 1 + 3 3 = 10.

289

В приведенном примере в любом Парето-оптимальном состоянии (а значит, и в равновесии) потребление обоих потребителей не зависит от состояния мира. Другая его примечательная особенность состоит в том, что отношение цен для двух состояний мира оказалось пропорциональным отношению вероятностей этих состояний. Оказывается, эти закономерности верны и в более общих случаях, когда, как и в данном примере, суммарные запасы не зависят от состояний мира. Покажем это.

Определение 4.

Будем говорить, что в экономике Эрроу отсутствует системный риск, если

Ûi ωiks = Ûi ωikt, k K, s, t S.

Теорема 2.

Пусть в экономике Эрроу системный риск отсутствует, предпочтения потребителей характеризуются функциями полезности Неймана—Моргенштерна с одинаковыми оценками вероятностей состояний мира и строго вогнутыми элементарными функциями полезности, заданными на выпуклых множествах допустимых наборов Xi. Тогда в любом Парето-оптимальном состоянии экономики x^ потребление каждого потребителя не зависит от состояния мира (т.е. отсутствует индивидуальный риск):

x^iks = x^ikt, i I, k K, s, t S.

Доказательство.

Пусть в равновесии для какого-либо потребителя j данное свойство не выполнено, например, x^jks ≠x^jkt. Тогда допустимое состояние экономики x*, такое что

x*iks = Ût S µtx^ikt

является Парето-улучшением для состояния x^, что противоречит Парето-оптимальности x^.

Проверим, что состояние x* является допустимым.

Ûx*iks = ÛÛµtx^ikt = ÛµtÛx^ikt = ÛµtÛωikt = Ûωikt.

где в последнем равенстве мы воспользовались тем, что Ûi ωikt не зависит от состояния мира и сумма вероятностей состояний мира равна 1.

290