Бусыгин

Рисунок 82. Неоптимальность неуниформного налога

Введение налога на благо 1 вызывает поворот бюджетной прямой (B →B′) и переход потребителя к новому равновесию (x-→x-′). Рассмотрим «бюджетную прямую» B*, параллельную первоначальной (B) и проходящую через точку равновесия, как если бы ввели эквивалентный аккордный налог (или униформные налоги на потребление). Поскольку вспомогательная бюджетная прямая пересекает кривую безразличия, то соответствующее решение задачи потребителя x-″ обеспечивает потребителю более высокую полезность, чем x-′ без снижения величины налога. На рисунке направление такого «Паретоулучшения» показано стрелкой.

в этом случае должны выполнятся для всех благ, кроме l-го. Если подставим в них полученные выше характеристики решения задачи потребителя, то получаем соотношение

Здесь мы воспользовались тем, что ограничение по сбору налогов существенно, т.е. λ> 0, и x-k > 0 (равновесие внутреннее). Последнее слагаемое здесь равно нулю, поэтому

Производные функции x-(t) равны соответствующим производным обычной функции спроса по ценам. Следовательно,

Если предпочтения потребителя гомотетичны, то

∂xs = ∂xk k, s,

∂pk ∂ps

и можно записать это соотношение как

331

332

или, с использованием эластичностей спроса по ценам, εks,

Если же функция полезности потребителя квазилинейна по труду и сепарабельна, на спрос потребителя на отдельное благо влияет только налог на это благо. При этом все перекрестные производные равны нулю и условие оптимальности имеет очень простой вид:

т.е. относительные (адвалорные) налоги должны быть обратно пропорциональны эластичностям.

В общем случае симметричность производных не выполнена, однако можно перейти к хиксианскому спросу, для которого эта симметричность имеет место.

Напомним, что уравнение Cлуцкого имеет вид

Подставляя ∂xs/∂pk в характеристику оптимальных налогов, получаем

где Sks = ∂hs/∂pk — коэффициент замены Слуцкого (Ssk = Sks), а

эластичность хиксианского спроса на k-е по цене s-го блага.

Взяв полный дифференциал от хиксианского спроса hk(p+ t, u), получим, что изменение спроса за счет эффекта замены равно

l–1 ∂h

dhk = Û∂pk dts

s=1 s

В случае, когда налоги малы (dtk ≈tk), можно воспользоваться полученным условием оптимальности:

332

333

откуда

dhk ≈– λ– α. xk λ

Т.е. следствием введения малых оптимальных налогов является сокращение спроса за счет эффекта замены на все облагаемые блага в одинаковой пропорции. Поскольку в квазилинейной экономике эффект дохода равен нулю для всех благ, кроме последнего, то dhk = dxk

и

dxk ≈– λ– α. xk λ

В случае гомотетичных предпочтений эта характеристика тоже имеет место, поскольку изменение спроса на отдельное благо за счет эффекта дохода пропорционально величине спроса на это благо.

Пусть в экономике имеется 3 блага (l = 3), и третье благо (досуг) не облагается налогом. Тогда

εh11 τ1 + εh12 τ2 = – λ–λα, εh21 τ1 + εh22 τ2 = – λ–λα,

где τk = tk/pk относительные ставки налогов. Отсюда

Из однородности хиксианской функции спроса, —

Эту формулу можно проинтерпретировать в том смысле, что отношение ставок двух облагаемых налогом благ зависит от перекрестных эластичностей этих благ по цене 3-го блага. В отсутствии возможности облагать третье благо, в оптимуме второго ранга приходится облагать комплементарные ему: если 2-е благо «в большей степени является комплементарным для 3-го, чем 1-е», в том смысле что εh23 < εh13 , то относительная ставка налога на него должна быть выше: t1/p1 > t2/p2.

Задачи

16. Полезность потребителя зависит от потребления двух благ. Рассмотрим ситуацию обложения его налогами, в которой рыночные цены остаются неизменными. Пусть рыночные цены равны p1 = 2, p2 = 1. Потребитель облагается оптимальными налогами на потреб-

333

334

ление (на единицу товара), и известно, что ставка налога на первый товар равна t1 = 1. Каким должен быть налог на второй товар?

17.Полезность потребителя зависит от потребления двух благ. Рассмотрим ситуацию обложения его налогами, в которой рыночные цены остаются неизменными. Потребитель облагается оптимальными налогами на потребление (на единицу товара), и известно, что ставки налога равны t1 = 1 и t2 = 2. Чему равно отношение рыночных цен p1/p2?

18.Полезность потребителя зависит от потребления двух благ. Рассмотрим ситуацию обложения его налогами, в которой рыночные цены остаются неизменными. Пусть рыночные цены равны p1 = 2, p2 = 1. Из-за введения оптимальных налогов на потребление (на

единицу товара) потребление обоих благ упало в 2 раза. Какие налоги были установлены?

19.Полезность потребителя зависит от потребления двух благ. Рассмотрим ситуацию обложения его налогами, в которой рыночные цены остаются неизменными. Пусть рыноч-

ные цены равны p1 = 2, p2 = 1. Результат введения налогов на потребление (на единицу товара) оказался таким же, как если бы потребителя обложили подушным налогом размером T. Чему было равно отношение ставок налогов t1/t2?

20.Покажите, что если в модели оптимального налогообложения «малого» потребителя функция полезности не дифференцируема, оптимальность может достигаться и при неуниформных налогах.

21.Приведите пример оптимального налогообложения «малого» потребителя, когда малые налоги приводят к сокращению спроса на блага в разных пропорциях.

334

335

8. Экстерналии

Приведенные теоремы благосостояния выясняют оптимальность «классических» (совершенных) рынков. Если ослабить условия этих теорем, то рынок без координации или регулирования может иметь неэффективные равновесия. В частности, в мире Вальраса взаимовлияния экономических субъектов происходят через посредство рынка (цены благ и доходы). Если же этого не происходит, то рынок может быть несовершенным.

В этой главе мы рассмотрим модели ситуаций, когда существуют влияния экономических субъектов друг на друга, которые по тем или иным причинам не опосредуются рынком

(так называемые внешние влияния или экстерналии).

Модель экономики с экстерналиями

Описание экономики с экстерналиями совпадает с соответствующим описанием совершенного рынка. Единственное отличие заключается в том, что аргументами функций полезности и производственных функций являются, вообще говоря, объемы потребления и производства благ всеми экономическими субъектами.

Формально внешние влияния (экстерналии) мы вводим в модели, предполагая, что функции полезности ui и/или допустимые множества Xi потребителей зависят от решений всех других участников:

ui = ui(x, y) = ui(xi, x–i, y) и Xi = Xi(x–i, y)

(мы второй случай далее не рассматриваем). Здесь, как и ранее, x —вектор объемов потребления, а y — вектор объемов производства. Точно также мы предполагаем, что производственные множества Yj фирм зависят от решений других участников: Yj = Yj(y–j, x); производственные функции с учетом этой зависимости приобретают вид

gj = gj(y, x) = g(yj, y–j, x).

Определение 1.

Если для некоторого потребителя i ≠ i* его функция полезности ui(x, y) зависит от xi*k нетривиальным образом (то есть не является константой по xi*k), то говорят, что потребление потребителем i* блага k оказывает внешнее влияние на i-го потребителя. Соответствующая переменная xi*k называется экстерналией. Точно так же потребление потребителем i* блага k оказывает внешнее влияние на j-го производителя, если gj(x, y) нетривиальным образом зависит от xi*k; производство производителем j* блага k оказывает внешнее влияние на i-го потребителя, если ui(x, y) нетривиальным образом зависит от yj*k; производство производителем j* блага k оказывает внешнее влияние на влияние на производителя j ≠j*, если gj(x, y) нетривиальным образом зависит от yj*k.

Для каждого потребителя i через Ei обозначим множество благ, таких что их потребление этим потребителем оказывает внешнее влияние хотя бы на одного потребителя или производителя108. Соответственно, для каждого производителя j через Ej обозначим множество благ, таких что их производство этим производителем оказывает внешнее влияние хотя бы на одного потребителя или производителя.

108 Отметим очевидную связь множеств EIi и EJi с множеством Ei.

335

336

Если все множества Ei и Ej пусты, то модель экономики с экстерналиями совпадает с классической моделью.

В зависимости от характера оказываемого ими влияния различают положительные и отрицательные экстерналии (хотя такая классификация не является полной).

Отрицательными внешними влияниями являются, например, громкая музыка, курение, загрязнение окружающей среды. Мы будем считать экстерналии отрицательными, если функция полезности (производственная функция) по ним убывает. Для дифференцируемых функций отрицательными можно называть экстерналии, для которых соответствующие производные отрицательны.

Есть и примеры положительных внешних влияний. Классический пример положительных экстерналий — расположенные рядом сад и пасека: пчелы опыляют фруктовые деревья, что приводит к тому, что садовод собирает больший урожай; пчеловод же получает больше меда. В определенном смысле общественные блага, которым посвящена следующая глава — это частный случай экстерналий. Положительные экстерналии формально определяются по аналогии с отрицательными (возрастание функции, положительность производных).

Проблема экстерналий

Если участники ситуации с экстерналиями способны без издержек измерять уровень влияний, устанавливать, охранять и контролировать права собственности на них (право оказывать влияния либо право не подвергаться влиянию, или др.), способны к переговорам, то обычно они достигают Парето-оптимального соглашения по координированию экстерналий (см. «теорему Коуза» ниже). В противоположном случае часто возникает «фиаско рынка», то есть неоптимальность по Парето возникающего некоординируемого равновесия. В простых ситуациях (например, частного равновесия) это «фиаско» проявляется в избыточности деятельности, порождающей экстерналии, в случае отрицательных экстерналий; при положительных же влияниях она обычно недостаточна по сравнению с оптимальными.

Чтобы пояснить этот эффект рассмотрим сначала пример частного равновесия109 без координации экстерналий.

Пример 1. («Трагедия общин»)110.

Пусть каждый из m фермеров i {1, ..., m} выбирает размер своего стада коров yi >0. Для его выпаса используется общественное пастбище, со свободным доступом на него коров, принадлежащих данным фермерам. Все коровы одинаковы, и одна корова дает ϕ молока, причем это количество зависит от размера всего стада Y = Ûi yi, т.е. ϕ= ϕ(Y). Если фермер имеет yi коров, то он получает от них yiϕ(Y) молока.

В дальнейшем нам удобнее пользоваться функцией f(Y) = Yϕ(Y), выражающей зависимость общего надоя молока со всего стада как функцию от общего числа коров. Предполагается, что f(0) = 0, f′(.) положительна и убывает. Убывание f′(.) что отражает падающую эффективность (истощение луга). Пусть цена молока равна p, стоимость одной коровы равна c, тогда индивидуальная прибыль i-го участника при данных стратегиях y–i прочих участников равна

109Это означает в данном случае, что участники не влияют на цены: они «малы» относительно экономики в целом.

110См. William Forster Lloyd, Two Lectures on the Checks to Population, 1833; Garrett Hardin, "The Tragedy of the Commons," Science, New Series, 162 (No. 3859, Dec. 13, 1968), 1243-1248.

336

337

πi(yi, y–i) = p yi ϕ(yi + Ûyj) – cyi =

Равновесие при свободном использовании луга — это равновесие по Нэшу соответствующей игры, т.е. набор стратегий -yi, удовлетворяющих следующим условиям:

-yi argmax yi πi(yi, y-–i).

Если же вести выпас как единое предприятие, то оптимальным будет общий размер стада Y^, максимизирующий совокупную прибыль от выпаса

Y^ =argmax Y {pf(Y) – cY}.

Предположим, что m > 1, и {y-i} и Y^ существуют.111 Тогда

m

Y- = Û-yi > Y^,

i=1

т.е. свободный доступ к общинному пастбищу приводит к избыточному размеру стада.112

Действительно, условия первого порядка для внутреннего (в смысле -yi > 0 i) равновесия по Нэшу имеют вид

С другой стороны, условия первого порядка для оптимального размера общественного стада Y^ (при Y^ > 0) имеет вид

p f′(Y^) = c.

Преобразуя эти два соотношения, получаем

Поскольку f′( ) убывает, то Y- > Y^.

Если, например f(Y) = Y и c = 1, то, как легко проверить,

Y- = p2 1 – 2m1 2,

в то время как

111Установить условия существования и провести доказательство существования предоставляется читателю. Анализ аналогичных моделей приведен, например, в главах, посвященных монопольным и олигопольным рынкам.

112Английский термин congestion — перегруженность, чрезмерно интенсивное использование.

113Неравенство следует из известного факта, что средняя производительность больше предельной, если производственная функция вогнута и равна нулю при нулевых затратах.

337

338

Y^ = p42.

Поскольку 1 – 2m1 2 > 14 при m > 1, то Y- > Y^.

Неоптимальность равновесия объясняется тем, что когда фермер максимизирует свою прибыль, он не учитывает своего влияния на прибыль других. Воспользовавшись тем, что при yi > 0

получим, что в точке равновесия выполняется соотношение

Это означает, что фермер мог бы увеличить общую прибыль, сократив свое стадо и используя пастбище менее интенсивно.

Любое такое изменение ухудшит положение того фермера, который осуществит такую корректировку размера своего стада, хотя и улучшит положение всех остальных. Если же хотя бы двое фермеров немного уменьшат размер своего стада, то возрастет прибыль каждого фермера. Другими словами, такое изменение будет представлять собой строгое Парето-улучшение. Действительно, рассмотрим дифференциально малое изменение размеров стада каждого фермера:

(dy1, ... , dym).

При этом

π m ∂π

d i = Û∂yi dyj.

j=1 j

Если i ≠j, то ∂πi/∂yj < 0. С другой стороны в точке равновесия ∂πi/∂yi = 0. Таким образом, если dyi <0 i и по крайней мере для двух фермеров неравенство строгое, то dπi > 0 i.

Продемонстрированная проблема «избыточности» вредных влияний носит весьма общий характер и встречается в ситуациях загрязнения среды, совместного использования всех видов общих ресурсов (дорог, мест отдыха, ...) и др.

Это же явление с обратным знаком — «тенденция к недостаточности» деятельности, дающей положительные внешние эффекты. Например, если стремящийся к чисто личной выгоде колхозник или член бригады получает просто долю общей прибыли и не контролируем, то его усилия, при естественных предположениях, окажутся ниже оптимальных.

Как можно видеть из рассмотренного примера, ключевая причина неоптимальности в ситуациях с экстерналиями — игнорирование при нескоординированных индивидуальных решениях выгоды или вреда, создаваемых для других субъектов. Ниже мы рассмотрим различные способы коррекции неоптимальных равновесий. В частности, фиаско рынка с «общим благом» исчезнет, если некоторым образом распределить права собственности. Например, крестьяне могут договориться об изначальных квотах выпаса (например, по-

338

339

ровну от оптимального объема), а затем, при необходимости, продавать и покупать квоты друг у друга.

Задачи

1.Два охотника охотятся в одном лесу. Количество дичи, добываемой i-м охотником (yi) зависит от его усилий (xi) и общего количества дичи в лесу (z) как yi = xiz. Последнее зависит от их усилий по следующему закону: z = 6 – x1 – x2. Охотники стремятся добыть как можно больше дичи. Сравните результаты некоординированного поведения и оптимум Парето.

2.Месторождение нефти расположено под участками, принадлежащими двум различным нефтяным компаниям. Объем добычи компании (yi) зависит от интенсивности добычи,

которую она выбирает (xi), составляя xi/(1+x1+x2) долю от общих запасов нефти в месторождении (1000 баррелей). Рыночная цена нефти — 15 песо за баррель, издержки на добычу одного барреля равны (3+xi) песо. Каков будет результат «эгоистичной погони за прибылью»? Покажите, что месторождение будет эксплуатироваться слишком интенсивно.

3. («Теорема о плохом колхозе») Пусть доход yΣ артели («колхоза») есть простая сумма результатов yi >0, создаваемых усилиями отдельных участников i = 1, ..., n. Доход распределяется поровну. Функция полезности ui(ri, yi) каждого участника возрастает по его доходу ri = yΣ/n, и убывает по его усилиям yi. Показать, что если хотя бы один участник в равновесии Нэша осуществляет усилия ( i: yi > 0), то оно не Парето-оптимально. Предложите Парето-улучшение.

4. [MWG] Группа состоит из m студентов. Каждый i-й студент учится по hi часов в неделю. Эти усилия уменьшают его уровень полезности на величину h2i /2. В то же время это дает студенту добавку к стипендии, так что его полезность увеличивается на величину φ(hi/h-), где h- — среднее количество часов, которое посвящают учебе студенты данной группы, а φ( ) — дифференцируемая строго возрастающая вогнутая функция. Найдите характеристику внутреннего равновесия (по Нэшу). Сравните с оптимальным по Парето исходом. Дайте интерпретацию.

5. Каждый год n рыбаков ловят в озере рыбу. Ситуация начинается в году t = 1 и продолжается бесконечно. Количество рыбы на начало t-го года составляет yt. За год i-й рыбак вылавливает xit/(Ûixit + 1) долю от общего количества рыбы yt, где xit — его издержки на лов рыбы в году t. Цена на рыбу постоянна и равна p. Каждый рыбак максимизирует дисконтированную прибыль

∞

πi = Ûπitδt–1 (0 < δ< 1).

t=1

В начале года количество рыбы в два раза больше оставшегося к концу предыдущего года.

(1)Пусть каждый рыбак выбирает постоянную стратегию xi=xit. Покажите, что вылов рыбы будет больше оптимального.

(2)Как зависит выбор xi и динамика рыбных запасов от цены на рыбу и дисконтирующего множителя δ?

339

340

(3) Предположим, что рыбаки остаются на озере только по одному году, и каждый год приезжают новые n рыбаков. Как это повлияет на ситуацию?

Свойства экономики с экстерналиями. Теорема о неэффективности

Не представляет труда переформулировать для экономики с экстерналиями понятие Паре- то-эффективности. По аналогии с классической моделью доказывается утверждение, характеризующее Парето-оптимальные состояния экономики с экстерналиями: допустимое состояние (x^, y^) является Парето-оптимумом тогда и только тогда, когда оно является решением следующих m задач (i0 = 1,...,m):

ui0(x, y) → max(x, y)

ui(x, y) > u^i = ui(x^, y^) i I, i ≠i0, xi Xi i I,

gj(y, x) > 0 j J,

Û(xik – ωik) = Ûyjk k K.

На основе этого свойства Парето-оптимального состояния можно получить его дифференциальную характеристику. Лагранжиан этой задачи для некоторого i0 имеет вид:

L = Ûλiui(x, y) + Ûµj gj(y, x) + Û σk (Ûj yjk – Ûi(xik – ωik))

Условия первого порядка для внутренних решений имеют вид:

Здесь и в дальнейшем мы будем предполагать, что существует благо k0, обладающее следующими свойствами:

- благо k0 не порождает внешние влияния, т.е. k0 Ei i I и k0 Ej j J,

Такое благо может играть роль естественной единицы счета для экономики114.

Если в рассматриваемом оптимуме Парето существует подобное благо, то, как можно проверить, выполнены условия регулярности теоремы Куна—Таккера, и можно считать, что λi0 = 1 (для всех i0 = 1, ..., m). Это позволяет исключить из полученных соотношений множители Лагранжа и представить дифференциальную характеристику в терминах предельных норм замещения.

114 Естественно интерпретировать это благо как время потребителей, которое они могут использовать как рабочее время и как досуг.

340