Бусыгин

351

Включив в множество Qi (Qj) все блага, по которым функция полезности ui(x, y) (соответственно, производственная функция gj(y, x)) не является вогнутой, мы получим вариант доказанной теоремы для случая невыпуклой экономики. Этот прием можно использовать и для реализации Парето-оптимума как равновесия в экономике без экстерналий.

Замечание.

Теорема верна и без условия дифференцируемости (2). При этом условие (3) заменяется на предположение о локальной ненасыщаемости по благам, которые не порождают экстерналий.

Равновесие с налогами на экстерналии

В дальнейшем будем рассматривать лишь налоги с единицы экстерналии, выраженные в деньгах. Обозначим через Pi множество благ k, потребление которых i-м потребителем облагается налогами. Аналогично через Pj обозначим множество благ k, производство которых j-м производителем облагается налогами.

Пусть tik — ставка налога на потребление блага k потребителем i. Тогда задача i-го потребителя модифицируется следующим образом:

Условия первого порядка для внутреннего решения x-i данной задачи имеют вид

где νi — множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению.

Соответственно если tjk — ставка налога на производство блага k производителем j, то задача производителя j имеет вид:

Условия первого порядка для решения y-j данной задачи имеют вид

где κj — множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.

Введем обозначения для ставок всех налогов, существующих в экономике, tI ={tik | k Pi} и tJ ={tjk | k Pj}, и рассмотрим общее равновесие с такими налогами.

Определение 4.

351

352

Назовем (p-, x-, y-) равновесием с налогами (tI,{Pi}i, tJ,{Pj}j) и трансфертами S экономики с экстерналиями, если

♦ x-i — решение задачи потребителя (13) при ценах p-, доходах

βi = p- ωi + Ûγij p-y-j + Si,

j J

налогах, определяемых tI, Pi и объемах потребления и производства других экономических субъектов x-–i, y-.

♦y-j — решение задачи производителя (16) при ценах p-, налогах, определяемых tj, Pj и объемах производства и потребления других экономических субъектов y-–j, x-.

♦(x-, y-) — допустимое состояние, т.е.

Û(x-ik – ωik) = Û-yjk k.

♦ сумма налогов равняется сумме трансфертов

Û Ûtikx-ik + Û Û tjky-jk = ÛSi.

Приведенное ниже утверждение представляет собой аналог второй теоремы благосостояния для равновесия с налогами на экстерналии. Оно утверждает, что (при некоторых естественных условиях) для Парето-оптимального состояния этой экономики можно найти цены благ и налоги такие, что данное Парето-оптимальное состояние окажется равновесием с налогами.

Теорема 3.

Пусть (x^, y^) — Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями с Xi = Êl+. Предположим также, что

•x^ik > 0 i k Ei;

•функции полезности ui(x, y) и производственные функции gj(y, x) дифференцируемы;

• существует благо k0, для которого выполнены условия ( );

• функции ui(x, y) вогнуты по xi; функции gj(y, x) вогнуты по переменным yj.

Тогда существуют цены p, множества налогооблагаемых благ Pi и Pj, налоги tI, tJ, и трансферты S, такие что (p, x^, y^) является равновесием с налогами. При этом множества налогооблагаемых благ можно выбрать так, что Pi = Ei и Pj = Ej.

Доказательство.

Ограничимся также схемой доказательства. В качестве цены k-го блага pk можно взять множитель Лагранжа σk для балансового ограничения. В качестве множеств Pi и Pj облагаемых налогами благ выберем любые множества благ, содержащие все блага из Ei и Ej соответственно. В качестве ставки налога tik , k Pi выберем

где λs и µj — множители Лагранжа для задачи, характеризующей рассматриваемый оптимум Парето. Ставка налога для блага, не принадлежащего Ps, принимается равной нулю.

Далее доказывается, что x^i является решением задачи (13) при

352

353

βi= px^i + Ûtikx^ik, k Pi

x–i = x^–i, y= y^, данных ценах и введенных налогах. Действительно, точка x^i является допустимой в этой задаче. Поскольку задача каждого потребителя является выпуклой, то для доказательства этого факта достаточно установить, что при этом выполняются условия первого порядка. Условия первого порядка Парето-оптимума можно переписать следующим образом:

а ставку налога для блага, не принадлежащего Ps, примем равной нулю. Далее доказывается, что y^j является решением задачи (12) при данных ценах и x= x^ и y–j = y^–j.

Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S. Легко видеть, что требуемыми трансфертами являются величины

Si = px^i + Ûtikx^ik – (pωi + Ûγij(py^j – Ûtjky^jk)).

Их сумма равна, как и требуется, величине

Û Ûtikx^ik + Û Ûtjky^jk ,

и с учетом этих трансфертов доходы потребителей равны

βi= px^i + Ûtikx^ik, k Pi

то есть ровно столько, сколько необходимо для покупки набора x^i.

*

Замечание.

Ставка налога может оказаться величиной отрицательной. Это, в частности, будет иметь место когда потребление (производство) данного блага вызывает только положительные экстерналии. Содержательно это означает, что потребителю (производителю) выплачивается дотации по соответствующей ставке.

Замечание.

Теорема верна и без условия дифференцируемости. При этом условие ( ) заменяется на предположение о локальной ненасыщаемости.

В следующем утверждении описаны условия, при которых равновесия с налогами Паретооптимальны. Таким образом, это утверждение представляет собой вариант первой теоре-

353

354

мы благосостояния для такой экономики. Условия оптимальности равновесия с налогами, (x-, y-), имеют вид следующего правила Пигу:

Если равновесие с налогами на экстерналии Парето-оптимально и удовлетворяет правилу Пигу, то соответствующие налоги называют налогами Пигу118.

Теорема 4.

Предположим, что (p-, x-, y-) — равновесие с налогами (tI, {Pi}i, tJ, {Pj}j) и трансфертами S экономики с экстерналиями и, кроме того,

•x-i int(Xi) (равновесие внутреннее)

•все блага, порождающие экстерналии, облагаются налогами, т.е. Ei Pi и Ej Pj.

•функции полезности и производственные функции дифференцируемы;

• существует благо k0, для которого выполнены условия ( ). Тогда,

(i) если функции полезности и производственные функции вогнуты, то чтобы это равновесие с налогами было Парето-оптимальным, достаточно, чтобы налоги удовлетворяли правилу Пигу (T);

(ii) если равновесие с налогами Парето-оптимально, и для каждого блага k существует хотя бы один потребитель i (или производитель j), для которого потребление (или производство) данного блага не облагается налогом, т.е. k Pi (k Pj), то налоги должны удовлетворять правилу Пигу (T).

Доказательство.

(i) Нам нужно показать, что найдутся числа {λi}i, {µj}j, {σk}k , λi > 0, µj > 0, такие что для них выполнены соотношения (5)-(6) (дифференциальная характеристика Паретооптимума экономики с экстерналиями). По обратной теореме Куна—Таккера при вогнутости функций полезности и производственных функций выполнение этих соотношений

— достаточное условие максимума для каждой из задач, характеризующих Паретооптимальные состояния экономики с экстерналиями.

Воспользуемся дифференциальной характеристикой равновесия с налогами (14)-(15) и (17)-(18). Множители Лагранжа выберем следующим образом:

λi = 1/νi, µj = κj, σk = p-k.

Поскольку по предположению все блага, не облагаемые налогами, т.е. k Pi и k Pj, не порождают экстерналий, то дифференциальные характеристики Парето-оптимума для них имеют вид:

118 Pigou, A. C. The economics of welfare, London: Macmillan, 1932 (рус. пер. А. Пигу, «Экономическая теория благосостояния», М.: Прогресс, 1985).

354

355

Легко проверить, что они выполнены при выполнении соотношений (14) и (17). Кроме того, из (14) и (17) при k = k0 имеем

откуда получаем следующие выражения для налогов, указанных в условии теоремы:

Подставляя их в дифференциальные характеристики равновесия с налогами (15) и (18), убеждаемся в том, что дифференциальные характеристики Парето-оптимума (5)-(6) выполнены.

(ii) Для любого k ≠ k0 существует экономический субъект, потребление (производство) которым этого блага не облагается налогом. Предположим, например, что это потребитель i. (Для случая, если таким экономическим субъектом является производитель, рассуждения аналогичны, что читателю предлагается проверить самостоятельно.) Из условий первого порядка задачи потребителя i следует, что

∂ui/∂xik = -pk . ∂ui/∂xik0 p-k0

С другой стороны, потребление этим потребителем благ k и k0 не порождает экстерналий и поэтому из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что

∂ui/∂xik = σk .

∂ui/∂xik0 σk0

Это означает, что -pk/p-k0 = σk/σk0, т.е. множители Лагранжа пропорциональны ценам.

Для произвольного потребителя i и блага k, потребление которого данным потребителем облагается налогом (k Pi), имеем из условия первого порядка задачи потребителя

∂ui/∂xik = -pk + tik. ∂ui/∂xik0 -pk0

С другой стороны, из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что

Производя соответствующие замены, получим требуемый результат:

Аналогично, для произвольного производителя j и блага k, производство которого данным производителем облагается налогом (k Pj), имеем

∂gj/∂yjk = -pk – tjk. ∂gj/∂yjk0 p-k0

355

*

Замечание.

Хотя по условиям теоремы множество благ, потребление (производство) которых облагается налогами, не обязано совпадать с множеством благ, порождающих экстерналии, ставки налога на блага, не порождающие экстерналии (блага из множеств Pi\Ei и Pj\Ej) оказываются равными нулю. Из этого, фактически, следует, что множества налогооблагаемых благ должны включать блага, порождающие экстерналии, и только их.

Замечание.

Предположение о том, что для каждого блага k существует хотя бы один потребитель i (или производитель j), для которого потребление (или производство) данного блага не облагается налогом, т.е. k Pi (k Pj) фактически оказывается необходимым для справедливости второй части теоремы. В ситуациях, когда оно не выполняется, поведение потребителя i, а следовательно и равновесие, не зависят от того, какую часть цены pk + tik, с которой он сталкивается, данный потребитель выплачивает в качестве налога, а какую — в качестве рыночной цены.

Пример 3 (продолжение Примера 2)

Введем в экономику Примера 2 t1 и t2 — налоги на выпуски 1-го и 2-го предприятия соответственно. Охарактеризуем внутренние равновесия с налогами. Пусть

(p1, p2, p3, x-1, x-2, x-3, -y1, -y2, a-1, a-2, t1, t2) —

такое равновесие. Задача максимизации прибыли j-го производителя имеет следующий вид:

πj = (pj – tj) fj(aj, -y–j) – p3aj → maxaj.

Дифференцируя по aj, получаем условия первого порядка для решения этой задачи:

то есть предельные нормы трансформации равны отношениям цен, с которыми сталкивается производитель, т.е. цен с учетом налогов.

Вид условий первого порядка задачи потребителя не изменится, так как потребитель не облагается налогом

Из полученной дифференциальной характеристики равновесия имеем следующие соотношения:

356

357

Для того, чтобы равновесие было Парето-оптимальным, необходимо, чтобы

Заметим, что если предпочтения потребителя выпуклы, то такие ставки налогов гарантируют Парето-оптимальность равновесия с налогами.

Задачи

9. В квазилинейной экономике с экстерналиями функции полезности двух потребителей имеют вид

u1 = 2 x1 + z1 и u2 = 2 x2 – x1 + z2,

а функция издержек единственного предприятия имеет вид c(y) = y. Начальные запасы первого блага (блага x) равны нулю. Охарактеризуйте Парето-оптимальные состояния данной экономики. Найдите равновесие и налоги Пигу.

10. В квазилинейной экономике с экстерналиями функции полезности двух потребителей имеют вид

u1 = 2 x1 + z1 и u2 = 2 x2 + z2,

а функция издержек единственного предприятия имеет вид

c(y, x1, x2) = y + 2x1 + x2.

Начальные запасы первого блага (блага x) равны нулю. Охарактеризуйте Парето-опти- мальные состояния данной экономики. Найдите равновесие и налоги Пигу.

11. В квазилинейной экономике с экстерналиями функции полезности двух потребителей имеют вид

u1 = 2 x1 – y + z1 и u2 = 2 x2 + z2,

а функция издержек единственного предприятия имеет вид c(y) = 2y. Начальные запасы первого блага (блага x) равны нулю. Охарактеризуйте Парето-оптимальные состояния данной экономики. Найдите равновесие и налоги Пигу.

12. В экономике есть 2 потребителя с функциями полезности

357

358

u1 = –1/x1 + z1 – x2, u2 = –1/x2 – 2x1 + z2

и предприятие с функцией издержек c(y) = y.

(A)Сформулировать условия Парето-оптимума.

(B)Будет ли в нерегулируемом равновесии избыточным или недостаточным потребление товара x (в смысле дифференциально-малого отклонения от равновесия)?

(C)Сформулировать задачи потребителей для налогов Пигу.

13. Экономика состоит из одного потребителя и одного предприятия. Технологическое множество задается условиями y2x + 2yz <0 и yz <0. Функция полезности имеет вид u = ln x + z – y2x, где yx — объем экстерналий. Начальные запасы равны (ωx, ωz) = (0; 1000).

(1)Дайте определение общего равновесия применительно к данной модели. Найдите его. (Используйте нормировку pz = 1).

(2)Найдите Парето-оптимум. Будет ли равновесный объем производства yx выше или ниже Парето-оптимального?

(3)Вычислите налоги Пигу.

14. Экономика состоит из трех человек, потребляющих два типа благ, x и z. Благо x — это уровень «ухоженности» приусадебного участка, а благо z — все остальные блага. Двое из потребителей соседи, так что красивый внешний вид участка одного соседа создает положительный внешний эффект для другого. Третий же человек живет вдалеке. Функции полезности имеют вид

u1 = ln x1 + ln x2 + z1 , u2 = ln x1 + ln x2 + z2 , u3 = ln x3 + z3.

Каждый потребитель имеет запас по 5 единиц каждого из двух благ. (а) Найдите вальрасовское равновесие в данной экономике.

(б) Найдите все Парето-эффективные распределения благ в этой экономике.

(в) Предложите налог (или субсидию) Пигу, корректирующий экстерналию. Точно опишите, как, кем и за что он (она) платится.

15. Для экономик из задачи 7. Пусть в экономике обмена есть два потребителя и два блага. Функция полезности второго потребителя зависит от уровня собственного потребления, а также от уровня полезности первого потребителя. Найдите и сопоставьте дифференциальные характеристики внутреннего равновесия и внутреннего Парето-оптимума.

8 найдите соотношения для налогов Пигу.

Рынки экстерналий

В этом параграфе мы покажем, что неэффективность равновесия экономики с экстерналиями — следствие отсутствия рынков экстерналий. Другими словами, если в дополнение к рынкам обычных благ возникла бы полная система рынков экстерналий, для такой экономики была бы справедливой первая теорема благосостояния, т.е. равновесие в такой

358

359

экономике оказалось бы Парето-оптимальным. Этот взгляд на проблему экстерналий связан с именем К. Эрроу119.

Предположим, что в дополнение к обычным рынкам, существует полная система конкурентных рынков экстерналий, т.е. существует рынок для каждой экстерналии из множеств

Ei, Ej.

Обозначим

через qisk цену экстерналии, состоящей во влиянии потребления k-го блага i-м потребителем на благосостояние s-го потребителя, xik→us;

через qijk цену экстерналии, состоящей во влиянии потребления k-го блага i-м потребителем на производственные возможности j-го производителя, xik→gj;

через qjik цену экстерналии, состоящей во влиянии производства k-го блага j-м производителем на благосостояние i-го потребителя, yjk→ui;

через qjsk цену экстерналии, состоящей во влиянии производства k-го блага j-м производителем на производственные возможности s-го производителя, yjk→gs;

через q полный набор цен экстерналий.

Вэтой модели предполагается, что платит тот, кто создает экстерналию. Может оказаться (например, в случае положительных экстерналий), что эта цена экстерналии отрицательна. Это следует понимать в том смысле, что «потребитель» экстерналии платит за нее тому, кто создает экстерналию.

Вэтой ситуации задача потребителя i модифицируется следующим образом:

Потребитель здесь выбирает объемы потребления благ xi и влияющих на него экстерналий.

Хотя запись бюджетного ограничения выглядит довольно громоздкой, смысл ее достаточно прост: первая сумма — расходы на оплату обычных благ из рассматриваемого потребительского набора, следующие вторые суммы (вторая строчка бюджетного ограничения)

— оплата внешних влияний, оказываемых данным потребителем на всех других экономических субъектов. И наконец, последние две суммы — оплата другими экономическими субъектами внешнего влияния на данного потребителя.

Условия первого порядка для решения этой задачи выглядят следующим образом:

119 Arrow, K. J. "The Organization of Economic Activity: Issues Pertinent to the Choice of Market versus Nonmarket Allocation," in Collected Papers of K. J. Arrow, Vol. II, Harvard University Press, 1983.

359