Бусыгин

161

Заметим, что условие допустимости состояния (x-, y-) означает выполнение балансов, что в контексте равновесия интерпретируется как равенство спроса и предложения54.

Ясно, что экономика обмена является частным случаем экономики Эрроу—Дебре при отсутствии производства, а концепция равновесия в экономике обмена конкретизирует концепцию равновесия для экономики Эрроу—Дебре.

Удобно иллюстрировать равновесие экономики с производством на диаграмме, аналогичной ящику Эджворта (см. Рис. 34). Рассматривается экономика с одним потребителем, одним предприятием и двумя благами. Множество ω+ Y, состоящее из векторов ω+ y, таких что y Y, где ω — начальные запасы, Y — технологическое множество, — это так называемое множество производственных возможностей экономики. Точка начальных запасов ω лежит на границе производственных возможностей (в предположении, что 0 лежит на границе технологического множества). Вектор x-= ω+ y-, соответствующий равновесию, тоже лежит на границе производственных возможностей. Через этот вектор проходит бюджетная прямая потребителя. Наклон бюджетной прямой соответствует отношению равновесных цен. Множество лучших, чем x-, точек лежит по противоположную сторону бюджетной прямой. Оно не имеет общих точек с бюджетным треугольником.

x2 = ω2 + y2

L++(x-)

x-= ω+ y-

ω+ Y

Рисунок 34. Иллюстрация равновесия в экономике с производством

ЭКОНОМИКА С ТРАНСФЕРТАМИ

Если в экономике есть трансферты (перераспределение доходов между потребителями), то доход потребителя складывается из доходов от продажи начальных запасов, долях в прибыли фирм и трансфертов Si:

βi = Ûpkωik + Ûγijπj + Si.

k K j J

Величина трансферта Si может быть как положительной так и отрицательной. Предполагается, что Si не зависит от выбора потребителя. Сумма трансфертов по всем потребителям должна быть равна нулю:

ÛSi = 0.

i I

Дадим определение общего равновесия для общей модели экономики с трансфертами, задаваемой параметрами

54 Если бы мы использовали вариант модели, о которой упоминалось выше — включающий балансы в виде неравенств (полубалансы), то в равновесии спрос мог бы быть ниже предложения. В таком случае определение равновесия потребовалось бы дополнить условием, что цены таких благ равны нулю. Более точно, по-

случае «потери денег» в экономике приводили бы к существованию нереалистичных равновесий.

161

162

ET = {I, (Xi, }i, ωi, Si)i I, J, (Yj)j J, (γij)i I, j J}.

Определение 4.

Равновесием по Вальрасу в экономике с трансфертами ET называется набор (p-, x-, y-), та-

кой что:

каждый вектор x-i является решением задачи потребителя i при ценах p- и доходе βi = p-

ωi + Ûγijp-y-j + Si ;

j J

каждый вектор y-j является решением задачи производителя j при ценах p-;

(x-, y-) — допустимое состояние экономики ET, следовательно, для всякого блага k выполнено

Ûx-ik = Ûωik + Ûy-jk. i I i I j J

Экономика обмена и экономика Эрроу—Дебре являются частными случаями описанной здесь экономики с трансфертами.

Некоторые свойства общего равновесия

Установим некоторые свойства равновесия, которые нам понадобятся в дальнейшем. При этом речь пойдет об общей модели экономики с производством и с трансфертами.

Простейшим свойством общего равновесия является то, что бюджетные ограничения всех потребителей выполняются как равенства. Действительно, сумма доходов потребителей равна

где последнее равенство («закон Вальраса») является следствием выполнения балансов по благам. Таким образом, сумма доходов всех потребителей равна совокупным потребительским расходам. Это тождество выполняется для любого допустимого состояния экономики при любом векторе цен. Если бы хоть один потребитель не полностью израсходовал свой доход, то, сложив бюджетные ограничения, мы получили бы

p-Ûx-i < Ûβi,

i I i I

и пришли бы к противоречию. Поэтому в равновесии p-x-i = βi для любого потребителя i I.

В дальнейшем мы будем использовать также дифференциальные свойства равновесия.

Пусть функции полезности и производственные функции дифференцируемы, равновесие является внутренним, и в точке равновесия выполнено

ui(x-i) ≠0 i I.

Тогда существуют блага, цена которых не равна нулю. Поскольку потребительский набор x-i — решение задачи потребителя, а технология y-j — решение задачи производителя, то

162

163

выполняются следующие соотношения, называемые дифференциальной характеристикой равновесия:

где k — благо с ненулевой ценой.

Это необходимое условие равновесия. Из него следует, что в равновесии предельные нормы замещения (трансформации) любых двух благ s, k для всех экономических субъектов совпадают. Так, на Рис. 33 в точке равновесия кривые безразличия касаются общей бюджетной прямой, а на Рис. 34 бюджетной прямой касаются граница производственных возможностей и кривая безразличия.

Другое необходимое условие равновесия, о котором говорилось выше, состоит в том, что бюджетные ограничения всех потребителей выполняются как равенства.

Выполнение этих двух условий для набора (p-, x-, y-), где (x-, y-) — допустимое состояние экономики, p- — вектор цен, не гарантирует, что этот набор представляет собой равновесие. Необходимые условия требуется дополнить условиями второго порядка — например, предположением о вогнутости функций полезности и производственных функций, чтобы превратить их в достаточные. Более подробно эти условия анализируются ниже при доказательстве второй теоремы благосостояния для дифференцируемых функций.

Задачи

1.Назвать наиболее важные черты, по которым рынок называют совершенным или классическим: 1) от чего зависят предпочтения и потребительские множества, 2) влияние экономических субъектов на цены, 3) определенность информации, 4) влияние издержек сделок, 5) существование рынков.

2.Рассмотрим экономику обмена с двумя товарами и двумя потребителями, которые имеют следующие функции полезности и начальные запасы.

Найдите равновесие в этой экономике. Единственно ли оно?

3. Пусть функция избыточного спроса имеет вид

Является ли она однородной? Является ли она непрерывной?

Может ли она быть функцией избыточного спроса для некоторой экономики?

163

164

4. Пусть функция избыточного спроса имеет вид

E(p) = ppωa a – ω,

где a Êl++. Является ли она однородной? Является ли она непрерывной? Выполняется ли для нее закон Вальраса? Может ли она быть функцией избыточного спроса для некоторой экономики?

5. Пусть функции избыточного спроса на первые два товара в экономике с тремя благами имеют вид

Найдите избыточный спрос на третий товар.

Может ли быть функцией избыточного спроса для некоторой экономики?

6. Пусть экономика состоит из двух потребителей, и в ней обращаются два товара. Функции полезности потребителей имеют вид

u1(x1,y1) =x1αy11-α и u2(x2,y2) =x2βy21-β.

Потребители обладают начальными запасами в размере

Найдите равновесные цены и спрос потребителей как функции параметров a, b, c, d.

Теоремы существования общего равновесия

Одним из наиболее важных вопросов, изучаемых при рассмотрении моделей общего равновесия, является вопрос существования равновесного распределения (более точно, равновесных распределений). В этом параграфе мы проиллюстрируем ряд стандартных способов доказательства существования равновесия в двух типах экономик: экономиках обмена и экономиках Эрроу—Дебре.

Способы доказательства существования равновесия основаны на демонстрации того факта, что некоторое, подходящим образом построенное, отображение имеет неподвижную точку, соответствующую состоянию равновесия, что, в свою очередь, опирается на варианты теоремы Брауэра о существовании неподвижной точки непрерывного отображения некоторого компактного множества (обычно, множества цен) в себя, или на ее непосредственное обобщение — теорему Какутани о неподвижной точке точечно-множественного выпуклозначного отображения компактного множества в себя.

В наиболее простой версии доказательства построение такого отображения опирается на функцию (отображение) избыточного спроса E(p), то есть превышение спроса над предложением. Формальное определение избыточного спроса для различных типов экономик приводится ниже. Можно переформулировать определение равновесия в терминах избыточного спроса, поскольку, как нетрудно понять, равновесие существует тогда и только тогда, когда существует вектор цен p-, такой что 0 E(p-), то есть такой набор цен, который уравновешивает спрос и предложение на всех рынках. В ситуации же, когда избыточный спрос определяется однозначно, равновесные цены удовлетворяют системе уравнений E(p-) = 0.

164

165

Доказательство существования равновесия проводится в два этапа. Сначала доказывается, что определенные свойства функции избыточного спроса гарантируют существование равновесия. Далее, для экономик различных типов указываются условия (свойства предпочтений и т.д.), которые гарантируют выполнение данных свойств избыточного спроса.

Существование общего равновесия в экономике обмена

Рассмотрим сначала экономику обмена. Для модели обмена функция избыточного спроса строится следующим образом. Пусть при ценах p функция спроса (или, в общем случае, отображение спроса) i-го потребителя есть xi(p, βi). Поскольку βi = pωi, то будем рассматривать спрос как функцию только цен, т.е. xi(p) (в прежних обозначениях xi(p, pωi)). Тогда значение функции избыточного спроса при этих ценах показывает превышение спроса каждого товара при ценах p над начальными запасами потребителя. Значение избыточного спроса экономики при данных ценах есть сумма значений избыточного спроса для всех потребителей.

Определение 5.

Функцией (отображением) избыточного спроса в модели обмена называется функция

(отображение)

E(p) = Û(xi(p) – ωi).

i I

Покажем, что равновесными цены могут быть тогда и только тогда, когда они удовлетворяют условию 0 E(p-).

Действительно, пусть 0 E(p-). Это означает, что существуют потребительские наборы x-i, такие что x-i xi(p-) i I, другими словами для всех i, набор x-i является решением задачи i-го потребителя при ценах p- и доходе p-ωi, и выполнено

Û(x-i – ωi) = 0.

i I

Значит, пара (p-, x-) по определению является равновесием.

С другой стороны, если (p-, x-) — равновесие, то x-i xi(p-) i I и

0= Û(x-i – ωi) E(p-).

i I

Рассмотрим другие свойства избыточного спроса.

Поскольку функции (отображения) спроса положительно однородны нулевой степени, т.е.

xi(αp, αβ) = xi(p, β) α> 0,

то, как несложно проверить, функции (отображения) избыточного спроса также положи-

тельно однородны нулевой степени:

E(αp) = E(p) α> 0,

Напомним, что в теории потребителя мы называли законом Вальраса соотношение pxi(p, β) = β для функции спроса. Аналогично для экономики в целом законом Вальраса называют равенство (являющееся следствием указанного соотношения)

pE(p) = 0,

которое выполняется на некотором множестве цен.

165

166

Пусть xi xi(p, pωi) i I, и, следовательно Û(xi – ωi) E(p). Тогда в соответствии с

i I

законом Вальраса

pÛ(xi – ωi) = 0.

i I

Закон Вальраса, вообще говоря, выполняется не в любой экономике и не при любых ценах. Однако, если предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, то можно гарантировать его выполнение при любых ценах, для которых определена величина избыточного спроса. Действительно, если предпочтения потребителя локально ненасыщаемы, то его спрос удовлетворяет закону Вальраса, т.е. он полностью израсходует свой доход:

xi xi(p, pωi) pxi = pωi p.

Складывая эти равенства по всем потребителям, получаем закон Вальраса для экономики в целом.

Перейдем теперь к вопросу существования равновесия. Сначала мы рассмотрим условия существования равновесия в экономике, в которой решение задачи каждого потребителя единственно при любых ценах, и, следовательно, E(p) является функцией.

Поскольку функции избыточного спроса положительно однородны нулевой степени, то если p- — равновесный вектор цен, то λp- — также равновесный вектор цен при любом λ> 0 и наоборот. Т.е. равновесный вектор цен определяется с точностью до нормировки цен. Ниже будут рассмотрены ситуации, в которых гарантируется существование равновесия с положительными ценами. Поэтому равновесный вектор цен будем искать в следующем множестве цен (симплексе цен):

Sl–1 = {p>0| Ûpk = 1}.

k K

При этом каждому вектору цен p из Êl+ (за исключением нулевого вектора) можно однозначно сопоставить вектор λp из Sl–1 при некотором λ> 0. Этот способ нормировки цен удобен тем, что множество Sl–1 компактно (что, как мы увидим ниже, позволяет непосредственно использовать теорему Брауэра).

Следующее утверждение указывает свойства функции избыточного спроса, которые гарантируют существование равновесия.

Теорема 1.

Предположим, что функция E(p) = 0 является непрерывной на множестве цен p Êl+, p≠0, положительно однородна нулевой степени и удовлетворяет закону Вальраса pE(p) = 0.

Тогда существует вектор цен p- Êl+, p- ≠0 такой, что E(p-) <0.

Доказательство:

Определим на множестве Sl–1 следующую систему функций:

Функция g( ) удовлетворяет всем условиям теоремы Брауэра: она отображает компактное множество Sl–1 в себя по построению и является непрерывной, так как построено путем

166

167

операций, сохраняющих непрерывность. Поэтому существует вектор цен p-, являющийся неподвижной точкой функции g( ):

Преобразуя это выражение, получим

-pk Ûmax{0, Es(p-)} = max{0, Ek(p-)} k K.

s K

Умножим каждое из этих равенств на Ek(p-) и сложим:

Û-pk Ek(p-) Ûmax{0, Es(p-)} = ÛEk(p-) max{0, Ek(p-)}.

k K s K k K

В соответствии с законом Вальраса первый сомножитель левой части данного соотношения равен нулю, поэтому

ÛEk(p-) max{0, Ek(p-)} = 0.

k K

Величина Ek(p-) max{0, Ek(p-)} равна либо 0, либо (Ek(p-))2. Поскольку каждое из слагаемых неотрицательно, то сумма может быть равна нулю, только если каждое слагаемое равно нулю. Отсюда следует, что Ek(p-) <0 k K.

Правило «пересчета» структуры цен, используемое в приведенном доказательстве,

g(p) → p,

имитирует возможную реакцию органа, ответственного за ценообразование, на неравновесия на рынках благ. В соответствии с ним цена дефицитного блага увеличивается на величину, пропорциональную дефициту. Коэффициент пропорциональности выбирается так, чтобы новый вектор цен был элементом множества Sl–1.

Рассмотрим теперь, какие условия на предпочтения гарантируют нам выполнение предположений вышеприведенного утверждения. Предположим, что Xi = Êl+. Тогда непрерывность предпочтений гарантирует существование решений задач потребителя, по крайней мере, на множестве строго положительных цен (p Êl++). Локальная ненасыщаемость предпочтений гарантирует выполнение закона Вальраса (pE(p) = 0). Строгая выпуклость предпочтений обеспечивает единственность решения задачи потребителя.

Непрерывность и строгая выпуклость предпочтений в случае экономики обмена гарантирует непрерывность функции совокупного спроса на множестве цен и позволяет говорить о том, что система функций {Ek(p)} для этой экономики является непрерывной на множестве цен p Êl++ при ωi > 0. Более того, если p- Êl++, то по закону Вальраса E(p) = 0.

Правда, указанными свойствами функции совокупного спроса и, следовательно, функции избыточного спроса обладают только на множестве положительных цен, тогда как в доказательстве утверждения требуется выполнение аналогичных свойств на множестве всех неотрицательных цен. Описанный ниже прием позволяет в ряде случаев обойти это затруднение.

167

168

Модифицируем задачу потребителя, введя дополнительно к бюджетному ограничению количественное ограничение (квоту на потребление) по каждому продукту следующего типа:

xik <ωΣk + ε, i I, k K.

где ωΣk — совокупные запасы благ в экономике, ε — произвольная положительная константа.

Модифицированное таким образом бюджетное множество каждого потребителя оказывается компактным при любом векторе цен p Êl+, и поэтому в случае непрерывных предпочтений всегда существует наиболее предпочитаемый потребительский набор. В случае, когда предпочтения строго выпуклы, этот набор единственный, и таким образом, оказываются определенными модифицированные функции спроса x*i(p) и, следовательно, модифицированная функция избыточного спроса E*( ). В случае, когда функция E*( ) оказывается непрерывной, Теорема 1 гарантирует существование вектора цен p-, при котором выполняется соотношение

E*(p-) <0.

Выполнение соотношения E*(p-) = E(p-), p- Êl++, гарантирует тогда существование равновесия в исходной модели.

Непрерывность функции E*( ) на p Êl+ можно гарантировать, например, в случае, когда предпочтения потребителей непрерывны и строго выпуклы, а начальные запасы потребителей строго положительны (ωi > 0). Показать это можно способом, аналогичным доказательству непрерывности функции спроса на множестве цен p Êl++ (см. главу, посвященную поведению потребителя).

Покажем теперь, что при E*(p-) <0 определен избыточный спрос исходной задачи E(p-), и выполнено E*(p-) = E(p-).

Пусть E*(p-) <0. Тогда (p-, x*(p-)) — равновесие в модифицированной модели. Поскольку

xik* (p-) <ωΣk – Ûxis* (p-) <ωΣk < ωΣk + ε,

s≠k

то дополнительно введенные нами ограничения несущественны, т.е. (p-, x*(p-)) и E*(p-) = E(p-). (Аналогичным образом можно показать, что если E(p-) <0, то E*(p-) = E(p-)).

Покажем теперь, что если существует потребитель, предпочтения которого монотонны, то p Êl++, т.е. цена любого блага окажется положительной. Действительно, предположение о том, что существует благо k, цена которого равна нулю, противоречит тому факту, что x*i(p-) является выбором потребителя при ценах p-.

На основе этих рассуждений получаем следующую теорему существования равновесия в модели обмена.

Теорема 2.

Рассмотрим экономику обмена. Предположим, что Xi = Êl+ i, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы, а начальные запасы всех потребителей положительны (ωi > 0 i). Предположим также, что существует потребитель, предпочтения которого монотонны. Тогда существует равновесие такое, что p Êl++

.

168

169

Заметим, что мы, вообще говоря, не можем использовать прием, состоящий во введении количественных ограничений, в ситуации, когда начальные запасы хотя бы одного из потребителей не содержат хотя бы одного блага. Как показывает приведенный ниже пример, в этом случае функция избыточного спроса может не быть непрерывной на границе множества цен.

Пример 1. (Контрпример к теореме в случае нулевых начальных запасов одного из благ).

Пусть в экономике обмена есть только два блага (l = 2), функции полезности потребителяi имеют вид

ui(xi1, xi2) = xi1 + xi2,

а начальные запасы равны ωi = (0; 1). Очевидно, что предпочтения рассматриваемых потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы.

Задача потребителя состоит в том, чтобы максимизировать ui(xi1, xi2) при следующих ограничениях:

p1xi1 + p2xi2 <p2,

xi1 >0, xi2 >0.

При p1, p2 ≠0 спрос потребителя на второе благо равен

Таким образом, xi2(p1, p2) →1, когда p2 →0. Но если p2 = 0, то полезность можно сделать неограниченно большой, увеличивая xi2 (спрос на второе благо бесконечен). Таким образом, спрос на 2-е благо не является непрерывным при p2 = 0.

Покажем, что в этой экономике равновесие не существует. При p1, p2 ≠0 спрос потребителя на первое благо равен

т.е. положителен. Значит, при положительных ценах равновесия быть не может, так как в экономике первое благо отсутствует. Если же цена на одно из благ равна нулю, то соответствующий спрос бесконечен, и равновесия при этих ценах тоже нет.

Заметим, что модифицированная функция избыточного спроса не является непрерывной. При p1, p2 ≠0 спрос потребителя такой же, как в исходной модели, и xi2(p1, p2) →1 при p2 →0. Но при p2 = 0, спрос на второе благо равен 1 + ε. Таким образом, спрос на 2-е благо не является непрерывным при p2 = 0, и приведенное доказательство существования «не работает».

Если в приведенном примере дать хотя бы одному из потребителей ненулевой запас первого блага, то, хотя избыточный спрос по прежнему не будет непрерывным, но равновесие существует. (Доказательство этого оставляем читателю в качестве упражнения). Таким образом, вышеприведенные условия на избыточный спрос являются довольно ограничительными.

Ниже приводится другой вариант теоремы существования с более слабыми условиями на избыточный спрос. Доказательство этого утверждения состоит в указании правила процесса ценообразования (отличного от описанного выше), имитирующего поведение ценообразующего органа, которое порождает отображение множества цен Sl–1 в себя, удовле-

169

170

творяющее теореме Какутани (о существовании неподвижной точки выпуклозначного замкнутого отображения компактного множества в себя).

Теорема 3.

Предположим, что функция E(p) удовлетворяет следующим условиям:

• E(p) непрерывна на Sl+–1 = {p> 0| Ûpk = 1}.

k K

•E(p) положительно однородна нулевой степени на Sl+–1.

•Выполнено тождество pE(p) = 0 p Sl+–1 (закон Вальраса).

•Функции избыточного спроса ограничены снизу, т.е. существует число t, такое что

Ek(p) > t k, p Sl–1.

• Если хотя бы одна из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно благо стремится к бесконечности, т.е. если {pn} Sl–1 и pn →p0 при n →∞, причем сущест-

вует благо k′, такое что p0k′ = 0, то

maxk (Ek(pn)) →∞ при n →∞.

Тогда существует вектор p- Êl++, такой что E(p-) = 0.

Доказательство:

Доказательство условно разобьем на три этапа:

1.Построение отображения единичного симплекса Sl–1 в себя.

2.Проверка замкнутости графика и выпуклозначности построенного отображения и применение к нему теоремы о неподвижной точке.

3.Демонстрация того, что найденная неподвижная точка является вектором равновесных цен, рассматриваемой экономики.

Этап 1. Каждой цене p Sl+–1 сопоставим множество g(p) = {q Sl–1 | qE(p) > q′E(p) q′ Sl–1},

и тем самым построим отображение g( ) из Sl+–1 в Sl–1. Другими словами, значение отображения g(p) (p Sl+–1) — множество всех векторов цен, максимизирующих стоимость избыточного спроса, вычисленного при старых ценах p. Можно заметить, что любому неравновесному вектору цен p Sl+–1 (т.е. в данном случае вектору p такому, что E(p) ≠0) данное отображение ставить в соответствие подмножество (грань меньшей размерности) симплекса цен, а любому равновесному вектору — весь симплекс цен.

На границе симплекса цен Sl–1\Sl+–1 определим g(p) по правилу: g(p) = {q Sl–1 | qp= 0} = {q Sl–1 | qk = 0, если pk > 0}.

Отметим, что множество g(p) непусто при любом p Sl–1.

Этап 2. Выпуклозначность построенного отображения очевидна в силу того, что условия, определяющие множества g(p), линейны. Таким образом, для доказательства существования неподвижной точки остается показать, что отображение g( ) имеет замкнутый график.

170