Бусыгин

21

10. Несложно понять, что для любых высказываний A и B имеет место эквивалентность (!A !B) (B A). Используя этот факт, докажите, что отношение является отрицательно транзитивным тогда и только тогда, когда x, y, z X x y (x z) или

(z y).

11. Не прибегая к исчислению высказываний (т.е. рассуждениям вида (!A !B) (BA)), докажите, что для любого бинарного отношения R свойство

x, y, z X: xRy (xRz или zRy)

эквивалентно свойству отрицательной транзитивности.

Неоклассические отношения предпочтения

Отношение предпочтения является примером бинарного отношения заданного на множестве допустимых альтернатив X. В экономической теории предпочтение потребителя — единственная его характеристика, которая принимается во внимание при объяснении его поведения. Поэтому в дальнейшем в теории потребления мы отождествляем потребителя с его предпочтениями12.

Будем строить теорию потребительского поведения на основе строгого отношения предпочтения } — бинарного отношения, заданного на множестве допустимых альтернатив. Тот факт, что в случае двух альтернатив x и y из X для некоторого потребителя альтернатива x лучше, чем альтернатива y будет обозначаться как x } y. Традиционным для экономической теории является предположение о том, что строгое отношение предпочтения, на основе которого потребители упорядочивают альтернативы, асимметрично и отрицательно транзитивно. Эти предположения о свойствах отношения } тесно связаны с по-

нятиями рациональности потребителя, непротиворечивости вкусов, их внутренней со-

стоятельности. В данном контексте свойство асимметричности предпочтения позволяет говорить о непротиворечивости вкусов потребителя. Свойство отрицательной транзитивности, в свою очередь, означает, что если некоторые две альтернативы сравнимы по отношению } , то любая третья альтернатива сравнима, по крайней мере, с одной из них по этому отношению. Как мы увидим далее, это свойство тоже тесно связано с непротиворечивостью выбора и полнотой предпочтений. Пока же на основе строгого отношения определим нестрогое отношение предпочтения и отношение эквивалентности.

Нестрогое отношение предпочтения } заданное на X определяется следующим образом:

x, y X x } y ! (y } x).

Выражение x } y, с учетом интерпретации отношения } как отношения «лучше» на множестве допустимых альтернатив, может быть проинтерпретировано как отношение «не хуже».

Отношение эквивалентности (безразличия) ~ заданное на X определяется следующим обра-

зом:

x, y X x ~ y ! (x } y) и ! (y } x).

Естественно его интерпретировать, как следует из названия, как эквивалентность двух альтернатив, или, другими словами, безразличие потребителя между выборами любой из двух альтернатив при условии, что x ~ y.

12 Судя по всему, строгое аксиоматическое описание концепции отношения предпочтения впервые появи-

лось в работе Frish, R., Sur un probleme d`economie pure, Norsk Matematisk Forenings Skrifter, Serie 1, 16, 1926.

21

22

Множеством безразличия I(x), соответствующим точке x X, называется множество точек эквивалентных x: I(x) = {y X | y ~ x}. Надеемся, что читатель узнал в этом математическом объекте кривую безразличия, известную ему из вводного курса микроэкономики.

Рассмотрим теперь, каким свойствам удовлетворяют введенные выше бинарные отношения.

Теорема 2.

Пусть } – строгое (асимметричное и отрицательно транзитивное) отношение предпочтения заданное на X, тогда

(1)} – транзитивно и иррефлексивно.

(2)} – полно, рефлексивно и транзитивно.

(3)~ – рефлексивно, симметрично и транзитивно.

(4)Для любых x, y X выполняется ровно одно из следующих соотношений:

x} y или y } x или x ~ y.

(5)Для любых x, y, z X

(x } y, y ~ z) x } z и (x ~ y, y } z) x } z.

(6) Для любых x, y, z X

(x } y, y ~ z) x } z и (x ~ y, y } z) x } z.

(7) Для любых x, y, z X

(x } y, y } z) x } z и (x } y, y } z) x } z.

(8) Любые два множества безразличия либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Доказательство:

Докажем свойства (1), (3) и (5). Остальные свойства доказываются подобно и оставляются читателю в качестве упражнения.

(1) Покажем транзитивность } . Предположим противное. Пусть существуют x, y X такие, что x } y, y } z, но при этом !(x } z). Из асимметричности отношения } из y } z следует !(z } y). Из !(x } z) и !(z } y) по свойству отрицательной транзитивности следует, что !(x} y). Противоречие.

Иррефлексивность следует из асимметричности.

(3A) Покажем, что отношение ~ симметрично. Это следует непосредственно из определения ~: x, y X

x ~ y ! (x } y) и ! (y } x) ! (y } x) и ! (x } y) y ~ x.

(3B) Покажем, что отношение ~ рефлексивно. Пусть это не так, то есть существует x X, такой, что ! (x~x). Из определения ~ имеем ! (x~x) (x } x) или (x } x) (x } x). Но это противоречит иррефлексивности отношения } .

(3C) Покажем, что отношение ~ транзитивно. Рассмотрим такие x, y, z X, что x ~ y и y ~ z. По определения ~ имеем:

x ~ y ! (x } y) и ! (y } x), y ~ z ! (y } z) и ! (z } y).

22

23

По свойству отрицательной транзитивности из ! (x } y) и ! (y } z) следует, что ! (x } z), а из ! (z } y) и ! (y } x) следует ! (z } x). Итак, мы имеем, что ! (x } z) и ! (z } x), что и означает, что x ~ z .

(5) Так как техника доказательства свойств (x } y, y ~ z) x } z и (x ~ y, y } z) x } z одинакова, докажем только первое. Итак, пусть x } y, y ~ z. По определению отношения ~ из этого следует: x } y и ! (y } z) и ! (z } y). Предположим противное, т.е. что

!(x } z). Тогда из ! (x } z) и ! (z } y) по свойству отрицательной транзитивности имеем:

!(x } y). Пришли к противоречию.

Из приведенной Теоремы видно, что система предпочтений {}, }, ~} удовлетворяет всем свойствам, которым, исходя из экономической и житейской интуиции, должны удовлетворять предпочтения потребителя. В связи с особым местом, занимаемым этой системой отношений в микроэкономической теории, введем следующее определение.

Определение 3.

Систему предпочтений {} , }, ~} заданную на X назовем неоклассической если:

(1)отношение } – асимметрично и отрицательно транзитивно;

(2)отношение } – полно и транзитивно;

(3)отношение ~ – рефлексивно, симметрично, транзитивно

(4)x, y X x } y ! (y } x)

(5)x, y X x ~ y ! (x } y) и ! (y } x).

Существует две традиции построения теории поведения потребителя, различающиеся способом построения предпочтений индивидуума. Первая, которой мы и придерживаемся, берет за первичное – строгое отношение предпочтения (асимметричное и отрицательно транзитивное). Вторая же традиция исходит из нестрогого отношения предпочтения, которое по исходным предположениям удовлетворяет свойствам полноты и транзитивности. Обе эти традиции приводят к одной и той же неоклассической системе предпочтений, если строгое и нестрогое отношения предпочтения строятся на основе друг друга вышеуказанным способом (x } y ! (y } x)). Это непосредственно следует из следующей теоремы:

Теорема 3.

(1)Пусть даны два отношения } и } заданные на X, связанные соотношением: x } y ! (y } x). Определим отношения }} , } }, ~} и ~} как,

x }} y ! (y } x),

(x } } y) ! (y } x),

x ~} y ! (x } y) и ! (y } x)

x ~} y ! (x } }y) и ! (y } }x).

Тогда, }} = }, } } = } и ~} = ~}.

(2)Строгое отношение предпочтения } является асимметричным тогда и только тогда, когда нестрогое отношение предпочтения } полно.

(3)Отрицательная транзитивность строгого отношения предпочтения эквивалентна транзитивности нестрогого отношения предпочтения.

23

24

Доказательство:

(1) В принципе данное утверждение тривиально. x }} y ! (y } x) x } y. Получили }} = }.

(x } } y) ! (y } x) (x } y). Получили } } = }.

x ~} y ! (x } }y) и ! (y } }x) ! (y } x) и ! (x } y) x ~} y. Получили ~} = ~}.

(2 ) Асимметричность строгого отношения предпочтения означает, что для любой пары x, y X из x } y следует, что y } x неверно. Значит, для любой пары x, y X либо x } y неверно, либо y } x неверно. Отсюда, пользуясь определением строгого отношения предпочтения, либо x { y, либо y { x. А это и есть полнота нестрогого отношение предпочтения.

(2 ) Пусть теперь нестрогое отношение предпочтения полно, т.е. для любой пары x, y X либо x { y, либо y { x. По определению строгого отношения это то же самое, что, либо x}y неверно, либо y } x неверно. Значит, из x}y следует, что y } x неверно. А это и означает асимметричность строгого отношения предпочтения.

(3) Очевидно, что отрицательная транзитивность строгого отношения предпочтения

! (x } z) и ! (z } y) ! (x } y)

эквивалентна транзитивности нестрогого отношения предпочтения:

(z } x) и (y }z) (y } x).

Замечание. Поясним содержание данной теоремы. Смысл пункта (1) состоит в том, что система предпочтений, полученная на основе строгого отношения предпочтения, совпадает с системой предпочтений полученных на основе нестрогого отношения предпочтения, в случае если x } y ! (y } x). Общий смысл Теоремы состоит в том, что как выполнение свойств асимметричности и отрицательной транзитивности отношения } , так и выполнение свойств полноты и транзитивности отношения } приводит к одной и той же системе неоклассических предпочтений.

С первого взгляда все сделанные выше предположения и выводы из них кажутся естественными и соответствующими интуиции. Однако в действительности есть ряд примеров заставляющих относиться к ним достаточно осторожно. Укажем лишь некоторые из них:

•Проблемы с определением эквивалентности

Отметим, что отношение безразличия достаточно неоднородный объект. Фактически, наше отношение безразличия говорит об эквивалентности двух альтернатив, если:

•потребитель считает, что эти две альтернативы для него на самом деле эквивалентны. (Ну не гурман я, мне все равно, что съесть, что судак по-гасконски, что лапша покитайски, все едино.)

•потребитель ничего не знает ни об одной из предложенных альтернатив, и, тем самым, не может их сравнивать. (А что вы предпочитаете: дурианы или рамбутаны?)

•предлагаемые альтернативы в принципе не сравнимы с точки зрения потребителя. В ситуации, когда он сталкивается с выбором из этих двух альтернатив, он предпочитает уклониться от выбора. (А ты кого больше любишь: папу или маму?)

24

25

В связи с этим возникает ряд вопросов, а что мы подразумеваем в действительности, когда говорим о безразличии между несколькими альтернативами? Должны ли мы при моделировании различать эквивалентность в зависимости от причин ее породивших? Ответы на эти вопросы однозначно не определены и далеко выходят за пределы данного курса. В данном пособии в дальнейшем мы будем придерживаться введенного выше определения. Также отметим, что содержательная сложность понятия эквивалентности также наследуется отношением }, в силу того, что } = } [ ~.

•Проблемы с транзитивностью

Рассмотрим следующий пример. Если мы попросим индивидуума сравнить стакан чая, куда положили один кристалл сахара, и стакан чая с двумя кристаллами, то практически всегда получим ответ о безразличии в выборе. Такой же ответ получим при сравнении стаканов с двумя и тремя кристаллами. Продолжим наш опрос достаточно долго, и, если будем настаивать на транзитивности, то придем к выводу: Для индивидуума совершенно безразлично, что пить, что стакан с одним кристаллом, что стакан с пятью ложками сахара. Очевидно, получили абсурдный вывод, причина которого кроется в принципиальной невозможности объективного сравнения малых величин блага. Этот пример заставляет задуматься о необходимости и месте предположения отрицательной транзитивности строгого отношения предпочтения, или что эквивалентно, транзитивности нестрогого отношения предпочтения.

Помимо указанных проблем существует также ряд моментов, которые необходимо учитывать при анализе предпочтений и/или выбора экономического агента, их пропуск или игнорирование также может привести к нарушению приведенных нами предположений.

•Зависимость предпочтений от контекста

Довольно часто отсутствие транзитивности в реальности вызвана тем, что исследователь не учитывает в своих рассмотрениях контекст ситуации. Под контекстом понимаются все внешние, явным образом не входящие в допустимое множество альтернатив, обстоятельства. Укажем несколько примеров, в которых небанальным образом сказывается влияние контекста на предпочтения индивидуума: цена в случае демонстративного потребления,13 количество экономических агентов потребляющих данное благо (рынок мобильных телефонов) и т.д. Все указанные факторы явным образом должны быть учтены при рассмотрении соответствующих ситуаций. Если же рассматривать предпочтения, игнорируя важные дополнительные переменные, то, естественно, возможно пронаблюдать нарушение, как свойства отрицательной транзитивности, так и свойства асимметричности предпочтений на альтернативах с разными значениями переменных входящих в контекст ситуации.

•Зависимость от постановки вопроса (framing)

Зависимость предпочтений от контекста, идеологически тесно связана с феноменом известным, как зависимость предпочтений/выбора от постановки вопроса. Рассмотрим классический эксперимент, проведенный Дениэлом Кахнеманом и Амошом Тверским14. Группе интервьюируемых было предложено ответить на следующий вопрос:

13Вспомним бородатый анекдот:

– Ты почем галстук брал?

– Да не дорого, 2500 баксов отслюнил.

– Ну, ты и лох, за соседним углом, его же за 5000 зеленых толкают.

В этом случае полезность/желательность галстука напрямую зависит от его цены.

14Kahneman, D., Tversky, A., Choices, Values, and Frames, American Psychologist, 1984, 39(4).

25

26

Предположим, что в некоторой стране ожидается вспышка гепатита. Ожидается, что в результате данного заболевания погибнет 600 человек. Для борьбы с этим заболеванием предлагаются две альтернативные программы, со следующими результатами реализации:

Программа A: в случае реализации программы будет сохранена жизнь 200 человек.

Программа B: в случае реализации программы с вероятностью 1/3 будет сохранена жизнь 600 человек, с вероятностью 2/3 в результате реализации программы не будет спасена ни одна жизнь.

Какую из двух программ вы выберете?

Большинство интервьюируемых (72%) в данной ситуации предпочло первую альтернативу второй. Далее был проведен опрос о той же ситуации, но с другими вариантами ответов:

Программа C: в случае реализации погибнут 400 человек.

Программа D: в случае реализации с вероятностью 1/3 никто не погибнет, с вероятностью 2/3 программа не будет иметь успеха и погибнут 600 человек.

В результате этого опроса 78% интервьюируемых выбрало альтернативу D. Легко проверить, что программы A и C, и, B и D, попарно эквивалентны и отличаются только формой выражения. Варианты A и B сформулированы в позитивном духе (количество спасенных жизней), в то же время варианты C и D сформулированы в негативном ключе (число умерших). Одно из возможных объяснений расхождения в результатах, казалось бы, одинаковых опросов состоит в неэквивалентности оценок выгод и потерь относительно status quo.15 Очевидно, что наличие данного феномена также может нарушать наши предположения. (Кстати, возможность нарушения какого свойства демонстрирует данный пример?)

•Изменение предпочтений во времени

При рассмотрении предпочтений важно помнить, что, вообще говоря, предпочтения изменяются во времени. Если вы сегодня предпочитаете яблоки грушам, то далеко не факт, что ваши предпочтения останутся неизменным на протяжении всей вашей жизни. Естественно, этот факт также демонстрирует нарушение наших аксиом при рассмотрении реального выбора/предпочтений.

Этот список далеко не исчерпывающ, его можно продолжать и продолжать. Так, например, в литературе много внимания при обсуждении предпочтений и выбора уделяются вопросам инверсии предпочтений, несостоятельности предпочтений во времени и др. Но мы более не занимаемся обсуждением этого вопроса и отсылаем заинтересованного читателя к соответствующей литературе.

Задачи

12.Сколько вопросов надо задать индивидууму, чтобы выявить его предпочтения над потребительскими наборами, состоящими из 5 благ, каждое из которых принимает в качестве значений 0 и 1?

13. Пусть X = Ên+, а R задано следующим образом:

15 Несмотря на то, что данный пример затрагивает вопросы выбора в условиях неопределенности, предмет рассмотрения другой главы, он ясно указывает на важную черту присущую реальным ситуациям выбора и поэтому приведен в данной главе.

26

27

xRy xi >yi i.

Охарактеризуйте следующие бинарные отношения, построенные на его основе:

xR*y !(yRx) и (xRy),

xR** y !(xRy) и !(yRx).

Рассмотрите отношение R***, заданное по правилу xR* y !(yRx). Как оно связано с отношением R*? Что можно сказать об отношении, задаваемом по правилу xR′y

(xRy) и (yRx).

14. Пусть отношение R рефлексивно и транзитивно. Рассмотрим задаваемые на основании него отношения R* и R**, определяемые следующим образом:

xR* y !(yRx),

xR** y (xRy) и (yRx).

Покажите, что R* иррефлексивно, отрицательно транзитивно, а R** рефлексивно, транзитивно и симметрично.

15.Пусть некто предложил в качестве аксиом строгого отношения предпочтения постулировать асимметричность и транзитивность. Какие проблемы на этом пути Вы видите?

16.Пусть } — нестрогое отношение предпочтения (полное и транзитивное бинарное отношение), заданное на X, а } (x}y (x}y) и !(y}x) ) и ~ (x~ y (x}y) и (y }x))

— строгое отношение предпочтения и отношение эквивалентности, построенные на его

основе. Каким свойствам будут удовлетворять отношения } и ~?

17.(Продолжение) Покажите, что для любых x, y X выполняется ровно одно из трех соотношений: x}y, y}x, x~ y.

18.(Продолжение) Докажите, что для любых x, y, z X таких, что x}y и y~ z, выполнено x}z. Какие еще свойства, аналогичные этому, выполнены для данной системы предпочтений?

19.(Продолжение) Докажите что при полноте отношения } определение строгого отношения предпочтения эквивалентно x}y !(y}x).

20.Докажите недоказанные в основном тексте пункты Теоремы 2.

21.Пусть } — нестрогое отношение предпочтения (полное и транзитивное бинарное отношение) заданное на X, а ~ (x~ y (x }y) и (y }x)) — отношение эквивалентности. Рассмотрим семейство множеств (кривых) безразличия, построенных на основании ~. Как

на основании порядка, задаваемого отношением }, корректно и непротиворечиво ввести порядок на этом семействе? Какими свойствами он обладает?

27

28

Представление предпочтений функцией полезности

В этом и в следующем параграфах мы рассмотрим условия, при выполнении которых

можно получить числовой индикатор полезности (функцию полезности16) с некоторыми на-

перед заданными свойствами. Функция полезности является удобным инструментом анализа (особенно в приложениях теории) как выбора потребителя, так и вопросов сравнительной статики (Как изменяется потребительский выбор при изменении параметров модели?). Под функцией полезности некоторого потребителя традиционно понимается некоторая вещественнозначная функция ранжирующая (упорядочивающая) альтернативы из множества допустимых альтернатив X тем же образом что и предпочтения.17

Определение 4.

Будем называть u(.): X→Ê функцией полезности потребителя, соответствующей системе неоклассических предпочтения {}, }, ~}, если для всякой пары альтернатив x, y X x}y верно тогда и только тогда, когда u(x) > u(y), т.е. x}y u(x) >u(y).

В связи с этим определением естественно возникает вопрос: Какие свойства предпочтений (и множества альтернатив, на которых заданы предпочтения) гарантируют существование функции полезности? Заметим, что в случае если некоторая система предпочтений представима функцией полезности u(x), то функция f(u(x)), где f(.) – некоторая строго возрастающая функция, также является функцией полезности представляющей данную систему предпочтения (Проверьте это!). В свете этого факта, понятно, что при наличии хотя бы одной функции представляющей предпочтения потребителя мы автоматически имеем бесконечное множество функций полезности эквивалентным образом упорядочивающих потребительские наборы и, соответственно, эквивалентных с точки зрения описания потребительских предпочтений.

Перейдем теперь к рассмотрению условий гарантирующих существование функции полезности представляющей систему неоклассических предпочтений. В начале приведем

утверждение, которое дает нам необходимое условие существования функции полезности.

16Понятие полезности (пользы) появилось впервые в работах английского философа Иеремии Бентама (1748-1832): «… стремиться к удовольствию и избегать страдания составляет его (человека) единственную задачу… Польза есть понятие отвлеченное. Оно выражает свойство или способность какого-нибудь предмета предохранить от какого-нибудь зла или доставить какое-нибудь благо.» (Цитируется по Юм Д. Опыты. Бентам И. Принципы законодательства. – О влиянии условий, времени и места на законодательство. – Руководство по политической экономии. Вып. 5.-М.1896)

17Понятие функции полезности эволюционировало вместе с экономической теорией. Так Герман Генрих Гёссен (Entwicklung der Gesetze des menschlichen Verkehrs, und der daraus fliessenden Regeln fur menschliches Handeln, Berlin, Prager, 1854), впервые систематическим образом рассмотревший понятие функции полезности, предполагал, что она представляет собой сумму полиномов второй степени, причем все перекрестные произведения отсутствуют. Дальнейшее обобщение понятия полезности принадлежит Уильяму Стенли Джевонсу (The Theory of Political Economy, London and New York, McMillan and Co., 1871) предложившего в качестве функции полезности сумму произвольных вогнутых функций одного аргумента. Франсис Исидро Эджворт (Mathematical Psychics, London, Kegan Paul, 1881) пошел дальше всех предыдущих авторов и в качестве функции полезности рассмотрел произвольную функцию многих переменных, без ограничения на смешанные производные. Следует отметить, что все эти авторы мыслили о функции полезности в рамках кардиналистского подхода. В дальнейшем развитие концепции полезности происходит в рамках ординалистского подхода, начала которого заложены в работах Вильфредо Парето (Manuel d`economie politique, Paris, 1909). Подробнее об истории развития понятия полезности и теории потребителя смотри Houthakker, H.S., The Present State of Consumer Theory, Econometrica, V. 29(4), 1961 и Stigler, G.J., The Development of Utility Theory, Journal of Political Economy, V. 59, 1950.

28

29

Теорема 4.

Если существует функция полезности представляющая некоторую систему предпочтений {}, }, ~} заданную на X, то эта система является неоклассической, т.е. отношение }

– полно и транзитивно, } – асимметрично и отрицательно транзитивно, ~ – рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Доказательство:

Покажем, например, что отношение } – полно и транзитивно. Доказательство остальных свойств оставляется читателю в качестве упражнения.

(1) Докажем свойство полноты. Для любой пары альтернатив x, y X выполняется, по крайней мере, одно из неравенств u(x) > u(y) и/или u(y) > u(x). Поэтому по определению функции, либо x } y, либо y } x.

(2) Докажем свойство транзитивности. Пусть для x, y, z X выполняются соотношения x } y и y } z. По определению функции полезности это означает, что u(x) > u(y) > u(z). Из u(x)> u(z) следует, что x } z.

*

Отметим, что когда множества альтернатив не более чем счетное, условия полноты и транзитивности являются также и достаточными для существования функции полезности. Множество альтернатив будет счетным, например, когда все блага потребляются только в целых количествах.

Теорема 5.

Пусть множество альтернатив X не более чем счетно. Для любой неоклассической системы предпочтений существует представляющая ее функция полезности.

Доказательство:

Пусть множество альтернатив X – не более чем счетно. Тогда его можно представить в виде последовательности альтернатив xi, i=1, 2, ... . Доказательство утверждения строится в виде алгоритма.

Пусть мы уже присвоили величину полезности первым N альтернативам из данной последовательности. Требуется присвоить величину полезности альтернативе xN+1. Рассмотрим два подмножества множества AN = {x1,..., xN}:

AN+ = {x AN | x } xN+1} и AN– = {x AN | xN+1 } x}.

Обозначим x- такой элемент множества AN+ , что x } x- x AN+ . В случае неединственности такого элемента берем любой из них. Так же точно обозначим x~ такой элемент множества AN– , что x~ } x x AN– . Существование x- (при непустом множестве AN+ ) и x~ (при непус-

том множестве AN– ) следует из полноты и транзитивности отношения }. Доказательство этого оставляется в качестве упражнения.

Возможны 4 случая:

•AN+ = . Тогда можно взять u(xN+1) = u(x~) + 1.

•AN– = . Тогда можно взять u(xN+1) = u(x-) – 1.

•AN+ ≠ , AN– ≠ , AN+ ] AN– = .

Тогда можно взять u(xN+1) = (u(x-) + u(x~))/2.

29

30

•AN+ ≠ , AN– ≠ , AN+ ] AN– ≠ . В этом случае берем u(xN+1) = u(x), где x — произвольный элемент множества AN+ ] AN– (по построению все элементы множества AN+ ] AN– имеют одну и ту же полезность).

Чтобы закончить алгоритм, положим A1 = {x1} и u(x1) = 0. Заметим, что при таком построении функции полезности свойство

x }y u(x)> u(y)

выполнено x, y AN при любом N. Поэтому построенная таким образом функция u(.) действительно является функцией полезности.

*

Если же множество альтернатив не является счетным, то утверждение в общем случае неверно. Это показывает, например, предпочтения на основе лексикографического упоря-

дочения потребительских наборов из Ê2 .

+

Пример 3.

Лексикографическое упорядочение называется так, поскольку оно ранжирует наборы по-

добно правилу расположения слов в словаре. Итак, на множестве X = Ê2 зададим бинар-

+

ное отношение }L , определяемое по правилу

Отметим, что таким образом заданное упорядочение удовлетворяет свойствам асимметричности и отрицательной транзитивности. Однако оно не представляется никаким численным индикатором полезности. Докажем последнее.

Предположим противное. Пусть существует некоторая функция полезности (принимающая действительные значения) такая, что

x }L y uL(x1, x2) > uL(y1, y2).

Сопоставим каждому действительному числу x1 некоторое рациональное число r(x1) такое, что uL(x1, 2) > r(x1) > uL(x1,1). Заметим, что если x1> x1′, то по определению лексикографического упорядочения имеем uL(x1,1) > uL(x1′, 2). Кроме того, uL(x1, 2) > r(x1) >

uL(x1,1) и uL(x1′, 2) > r(x1′) > uL(x1′,1).

В силу этих соотношений имеем

r(x1) > uL(x1,1) > uL(x1′, 2) > r(x1′)

и, тем самым, из того, что x1> x1′ имеем, что r(x1) > r(x1′). В силу этого r(.) является взаимнооднозначной функцией. Область определения этой функции — вещественные числа, а область значения — некоторое подмножество множества рациональных чисел. Подобное невозможно, так как невозможно построить взаимнооднозначное соответствие между счетным и несчетным множествами. Таким образом, мы пришли к противоречию, и, тем самым доказали, что не существует функции полезности, соответствующей лексикографическому упорядочению.

Отметим, что, однако, существует ряд случаев, для которых можно гарантировать существование функции полезности даже в случае несчетного множества альтернатив. Так, на-

30