Глава 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.

§1. Основные понятия

Аксиоматическое определение вероятности (А. Н. Колмогоров).

Вероятностью случайного события А называется числовая функция, заданная на множестве Ã (где Ã- алгебра случайных событий

_{удовлетворяющая следующим аксиомам:}

1. Аксиома неотрицательности: Р(А)0.

2. Аксиома нормировки: Р()=1.

3. Аксиома аддитивности: Р(А+В)=Р(А)+Р(В), если события А и В несовместны, т.е. А*В=ᴓ.

4. Дополнительная аксиома для бесконечной последовательности наблюдаемых событий: Р()=, где события А₁,…,А_n- попарно несовместны, т.е. А_i A_j=ᴓ (i

Тройку (, Ã, р) называют вероятностным пространством.

Основные теоремы

1)Р(=1-Р(А); 2) Р(ᴓ)=0; 3)если А В, то р(А)≤р(В)0≤ р(А)≤1;

4)если события А₁, А₂, …, А_n –попарно несовместны, т.е. А_i *A _j=ᴓ (i;

то Р(А₁+А₂+…+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n);

5)Теорема сложения для совместных событий:

а) Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ);

b)Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)

Условная вероятность.

Р(А/В)=Р(В);

А не зависит от В. если Р(А/В)=Р(А).

Замечание:

Если А не зависит от В , то В ре зависит от А, А не зависит от, не зависит от В,не зависит от.

6)Теорема умножения

а)Р(АВ)=Р(А) Р(В/А);

b) Р(А₁ А₂… А_n)=P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂)…P(A_n/A₁A₂…A_n-1)

Если А и В независимы, то :

в)Р(АВ)=Р(А)Р(В);

с)если А₁, А₂,…,A_n независимы в совокупности, то :

Р(А₁ А₂ …А_n)=P(A₁) P(A₂) …P(A_n).

Внимание!!!

Нельзя смешивать понятия независимых и несовместных событий.

Если А и В несовместны, то А В=ᴓ Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Если А и В независимы, то Р(АВ)=Р(А) Р(В).

Можно показать, что, если Р(А) , то:

*) Если А и В независимые события, то они обязательно совместные, т.к. Р(АВ).

**)Если А и В несовместные события, то они будут зависимыми,

т.к. если АВ=ᴓ, то Р(А/В)===0 Р(А/В)Р(А).

7)Теорема о сумме совместных, но независимых в совокупности событий.

Р(А₁+А₂+…+А_n)=1-p( P() …P(

§2 Решение типовых задач.

Задача 1

Из колоды в 52 карты извлекают одну карту.

Найти вероятность события: А={туз или карта бубновой масти}

Решение:

Обозначим: A₁={туз}; A₂={карта бубновой масти} A₁ A₂={бубновый туз}.

Найти: Р(А₁+А₂)=?

Р(А₁+А₂)=Р(А₁)+Р(А₂)-Р(А₁ А₂); Р(А₁)=4/52; Р(А₂)=13/52; Р(А₁ А₂)=1/52.

Р(А₁+А₂)=4/52+13/52-1/52=16/52.

Задача 2

В каждой серии лотерейных билетов имеется по 100 билетов. Крупные выигрыши по условиям лотереи падают лишь на один номер облигации выигравшей серии.

Найти вероятность того, что первый крупный выигрыш в лотерее выпадет на облигацию с номером кратным 4, 5 или 9.

Решение:

А={появление номера кратного 4 };

В={появление номера кратного 5 };

C={ появление номера кратного 9}

Найти: Р(А+В+С)=?

Среди чисел от 1 до 100 кратных 4: 100:4=25,n(A)=25; n=100P(A)=0,25

Чисел, кратных 5: n (B) = 100 / 5 = 20

Р (В) = 20 / 100 = 0, 2

Чисел, кратных 9: n(C) = 11 (11×9 = 99)

P(C) = 11 / 100 = 0, 11

P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) – P (AB) – P (AC) – P (BC) + P (ABC)

A×B = {Числа, кратные 20} n (A×B) = 100/20 = 5

P (А×B) = 5/100 = 0, 05

А×С = {Числа, кратные 36} n (A×C) = 2 [2×36 = 72]

P (A×C) = 2 / 100 = 0, 02

B×C = {Числа, кратные 45} n (B×C) = 2 [2×45 = 90]

P (B×C) = 0, 02

A×B×C = {Числа, кратные 180} n (A×B×C) = 0

P (A+B+C) = 0,25 + 0,2 + 0,11 – 0,05 – 0,02 – 0,02 = 0,47

ЗАДАЧА №3

Консультационная фирма претендует на два заказа от двух крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А ( событие А) равна 0, 45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпораций А, то вероятность того, что корпорация В обратиться к ним, равна 0, 9. Какова вероятность, что консультационная фирма получит оба заказа?

Решение:

P (А) = 0,45 P (AB) = P( A) P (B/A) = 0,45 ×0,9 = 0,405

P (B/A) = 0,9

Найти : P (AB)

ЗАДАЧА №4

Известно также, что 40% работников фирмы – женщины, а 6, 4% работников – женщины, В большой рекламной фирме 21% работников получают высокую заработную плату. получающие высокую заработную плату.

Пусть А = {случайно выбранный работник имеет высокую заработную плату}

В = {случайно выбранный работник - женщина}

Тогда, Р (А/В) = Р (АВ) / Р(В) По условию Р (А В) = 0,064

Р (В) = 0,1

Р (А/В) = 0,064 / 0,4 = 0,16

0,16 < 0,21 Это значит, что женщины, работающие в этой фирме имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.

ЗАДАЧА №5

Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Найти вероятность события А = {ответил на все вопросы}.

Решение :

А₁ = {ответил на первый вопрос}

А₂ = { ответил на второй вопрос }

А₃ = { ответил на третий вопрос }

А = А₁×А₂×А₃ Найти : P(A)

P(A) = P(A₁) × P(A₂ / А₁) × P(A₃/А₁×А₂)

P(A₁) = 20/25 Р(А₂/А₁) = 19/24 Р(A₃/А₁×А₂) = 18/23

Р (А) = 20/25 × 19/24 × 18/23 = 57/115 = 0,496