§2 Решение типовых задач

Задача 1 ( демонстрационная )

Дано: Двумерная случайная величина (Х;У) задана таблицей распределения.

1. Найти безусловные законы распределения компонент Х и У.

2. Найти центр распределения M(m_x;;m_y).

3. Проверить условие зависимости Х и У.

4. Найти числовые характеристики: D_x; D_y; _х; _у; K[X;У] (момент корреляции).Полученные результаты записать в виде корреляционной матрицы: К=, заметим, чтоK[X;Y]=K[Y;X].

5. Найти коэффициент корреляции R[X;Y] и определить степень линейной зависимости между Х и У .

6. Найти значение функции распределения F(x;y) в указанных точках:М₁(0,1; 1,7); М₂(0;0); М₃(0;3).

7. Найти вероятности попадания значения (Х;У) в указанные области: а) P{X+Y>1}; б)P{y²≤4*(X+1)}.

8. Найти условные законы распределения Х/У, У/Х.

9. Найти регрессии (у) и(х).

Закон распределения случайной двумерной случайной величины задан таблицей (добавленные строка и столбец будут добавлены в процессе решения задачи)

Х У	1	2	Р{X=xi}
-1	0,3	0.1	0,4
0	0,2	0,1	0,3
2	0.1	0,2	0,3
P[Y=yj}	0,6	0.4	1

Решение:

1. Безусловные законы распределения:P{X=x_i}=,…i=1, 2, 3.

Х	-1	0	2
Р	0,4	0,3	0.3

P{Y=y_j}=, j=1,2.

Y	1	2
P	0,6	0.4

2.Центр распределения:

М(m_x;m_y)=?

M[X]=_i*x_i=-1*0,4+0*0.3+2*0.3=0,2

М[Y]=_j*y_j=1*0,6+2*0,4=1,4

М(0,2;1,4)

3.Проверка зависимости (независимости) случайных событий.

Если Х и У независимые случайные события то должно выполнятся равенство для всех значений х и у: P{(X=x_i)*(Y=y_j)}=P{X=x_i}*P{Y=y_j}

Если. хотя бы один раз равенство не выполняется, то Х и У зависимы.

_YРассмотрим следующие вероятности:

P{(X=-1)*(Y=1)}=0,3; P{X=-1}=0,4; P{Y=0,6}0.4*0,60,3Х и У зависимые

4.Числовые характеристики и корреляционная матрица

D[X]=M[X²]-(m_x)²; M[X²]=_i³*p_i=0,4+0+1,2=1,6 D[X]=1,6-(0,2)²=1,56;

_x=1,25

D[Y]=M[Y²]-(m_y)²; M[Y²]=_j²=0,6+1,6=2,2 D[Y]=2,2-(1,4)²=0,24

_y==0,49.

K[X,Y]=M[X*Y]-m_x*m_y; M[X*Y]=*x_i*y_j=-1*1*0,3+(-1)*2*0,1+

0*1*0,2+0*2*0,1+2*1*0,1+2*2*0,2=0,5

K[X,Y]=0,5-0,2*1,4=0,22K[X,Y]=0,22

Корреляционная матрица:

К=

5.Коэффициент корреляции

R[X,Y]=R[X,Y]=0,36;R[X,Y]0,36

(Связь ощутимая, но не линейная)

6.Вычисление значений функции в заданных точках.

F(M₁)=F(0,1;1,7)=P{(X0,1)*(Y1,17)}=0,3+0,2=0,5

F(M₂)=F(0;0)=P{(X0)*(Yy)}=0

F(M₃)=F(0;3)=P{(X0)*(Y3)}=0,3+0,1=0,4

7.Нахождение вероятности попадания значений случайной величины в указанные области.

а) P{X+Y>1}=0,1+0,1+0,2=0,4

b)P{Y²≤4*(X+1)}=0,2+0,1+0,2+0,1=0,6

(Для вычисления данных вероятностей можно сделать чертёж или непосредственно перебирать все варианты)

8.Условные законы распределения

P{X=-1/Y=1}==0,3/0,6=1/2

P{X=0/Y=1}==0,2/0,6=1/3

P{X=2/Y=1}==0,1/0,6=1/6

P{X=-1/Y=2}=0,1/0,4=1/4

P{X=0/Y=2}=0,1/0,4=1/4

P{X=2/Y=2}=0,2/0,4=1/2

X	-1	0	2
P{X/Y=1}	½	1/3	1/6
P{X/Y=2}	¼	¼	1/2

Аналогично составляем условный закон распределения Y/X

Y	1	2
P{Y/X=-1}	0,3/0,4=3/4	0,1/0,4=1/4
P{Y/X=0}	0,2/0,3=2/3	0,1/0,3=1/3
P{Y/X=2}	0,1/0,3=1/3	0,2/0,3=2/3

9.Условные математические ожидания (регрессии)

M[X/Y=y_j]=(y)=

(y)= (регрессия х по у)

Заметим, что M[X]=0,2 (на одном чертеже в системе координат(у0х)

постройте график регрессии и математическое ожидание М[X])

M[Y/X=x_i]=(x)=

(x)=(регрессия у по х)

Заметим, что M[Y]=1,4. (на одном чертеже в плоскости(х0у) постройте график регрессии и математического ожидания M[Y]

Вывод: Х оказывает малое влияние на У, а У оказывает большое влияние на Х (эти выводы вы можете сделать , анализируя построенные графики)

Задача 2(демонстрационная)

Заполнить таблицу распределения двумерной случайной величины (Х;У), используя значения функции распределения в соответствующих точках.

Найти корреляционную матрицу.

Найти вероятности попадания значений случайной величины (Х;У) в указанные области.

Дано: F(-1;-1/2)=0,2; F(-1;2)=0,25; F(0,5;2)=0,85; F(2;0)=0,35.

1. Заполнить таблицу:

Х У	-1	1
-2	Р11	Р12
0	Р21	Р22
1	Р31	Р32

2.Найти : Корреляционную матрицу

3.Найти:

а)P{X-Y ≤1}; b)P{X²+Y²≤4}

Решение

1. Изобразим на координатной плоскости значения случайной величины

у

2

P₂₂

p₁₂

P₃₂

1

.

-2

-1

1

х

0

P₂₁

P₃₁

-1

P₁₁

F(-1;-1/2)=P{X-1,Y/1/2)=p₁₁=0,2

F(-1;2)=P{X-1,Y2}=p₁₁+p₁₂=0,25p₁₂=0,05

F(0,5; 0)=P{X0,5;Y0}=p₁₁+p₂₁=0,3p₂₁=0,1

F(0,5; 2)=P{X0,5;Y2} =p₁₁+p₁₂+p₂₁+p₂₂=0,2+0,05+0,1+p₂₂=0,85p₂₂=0,5

F(2;0)=P{X2; Y0}= p₁₁+p₂₁+p₃₁=0,35p₃₁=0,05

p₃₂=1-(p₁₁+p₁₂+p₂₁+p₂₂+p₃₁)=0,1p₃₂=0,1

X Y	-1	1	P{X=xi}
-2	0,2	0,05	P{X=-2}=0,25
0	0,1	0,5	P{X=0}=0,6
1	0,05	0,1	P{X=1}=0,15
P{Y=yj}	P{Y=-1}=0,35	P{Y=1}=0,65	1

2. : К=

M[X]=-2*0,25+0+0,15=-0,35; M[X²]=4*0,25+0+0,15=1,15 D[X]=1,0275 _x1,01

M[Y]=-0,35+0,65=0,31 M[Y²]=0,35+0,65=1D[Y]=0,91_y0,95

K[X;Y]=M[X*Y}-M[X]*M[Y]=0,455

K=

Дополнительно вычислим коэффициент корреляции:

R[X,Y]==0,455

3.Для нахождения данных вероятностей попадания в соответствующие области можно изобразить эти области в плоскости (х0у) и сложить вероятности точек, попавших в эти области или непосредственным перебором всех вариантов.

а) P{X-Y≤1}=0,2+0,5+0,1+0,1=0,9

b) P{X²+Y²≤4}=1-(0,2+0,05)=0,75

Примечание: Задача композиции

В одном из важных частных случаев функциональной зависимости

Z=(X;Y), где Z=X+Y, возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного вектора (Х;У) по известному закону совместного распределения его компонент.

Если (Х;У) –дискретная двумерная случайная величина, то Z=X+Y-

дискретная одномерная случайная величина, при этом:

P{Z=z_k}=_i)*(Y=y_j)}, при этом x_i+y_j=z_k

Суммирование распространяется на все значения индексов i и j,для которых выполняется условие: x_i+y_j=z_k

В частности, если (Х;У) случайная величина дискретного типа с независимыми компонентами, то P{Z=z_k}=_i}*P{Y=z_k-x_i}-

задача композиции

Задача 3

Х и У независимые случайные величины. распределены по одному и тому же закону., определяемому таблицей:

Х	0	1	2
Р	½	3/8	1/8
у	0	1	2
Р	½	3/8	1/8

Описать закон распределения: Z=X+Y

Решение:

Т К Х и У независимы, то P{(X=x_i)*(Y=y_j)}=P{X=x_i}*P{Y=y_j}

Т.к. распределение компонент нам известно, то составим таблицу распределения двумерной случайной величины (Х;У):

х у	0	1	2
0	¼	3/16	1/16
1	3/16	9/64	3/64
2	1/16	3/64	1/64

Z=X+Y На плоскости(х0у) изобразим линии уровня X+Y=C

1. Х+У=0;2) Х+У=1; 3) Х+У=2;4) Х+У=3; 5) Х+У=4.

P{Z=0}=1/4; P{z=1}=3/16+3/16=6/16=3/8; P{Z=2}=1/16+9/64+1/16=17/64

P{Z=3}=3/64+3/64=6/64=3/32

Таким образом, ряд распределения случайной величины Z имеет вид:

Z	0	1	2	3	4
P	¼	3/8	17/64	3/32	1/64

0

1

2

3

4

1/16

3/16

1/4

3/64

1/64

3/64

1/16

9/64

3/16

y

x

x+y=4

x+y=3

x+y=2

x+y=1

x+y=0