Глава 2 Классическое вероятностное пространство.

§1. Основные понятия и определения.

Всякий эксперимент , который удовлетворяет условиям:

1)Множество элементарных исходов конечное, т.е. =_ ,_ , …, _n ;

2) Все элементарные исходы равновозможные, т.Е.

 P(_ )=P(_ )=..=P(_n )=1/n,

называется классической схемой.

Любое событие  А=_i1 , _i2 ,.., _im   

Вероятность такого события вычисляется по формуле: P(A)=m/n, где m – число элементов множества Ã, n – число элементов множества ( число исходов эксперимента),(,Ã,P)- классическое вероятностное пространство, Ã - алгебра случайных событий.

Элементы комбинаторики.

Комбинаторный принцип «умножения».

Пусть требуется  выполнить одну за другой «к» операций, при этом первую операцию можно выполнить «n₁ » способами, вторую «n₂ » способами, ч.т.д. , «К-ю»- «n_k » способами. Тогда все К операций вместе могут быть выполнены числом способов, равным произведению n₁*n₂*..*n_k

Определение 1.

Размещениями с  повторениями из  n элементов по К элементов называются упорядоченные последовательности (кортежи), содержащие К элементов, при этом элементы могут повторяться. Число размещений с повторениями из «n» по «к» обозначаются А _n^k

Справедлива формула:  А _n^k=n^k

Определение 2.

 Размещениями из «n» элементов по «k» элементов называются упорядоченные последовательности, содержащие «К» элементов, но элементы не повторяются.

Число размещений (без  повторений) вычисляют по формуле:  А _n^k = n(n-1)(n-2)*…*(n-k+1)

А _n^k =  , n!= 1*2*3*…*n(Формула для вычисления на калькуляторе)

Определение 3.

Перестановки из «n», элементов – это размещения из «n» элементов по «n», которые отличаются друг от друга только порядком элементов.

Число перестановок из «n» элементов обозначают P_n .

Формула для вычисления: P_n =A_nⁿ =n!

Определение 4.

Перестановки  с повторениями.

Пусть среди «n» элементов имеем: 

Тип 1 - встречаются «к₁ » раз

Тип 2 – встречаются «к₂» раз

…………………………………………..

Тип S- встречаются «к_s » раз,  

При этом к₁+к₂+…+к_s =n

Число перестановок в этом случае вычисляют по формуле:

P_n ( к₁ ,к₂,…, к_s )=n!/ к₁! к₂ ! ... к_s !

Определение 5. Сочетания из «n» по «к»

Пусть множество   состоит из «n» элементов. Любое его подмножество, состоящее из «к» элементов называется так же Сочетанием из «n» элементов по «к» элементов. Два сочетания , состоящие из «к» элементов отличаются друг от друга только составом элементов, а порядок не учитывается.

Число сочетаний  из «n» по «к» обозначают С _n^k.

Заметим, что С _n^k = А _n^k / P_k

Формулы для вычисления:

С _n^k = n!/k!(n-k)!  или С _n^k = n*(n-1)(n-2)*…*(n-k+1)/k!

Свойства сочетаний.

1. С⁰ = 1

2. C_nⁿ = 1

3. C _n^k = C_n ^n-k

4. C _n^k = C_n-1^k-1 + C_n-1^k 

5. C _n⁰+ C_n¹ + ….+ C_nⁿ =2ⁿ

Формула бинома Ньютона:

(а+b)ⁿ = C _n⁰ *aⁿ *b⁰ + С _n¹ * a^n-1*b¹  +…+C _n^k *a ^k* b ^n-k+ ….+C _nⁿ * a ⁰ * b ^k

Для вычисления коэффициентов  можно использовать треугольник Паскаля:

n
0	1
1	1 1
2	1 2 1
3	1 3 3 1
4	1 4 6 4 1
5	1 5 10 10 5 1
6	1 6 15 20 15 6 1
7	1 7 21 35 35 21 7 1
8	1 8 28 56 70 56 28 8 1
9	1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10	1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Определение 6.

«Сочетания с повторениями».

Если из множества, состоящего из «n» элементов будем выбирать подмножество в «к» элементов, а затем возвращать, то неупорядоченные наборы могут состоять из повторяющихся элементов, порядок при этом не учитываем.

Формула для вычисления сочетаний из «n» по «к» с повторениями:

C _n^k= C _n^n-k+1

Схема решения задач  по классической схеме.

1. Определить число всех исходов опыта: n =n()

2. Определить число исходов, благоприятствующих появлению события А

m = n(A)

3. Вероятность события А вычисляем по формуле

P(A) = m/n   P(A) =  n(A)/n() 