Глава 12. Нормальная случайная величина

§ 1. Основные понятия и формулы

Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону (распределение Гаусса), если ее плотность распределения вероятности имеет вид (для х(-; )):

f_x(x)=

Для краткости данный закон записывают так: X  N (m, ). Распределение Гаусса имеет два параметра:mи. Причем, известно, что:

• m = m_x (M [X]) – это математическое ожидание СВX;

•  = _x (_x =√D_x ; ^ = D_x ) – это среднеквадратичное отклонение СВ Х, аD_x – это дисперсия СВ Х.

Определение 1.2. Нормальная случайная величина называется стандартизированной, если Х  N(0;1).

Замечание: Если ХN(m,), то случайная величинаU = (Х-m)/ будет стандартизированной нормальной величиной, т.к.

• M [U] = M [(X-m)/] = (1/)*(M[X]-m) = 0(по свойствам математического ожидания);

• D [U] = D [(X-m)/] = (1/²)*D[X] = (1/²)*² = 1 (по свойствам дисперсии СВ Х).

В таблицах приведены значения функции плотности стандартизированной СВ:

φ(x) =

x

Замечание:

• φ(х)*dx = 1 (Площадь под графиком равна 1);

• φ(-х) = φ(х).

Как найти значение f (x), еслиХ  N (m, ), где mиизвестны:

• Во-первых, f(x) =,т.е сначала надо найтиx₀ = (x-m)/

• Затем по таблице необходимо найти φ (x₀)

• Наконец, вычислить значение f(x) =.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция, заданная на всей числовой оси и в каждой точке х её значения равны вероятности попадания в интервал слева от х.

Основные свойства:

• D (F) = (-∞;∞)

• E (F) = (0;1)или[0;1]:limF(x) = 0 (при х(-∞));limF(x) = 1 (при х∞)

• Неубывающая функция: Еслих₁ >x₂ , тоF(х₁) >=F(x₂)

• Если Х – непрерывная СВ, то F (x) – непрерывная функция; если Х – дискретная СВ, то F (x) – кусочно-постоянная функция (разрыв слева).

Эскиз графика функции распределения дискретной СВ

• Связь между функцией плотности f (x) и функцией распределения F (x):

F (x) =

f (x) = F ^′ (x)

F(x)

1

• P {α < X < β} = =F (b) – F (a) - вероятность попадания в интервал [α;β]

Чтобы найти значение F(x) в любой точке вводят специальную функцию Лапласа, значения которой приведены в таблице. В разных таблицах можно встретить два варианта выражения функции Лапласа:

Ф (х) =

Вариант 1:

Свойства:

• Ф (-∞) =-½

• Ф (+∞) = ½

• Ф (-х) = Ф (х)

Тогда, чтобы получить значение F(x), если ХN(m;), используем формулу:

F (x) = ½ + Ф((x-m)/)

Вариант 2:

Ф (х) =

Свойства:

• Ф (-∞) = 0

• Ф (+∞) = 1

• Ф (-х) = 1 - Ф (х)

F (x) = Ф((x-m)/)

Основные формулы:

1. P {X < a} = F (a) =

2. Р {X > b}=1–F(b) =

3. P {a < X < b} = F (b) – F (a) = Ф ((b-m)/) – Ф ((a-m)/)

4. 

6. Правило «3*»: P {|X-m|< 3*} = 2 * Ф (3) = 0, 99973 - почти достоверное событиепопасть в такой интервал

Схема Бернулли:

Проводится «n» испытаний. Возможны только два исхода:A(P(A)=p) и

А (P(А)=1-p=q).X– число появлений события А в «n» испытаниях.

b_k=P{X=k}=

Формула Бернулли

k = 0, 1, 2…n

При больших «n» используют приближенные формулы:

b_k, где=n*p(n-велико, р-мало)

Формула Пуассона:

Локальная формула Муавра-Лапласа:

b_k , где(х) =

Приближенная интегральная формула Муавра-Лапласа

b_k  N (m;)

m = n*p

 =

Нормальный закон является предельным для биномиального: Х  N (m;), m = n*p,  =

P {k₁<X<k₂}=