1. Строим график

Пусть строго монотонна

Находим: (область определения с учетом значения с.в.)

–множество значений

2. Находим обратную функцию

3. Вычисляем ,

4. где

§2 Решение типовых задач

Задача 1

Случайная величина принимает значенияс вероятностью.

Описать закон распределения случайной величины

Решение:

V

1 VV

2 VVVV

3 VVV

4

5 VVV

6 VVVV

7 VV

8 V

Задача 2.

X ϵ N (m,) [X распределенное по нормальному закону с параметрами m и]

Y=k X +b

Найти закон распределения с.в. Y.

Решение:

=,x ϵ(-∞;∞)

Y=k x +b(строго монотонна)

X=,=,=

=y ϵ R

=

Y ϵ N (mk+b); (∣k∣) Вывод:

Y имеет нормальное распределение

M[Y] =mk+b

=k

Задача 3.

С.В. X задана следующей функцией плотности:

f (x) =

Y=Найти 1); 2) (функция плотности Y)

Решение:

1)Найдем параметр , используя свойство функции плотности:

В нашем случае:=> =1; =>

f (x) =

Y=

1) D[Y]=[0;1]область определения

2) E(Y)= [;]множество значений(arcctan0=π/2; arcctan1=π/4)

3)φ

=<=>=X;

: x =

==

=

Задача 4.

f (x) =

Y=-(X+1 Найти: 1), 2)

Решение:

1)Основное свойство функции плотности:

=1 => (1-) =1 =>;

f (x) =

Y= -(x+

1. D[Y]=(- ∞;-1)

2. E(Y)= (0; ∞)

3. φ

: y =-(x+1=>(x+1=-y=>x+1=

X=--1

=,=

=

g(y)

Задача 5

Функция плотности задаётся следующей формулой:

f (x) =

Y=;

Найти: 1) b; 2);

Решение:

1)Основное свойство функции плотности:

; =1;=; => b=8;

f (x) =

Y=

4. D[Y]=[0;8]

5. E(Y)= ;]

6. φ

: y ==> x+2==> x=

=;=

=

Задача 6

Дано: Х –стандартизированная нормально распределённая случайная величина:

χϵN(0,1) ƒ(x)=

y=|x+1|-|2χ-1|

Найти g_y(y)

Решение

Y=|x+1|-|2x-1|

y=

Три интервала монотонности

y=x-2 xϵ (-∞,-3] ↗ yϵ (-∞,-3]	y=3x xϵ [-1;1/2] ↗ yϵ[-3;3/2]	y=-x+2 xϵ [1/2;+∞) ↘ yϵ (-∞;-3/2]
φ -1:x=y+2	φ -1:x=1/3y	φ -1:x=-y+2
x’y=1 |x’|=1	x’y |x’|=1/3	x’y |x’|=1

Ответ:

9_y(y)=

§3 Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Случайная величина χ задана рядом распределения

χ	0	π/18	π/12	π/9	π/6	2π/9	π/4	5π/18	π/3
P	0,01	0,1	0,09	0,1	0,09	0,2	0,2	0,2	0,01

Y=sin3χ Найти:1)ряд распределения Y 2)P{0,5<Y≤1}

Ответ: 1)

Y	0	1/2	√2/2	√3/2	1
P	0,02	0,3	0,29	0,3	0,09

P{0,5,<Y≤1}=0,68

Задача 2

χϵR (0;1/3) равномерное распределение

Y=3χ³ Найти: 1) g_y(y) 2)M[Y]

Ответ:

1. g_y(y)=

2. M[Y]=1/3

Задача3

χϵR(π/4;π/2) равномерное распределение

Y=ctgχ Найти: 1) 9_y(y) 2)M[Y]

Ответ: 1) 9_y(y)=

2)M[Y]=ln₂

Задача 4

χϵR(0,e²) (равномерное распределение)

y=lnχ Найти 1) 9_y(y); 2) M[y]

Ответ: g_y(y)=

2)M[y]=1

Задача 5

χϵexp(λ) показательное распределение с параметром λ

y=Найти: 9_y(y)

Ответ: g_y(y)=

Задача 6

x λ=1 – показательное распределение

y=1/x² Найти: ) 9_y(y)

Ответ: g_y(y)

Задача 7

χϵR(-1;2)-равномерное распределение

y=χ² Найти ) 9_y(y)

Ответ: g_y(y)=

Задача 8 (распределение Коши)

y=|2x+2|-|x-4|

Найти 9_y(y)

Ответ 9_y(y)=

§4 Задачи для проведения самостоятельной работы

Задача 1

F(x)=

Y=√x

Найти 1)a; 2) 9_y(y); 3)M[y]

Задача 2

f(x)=

y=Найти 1)a, 2) 9_y(y), 3)M[y]

Задача 3

f(x)=

y=(x-2)², Найти 1) a, 2) 9_y(y)

Задача 4

f(x)=

y=

Найти 1)b; 2) 9_y(y) 3)M[y]

Задача 5

f(x)=

y=

Найти 1)a; 2) 9_y(y)

Задача 6

f(x)=

y=arctgx

Найти 1)a; 2) 9_y(y)

Глава 10 Дискретная двумерная случайная величина

§1 Основные понятия

Если каждому элементарному исходу опыта Ω ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (х,у), то говорят, о двумерной случайной величине, которую обозначают (Х.У), где Х и У –одномерные

случайные величины. Если множество значений двумерной случайной величины конечно или счётно, то её можно задать таблицей распределения:

Х………..У	У1	У2	…	УJ	…	Yn
X1	Р11	Р12	…	Р1J	…	P1n
Х2	Р21	Р22	…	Р2J	…	Р2n
…	…	…	…	…	…	..
XI	PI1	PI2	…	PIJ	…	PIn
…	…	…	…	…	…	…
Xm	Pm1	Pm2	…	Pmj	…	pmn

P_ij=P{(X=x_i)*(Y=y_j)}; =1

у

p_1n

P_mn

y_n

y_j

p_ij

х_i

x_m

y₂

p₁₁

X

х₂

y₁

P_m1

х₁

Функция распределения двумерной случайной величины (Х;У)- это числовая функция двух аргументов, которую обозначают F(x;у), при этом, в каждой точке (х;у) значение этой функции равно вероятности события:

((Хх)*(Уу)), т.е. F_XY(x;у)=P{(Xx)*(Yy)}; (вероятность попадания в юго-западный «квадрант» )

х

у

Свойства функции распределения:

1. Область определения: (х;у)R²

2. Множество значений функции: 0≤F(х;у)≤1, при этом:=1;0;=0

3. Функция распределения не убывает по каждому из аргументов при фиксированном другом аргументе.

4. Для двумерной дискретной случайной величины справедлива формула:

Условия согласованности

Постановка задачи

Пусть дискретная двумерная случайная величина задана таблицей распределения .

Найти одномерные законы распределения компонент Х, У.

Решение:

P{X=x_i}=; i=1, 2,3,…, m. P{Y=y_j}=.(j=1, 2,…,n)

Для функции распределения условия согласованности определяются формулами:

F_Х(х)=F(у)=

Независимые случайные величины

Случайные величины Х и У называются независимыми, если для любых

чисел х и у будут независимы события: A={Xx} и В={Y=y}Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Необходимые и достаточные условия независимости

1. F_ху(х;у)=F_х(х)*F_y(y)

2. P{(X=x_i)*(Y=y_j)}=P{X=x_i}*P{Y=y_j} i=1, 2,…, m; j=1, 2,…, n

Числовые характеристики двумерной случайной величины

1. Центр распределения двумерной случайной величины (Х;У)- это неслучайная точка М(m_x;m_y)

2. Корреляционный момент—числовая характеристика для количественной характеристики зависимости двух случайных величин: K[X,У]=M[(X-m_x)*(Y-m_y)]

Для дискретной случайной величины справедлива формула:

K[X;Y]=*x_i*y_j

По свойствам математического ожидания :

K[X;Y]=M[(X-m_x)*(Y-m_y)]=M[X*Y-m_x*Y-m_y*X+m_x*m_y]=M[X*Y]-m_x*M[Y]-m_y*M[X]+m_xm_y= M[X*Y]-m_xm_y

K[X;Y]= M[X*Y]-m_xm_y

M[X;Y]=*x_i*y_j

Заметим, что если Х и У независимые случайные величины, то

M[X*Y]=M[X]*M[Y]  K[X;Y]=0

Однако., из условия, что К[X;Y]=0 , не следует в общем случае, что Х и У независимые случайные величины.

3.Коэффициент корреляции

Наряду с моментом корреляции, равную произведению размерностей Х и У, рассматривают безразмерную величину –коэффициент корреляции. который обозначается R[X;Y] и вычисляется по следующей формуле:

R[X;Y]=

Свойства коэффициента корреляции

1. Если Х и У независимые случайные величины, то R[X;Y]=0.

2. -1≤ R[X;Y]≤1

3. R[X;Y]=1У=к*Х+в; если к>0,то R[X;Y]=1; если к0, то R[X;У]=-1.

Определение:

Если К[X;У]=0 ( R[X;Y]=0),то Х и У называются некоррелированными.

Из независимости Х и У следует некоррелируемость, но обратное утверждение в общем случае неверно.

Условные законы распределения

Аналогично условным вероятностям :Р(В/А)=вводится понятие

условного закона распределения.

Условным распределением случайной величины Х при условии У=у_j

(j=1, 2,…,n) называется ряд, в котором вероятность соответствующая значению Х=х_i (i=1,2,…,m), определяется как условная вероятность:

P_i/j=P{X=x_i/Y=y_j}==P_ij/p_j

X	X1	X2	…	Xi	…	Xm
P{X/Y=yj}	P1/j	P2/j	…	Pi/j	…	Pm/j

Аналогично можно получить условное распределение случайной величины У при условии Х=х_i(i=1, 2.,…,m)’

P{Y=y_j /X=x_i}=

Если известен условный закон распределения случайной величины Х при

M[X/Y=y_j]= {X=x_i/Y=y_j} j=1,2….,n

M[Y/X=x_i]=*P{Y=y_j/X=x_i} , i=1, 2., ,m

,Заметим, что M[X/Y=y_j]=(y)- функция от у

M[Y/X=x_i]=(x)-функция от х

Условные математические ожидания называются соответственно:

(y)—регрессия Х по у, (x)---регрессия У по Х

Заметим, если Х и У независимые случайные величины, то (y)=m_x;(x)=m_y