Задача 4

Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности:

f(x)=

Найти:1) а; 2)F(x); 3) M[2X-1]; 4) D[5-3X]; 5)найти интервал:

P{X-m_x}=1/16

Решение:

1)=1;dx=1

f(x)

2*=1 2a/3*3/4*x^4/3 ₀¹=1a=2

f(x)=

2/3

1

x

-1

2) F(x)=;

F(x)=

Замечание: +

=1/2

если то-2/3*3/4*х^4/3_-1^х=-1/2*(-1)

₀^х=1/2*.

Таким образом, функция распределения имеет вид:

F(x)=

Заметим, что, т.к. функция плотности является чётной функцией, т.к.

f(-x)=f(x), то для функции распределения справедлива формулы:

F(-x)=1-F(x); F(0)=1/2 (медиана х=0)

Всегда проверяйте непрерывность функции распределения в точках

«склейки»:

=0; F(-1)=0

=1/2; =F(0)=1/2

=F(1)=1; =1

F(x)

График функции распределения:

1

1/2

-1

1

x

3)M[X]=0M[2X-1]=-1

4)D[5-3X]=9*D[X]; D[X]=M[X²]-m_x²; M[X²]=

M[X²]=2*dx=2*3/7*x^7/3₀¹=6/7

D[X]=6/7

5)P{X-m_x}=p₀ P{X}=p₀P{-X}=p₀F()-F(-)=p₀

т.к.F(-)=1-F()2*F()-1=p₀F()=;p₀=1/16F()=17/32;(>0)

½+1/2*=17/32^4/3=1/16=1/8

P{X(-1/8;1/8)}=1/16

Задача5

Непрерывная случайная величина Х задана своей функцией распределения:

F(x) =

F(x) -Функция распределения

Найти: 1) A, B; 2) f(x); 3) M[2x - 1]; 4) P{[X - mx] < σx} 5) Найти квантили порядка р

а) р = (медиана); б) р =; в) р = 9/16

Решение:

F(x) – непрерывная функция. Запишем условие непрерывности в точках «склейки»

x = -2

;

x = 2

=> 12A + B = 1

Решаем систему:

=>

Ax2 + 4Ax + B = x2 + 4*x +=(x+2)

F(x) =

1

2)f(x) = F`^I(x)

3)M[2X - 1] = 2M[X] – 1

;

D[X] = M [X²] – mx2

M [X²] =;

M [X²] =

М[X] = ; M[X²] =

D[X] =;

P {|X - mx| < σ} = P {-0,8 < X < 1,4} = F(1,4) – F(-0,8) =

F(x_p) = p -2 ≤ x_p ≤ 2

; >

≈ 0, 83

б) ;

=>

в) ;

=>

Задача 6

По графику функции y = f(x) показать схему графика функции распределения F(x). Заметим, что F^I(x) = f(x)

f(x)	F(x)
0	C
B(const)	Bx + C – прямая с угловым k = B
ах+в -прямая	ax2+bx+с --парабола
ax2+bx+с --парабола	aх3+вх2+сх+d-кубическая парабола

Предполагается, что в схемах графика функции плотности f(x) площадь под графиком равна 1.

1. --1

   1

   2

   -2-

   -1

   -1

   1

   2

   3

   1

   

   f(x)

   -4

   x

   

   -3

   -2

   3

   

   F(x)

   x

   -4

   3-

   

F(x)

2)

f(x)

1

-3

-1

1

-3

-1

1

x

x

§3 Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Функция распределения непрерывной случайной величины задана формулой: F(x)=

Найти: 1)коэффициенты А и В; 2)f(x); 3) M[X]; 4) D[X]; 5)P{X-m_x_x};

6)квантили порядка «р»: а)р=1/2; b) р=0,2; с)р=0,8;

7)найти интервал: p{X(a;b)}=0,6

Ответ: 1)А=1/4;В=1/2; 2) f(x)=3)M[X]=0; 4) D[X]=4/3; 5) 1/;

6)a)x_1/2=0; b)x_0,2=-1,2; c)x_0,8=1,2; 7) P{X(-1,2;1,2)}=0,6.

Задача 2

Функция распределения непрерывной случайной величины задана

формулой: F(x)=

Найти: 1) параметр А; 2)f(x); 3) M[X];4)D[2*-3]; 5)квантили порядка «р»: а)р=1/2;b) p=0,1;c) p=0,7; 6)найти интервал: P{X(a;b)}=0,4.

Ответ: 1)А=1/2; 2) f(x)=;x(1;4); 3)M[X]=≈2,16;

4)D[2*; 5)a)x_1/2=2;

b) x_0,7=2^1,4≈2,6;c)x_0,1=2^0,2≈1,15; 6) P{X(1,15; 2)=0,4.

Задача 3

Функция плотности непрерывной случайной величины задаётся формулой: f(x)=x[-3;3]

Найти: 1)а; 2)F(x); 3)M[4-3*X]; 4)P{X1}; 5)квантили порядка «р»:

а) р=1/2;b) р=1/3; с)р=2/3.

Ответ:1)a=1/3; 2) F(x)= 3) 4;4) 2/3; 5)a) x_1/2=0;

b)x_1/3=_2/3=3-

Задача 4

Функция распределения непрерывной случайной величины задана

задана формулой: F(x)=

Найти:1)A;B; 2)f(x); 3)M[X];4) P{X-m_xπ/4}

Ответ:1)A=0;B=1; 2)f(x)=3) M[X]=1; 4) 0.

Задача5

Функция распределения непрерывной случайной величины задана

формулой:F(x)=;x(0;π/4);

Найти:1)A;B; 2)f(x); 3)M[3X+2];4) P{X-m_xπ/4}

Ответ:1)A=1;B=0; 2)f(x)=3)M[3X+2]=3*(π/4 -1/2*

4)1.

Задача 6

Функция плотности непрерывной случайной величины задаётся

формулой: f(x)=

Найти: 1)а;2)F(x); 3)M[X-2]; 4)P{X-m_xπ/4}.

Ответ: 1)a=1; 2) F(x)=3)π/2 -3; 4) 0,97.

Задача 7

Функция распределения непрерывной случайной величины задана

формулой: F(x)=

Найти: 1)A;B; 2) f(x); 3)M[X³+X²+1]; 4)P{X-m_x1/4}.

Ответ:1)A=1; B=0; 2)f(x)=;3)2,1; 4)7/8.

Задача 8

Функция распределения непрерывной случайной величины задана

формулой: F(x)=

Найти: 1)A;B; 2)f(x); 3)M[X²+X+1]; 4)P{X-m_x2/3}.

Ответ:1) A=1;B=0; 2)f(x)=; 3)1; 4) 1-

Задача 9

Функция распределения непрерывной случайной величины задана

формулой: F(x)=

Найти: 1)A; 2) f(x); 3)M[4X³+X-5]; 4)P{X1/2}.

Ответ:1) A=1/2; 2) f(x)=; 3) -5 ; 4) 5/6.

Задача 10

Функция плотности непрерывной случайной величины задаётся

формулой :f(x)=

Найти:1)a; 2) F(x); 3) M[4X-5]; 4) квантили порядка «р»:

a)p=1/2; b) p=27/32; c) p=5/32; 5)P{X-m_x}=11/16, найти .

Ответ:1)a=3/4; 2) F(x)=3)-5;

4)a) x_1/2=0;b) x_27/32=1/2; c) x_5/32=-1/2; 5)P{X1/2}=11/16 ( =1/2).

Задача 11

Функция плотности непрерывной случайной величины задаётся

формулой: f(x)=

Найти:1)a; 2)F(x); 3) M[2X³-4X+7]; 4) P{X-m_x}=8/125 ;найти .

Ответ:1) a=3/4; 2)F(x)=; 3)7 4)=4/25.

Задача 12

Функция плотности непрерывной случайной величины задаётся

формулой:f(x)=

Найти: 1)a; 2)F(x); 3) M[X]; 4)D[X-1]; 5) P{X1}; 6)P{X>0,5}.

Ответ:1) a=1; 2) F(x)=; 3) M[X]=1; 4) D[X-1]=1; 5)≈0,37; 6)≈0,785.

Задача 13

В здании областной администрации случайное время ожидания

лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 5 минут.

Найти:1) функцию распределения F(x).

2. Чему равна вероятность ожидания лифта более 3,5 минуты?

3. Чему равна вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 45 секунд?

4. Чему равна вероятность того, что ожидание лифта будет заключено в диапазоне от 1 до 3 минут?

Ответ:1)F(x)=2)P{3,5X5}=0,3; 3)P{0X3/4}=0,15; 4)P{1X3}=0,4

Задача 14

Мастер, осуществляющий ремонт на дому, может появиться в любое время с 10 до 18 часов. Клиент, прождав до 14 часов , отлучился на 1 час. Какова вероятность, что мастер не застанет его дома?

Ответ:P{14X15}=0,25.

Задача 15

Владелец антикварного аукциона полагает, что предложение цены за определенную картину будет равномерно распределённой случайной величиной в интервале от 500 тыс. рублей до 2 млн.рублей.Найти:

1. Дифференциальную функцию.

2. Определите вероятность того, что картина будет продана за цену. меньшую чем 675 тыс. рублей.

3. Найдите вероятность того, что цена картины будет выше 2 млн. рублей.

Ответ:а) f(x)=b)P{X675}=0,1167; c) P{X>2}=0.

Задача 16

На перекрёстке дорог движение регулируется автоматически светофорам, включающим зелёный свет через каждые 2 минуты. Время простоя у этого светофора автомобиля. оставшегося на красный свет, есть случайная величина , распределённая равномерно на интервале (0;2) минут.

Найдите среднее время простоя и среднее квадратическое отклонение.

Ответ:M[X]=1; _x≈0,5773.

Задача 17

Измеряется температура термометром с ценой деления в 1⁰.Отсчёт производится с точностью до одного градуса.

Величина ошибки измерения Х есть случайная величина , распределённая равномерно в диапазоне (-0.5⁰; +0.5⁰).

Найдите среднюю ошибку измерения , а также стандартное отклонение.

Ответ: M[X]=0; _x=0,2887.

Задача 18

Срок службы жёсткого диска компьютера – случайная величина, подчиняющаяся показательному закону со средней в 12000 часов.

Найдите долю жёстких дисков, срок службы которых превысит 20000 часов.

Ответ:P{X>20000}=1-F(20000)=≈0,188 (a=)

Задача 19

Срок службы батареек для слуховых аппаратов подчиняется показательному закону с параметром а=1/2.

Какова доля батареек со сроком службы больше чем 9 дней?

Ответ: P{X>9}=1-F(9)=≈0,47237.

Задача 20

Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в течении которого телезрители помнят содержание коммерческого рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону с параметром а=0,25 дня. Найдите долю зрителей, способных вспомнить рекламу.

Ответ:P{X>7}=1-F(7)=≈0,17377

Задача 21

Компьютерный программист использует показательное распределение для оценки надёжности своих программ. После того , как он нашёл 10 ошибок. он убедился. что время (в днях) до нахождения следующей ошибки подчиняется показательному закону с параметром а=0,25.

Найдите среднее время, потраченное для нахождения первой ошибки, . и определите вероятность того, что для нахождения первой ошибки понадобится более 5 дней, а также вероятность того, что на нахождение одиннадцатой ошибки потребуется от 3 до 10 дней.

Ответ:M[X]=1/а =4 (дня)- среднее время, потраченное на нахождение первой ошибки4*10=40 (дней)

M[X]=40 a=1/40=0,025; P{X>5}==≈0,8825;

P{3X10}=F(10)-F(3)=0,92775-0,7788=0,148955.