§3 Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. (Упростить)

События А, В, С - попарно несовместны.

1) А * В + С

2) (А + С) - В

3) А + АВС

Ответ: 1) С; 2) Ø; 3) А

Задача 2. (упростить)

1) (А + В) * (А +)

2) (А + В) (Ā + В) (А +)

3) (Ā + ВС) (+ АС) (+ АВ)

4) АВ + А + А

5) (Ā + ĀВ) * Ā

6) А (Ā + В) * (Ā ++ С)

Ответы: 1) А; 2) АВ; 3) АВС + Ā **; 4) А; 5) Ā; 6) А * В * С

В задаче 3

1) Построить пространство элементарных исходов

2) Указать состав подмножеств, соответствующих данным событиям

3) Выполнить указанные операции над данными событиями.

Задача 3.

Игральная кость подбрасывается три раза

Наблюдаемый результат тройка чисел на верхних гранях. Найти события:

А = {Выпали одинаковые числа}

В = {в первый и второй раз выпало число кратное "3" а в третий раз число"6"}

Ответ: 1) Ω = Ω₁* Ω₂* Ω₃

2) Ω_i = {ω₁⁽ⁱ⁾, ω ₂⁽ⁱ⁾, ω ₃⁽ⁱ⁾, ω ₄⁽ⁱ⁾, ω ₅⁽ⁱ⁾, ω ₆⁽ⁱ⁾}

Число элементов равно 6³

2) A = {ω ₁⁽¹⁾, ω ₁⁽²⁾, ω ₁⁽³⁾}; {ω ₂⁽¹⁾, ω ₂⁽²⁾, ω ₂⁽³⁾};{ω ₃⁽¹⁾, ω ₃⁽²⁾, ω ₃⁽³⁾};

{ω ₄⁽¹⁾, ω ₄⁽²⁾, ω ₄⁽³⁾}; {ω ₅⁽¹⁾, ω ₅⁽²⁾, ω ₅⁽³⁾}; {ω ₆⁽¹⁾, ω ₆⁽²⁾, ω ₆⁽³⁾};

B = {ω ₃⁽¹⁾, ω ₃⁽²⁾, ω ₆⁽³⁾}; {ω ₃⁽¹⁾, ω ₆⁽²⁾, ω ₆⁽³⁾}; {ω ₆⁽¹⁾, ω ₃⁽²⁾, ω ₆⁽³⁾}

3) a) A * B = ω ₆ = {(ω ₆⁽¹⁾, ω ₆⁽²⁾, ω ₆⁽³⁾)}

б) А - В = {ω ₁, ω ₂, ω ₃, ω ₄, ω ₅}

Задача 4.

На столе у преподавателя 6 экзаменационных билетов. Студент знает ответы только на 3 билета. Был проведен следующий эксперимент: наудачу последовательно без возвращения извлекаются по одному билету до появления «счастливого» билета, после чего студент может сдавать экзамен.

Обозначим А_i = {«счастливый» билет появится при «i» испытании}.

а) Сконструировать элементарные исходы данного опыта с помощью алгебраических операций над исходами А_i.

б) Записать событие В={проведено не более 3-х испытаний}.

Ответ: Ω = {ω₁ = А₁; ω₂ = Ā₁ А₂; ω₃ = Ā₁ Ā₂ А₃; ω₄ = Ā₁ Ā₂ Ā₃ А₄ = Ā₁ Ā₂ Ā₃}

В = ω₃ + ω₄ = Ā₁ Ā₂

Задача 5.

Два футболиста по очереди бьют по воротам до первого попадания. Выигрывает тот, кто первый забьет гол. Каждый футболист имеет в запасе только две попытки.

По требованию начинает второй.

Рассмотрим события:

А_k = {первый забил гол при «k» попытке}

B_k = {второй забил гол при «k» попытке}.

Записать события А и В через данные события.

А = {победил первый}

В = {победил второй}

Ответ:

Задача 6.

Три выпускника ГУ-ВШЭ пытаются устроиться на работу в престижную фирму.

Обозначим А_i = {«i» выпускника приняли на работу}

i=1, 2, 3.

Записать следующие события через А_i

1. А = {всех взяли на работу}

2. В = {взяли только 1-го и 2-го}

3. С = {хотя бы один не смог устроиться на работу}

4. D={не менее двух получили работу}

5. Е={первый получил работу и хотя бы один из двух оставшихся тоже устроился на работу}

Ответ: 1) А = А₁ А₂ А₃ ; 2) В = А₁ А₂ Ā₃ ; 3) С = Ā₁ + Ā₂ + Ā₃

4) D = А₁ А₂ Ā₃ + А₁ Ā₂ А₃ + Ā₁ А₂ А₃ + А₁ А₂ А₃ ; 5) Е = А₁(А₂ + А₃)

Задача 7.

Террористы достали схему коммуникаций.

Обозначим А_i = {«i» элемент исправен}

i = .

Пусть А = {система работает}

Записать через А_i: 1) А; 2) Ā

Ответ: 1) А = (А₁ + А₂) * (А₃ А₄ + А₅ + А₆А₇) * А₈

3. Ā = Ā₁* Ā₂ + (Ā₃ + Ā₄) * Ā₅ * (Ā₆ + Ā₇) + Ā₈