Задача 4.

Три стрелка, вероятности попадания которых при одном выстреле в цель равны соответственно P₁=0,8; P₂=0,7; P₃=0,6, делаем по одному выстрелу в одну и ту же цель. Цель поражается с вероятностью 0,1 при одном попадании; с вероятностью 0,7 при двух попаданиях и с вероятностью 1 при трех попаданиях. Цель была поражена. Найти вероятность того, что было два попадания.

Решение.:

A={цель поражена}

Рассмотрим события:

A₁={в цель попал первый стрелок}

A₂={в цель попал второй стрелок}

A₃={в цель попал третий стрелок}

H₁={нет ни одного попадания}

H₁=₁₂₃

P()=0 (можно не вычислятьP(H₁) )

H₂={ровно одно попадание}

H₁=A₁₂₃+ ₁₂₃+ ₁₂A₃

P()=0,1

P(H₂)=P(A₁) P(₂)P(₃)+ P(₁)P(A₂)P(₃)+ P(₁)P(₂)P(A₃)=0,188

H₃={ровно два попадания}

P()=0,7

H₃= A₁₂₃+ A₁₂₃+ ₁₂A₃

P(H₂)=P(A₁) P(₂)P(₃)+ P(A₁)P(₂)P(₃)+ P(₁)P(₂)P(A₃)=0,452

H₄={ровно три попадания}

H₄=₁₂₃

P(H₄)=P(A₁)P(₂)P(₃)=0,336

P()=1

P(A)=P(H₂)P()+P(H₃)P()+P(H₄)P()

P(A)=0,1880,1+0,4520,7+0,3361=0,6712

P(===0,4714

Задача 5.

В группе 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 10 отличников, 7 подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовленные – 20, подготовленные удовлетворительно – 15, и плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти апостериорные вероятности гипотез:

H₁={студент подготовлен отлично или хорошо }

H₂={студент подготовлен удовлетворительно }

H₃={ студент подготовлен плохо}

Решение:

A={наудачу вызванный студент ответил на два вопроса

}

Гипотезы Hi	P(Hi)	P()	P(Hi)P()
={студент подготовлен отлично}		1	0,41=0,4
={студент подготовлен хорошо}			0,280,6(3)=0,1773
H2={студент подготовлен удовлетворительно}			0,20,35=0,07
H3={студент подготовлен плохо}			0,120,15=0,018
	1	──	P(A)=0,6653

H₁=

P(A)=PP+P()P+P(H₃)P()+P(H₄)P()=0,6653

P==

P==

P()=P()+P)=0,8677

P()=

P()=

Проверка:

Ответ:

P;

P;

P.

Задача 6.

Школа хочет заключить контракт с одной из охранных фирм. Мнения на педсовете в пользу одной из фирм распределились: 2:1:3. Каждая фирма гарантировала надежность охраны соответственно: 0,8; 0,9; 0,7. Соответственно цены услуг были разные.

1. Какова вероятность, что случайно выбранная (по жребию) фирма со своей задачей не справится?

2. Случайно выбранная фирма со совей задачей справилась. Вероятнее всего какая это была фирма?

Решение.

A={случайно выбранная фирма не выполнила поставленную задачу}

Гипотезы Hi	P(Hi)	P()	P(Hi)P()
H1={выбрана первая фирма}		0,2
H2={выбрана вторая фирма}		0,1
H3={выбрана третья фирма}		0,3
∑	1	─	P(A)=

P(A)=PP+P(H₂)P()+P(H₃)P()=

P()=1

P===

P===

P===

Проверка:

Ответ: вероятнее третья фирма.

Задача 7

В первом ящике 8 шаров : 5 белых и 3 черных. Во втором ящике 10 шаров : 4 белых и 6 черных. Из первого ящика во второй случайным образом переложили один шар, а затем из второго вынули три шара. Найти вероятность события :

А={хотя бы 1 шар будет белым}

Решение.

А={все три шара черные}

Гипотезы Hi	P(Hi)	Р(	P(Hi)*Р(
H1={выбрана первая фирма}		= =
H2={выбрана вторая фирма}		= =
∑	1	─	P()=

P()=P(H₁)P()+P(H₂)P()=

P(A)= 1- P()=0,8

Ответ : 0,8