Глава 8 Одномерная случайная величина непрерывного типа
§1 Основные понятия.
Если множество значений случайной величины Х есть некоторый интервал или объединение интервалов числовой оси, то говорят о непрерывной случайной величине.
Непрерывная случайная величина задается с помощью функции f(x), которая называется плотностью распределения вероятности. При этом:
1)f(x)
0
2)p
=
Замечание:
p
=
=0
Т.е. вероятность того, что значения непрерывной случайной величины попали в точку X=C, равна 0.
Основное
свойство функции плотности
Функция распределения непрерывной случайной величины
F(x)=P{X<x}=
P{-∞<X<x}=
Функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной для функции плотности f(x), т.е.
F`(x)=f(x)
Заметим,
что p{
=
вероятность попадания в интервал
численно равна площади криволинейной
трапеции под кривойf(x).
Часто функцию f(x) называют дифференциальным, а функцию распределения F(x) интегральным законами распределения непрерывной случайной величины.
Основные свойства функции распределения F(x) непрерывной случайной величины.
1.Область определения
D(F)=(-
)
2.Множество значений
E(F)=[0;1]
или (0;1), при этом
3.Монотонность:
Неубывающая:
т.е. если x1>x2,
F(x1)
F(x2)
[нет точек extr]
4.Непрерывная функция
5.Для вычисления вероятности попадания в интервал справедливы следующие формулы:
P{X<
}
=F(
P{X
}
= 1 - F(
P{
}
=P{
}
=P{
}
=P{
=F(
F(
)
Типовые графики:
f(x)
.
x
a
b
F(x)
a
1
b
x
S=1
F(a)=0
F(b)=1
1
f(x)
F(x)
1
S=1
2.
x
x
a
a
F(x)
f(x)
S=1
1
3
х
m
m
x
Числовые характеристики непрерывной случайной величины (формулы для вычисления)
M[X]=
[математическое
ожидание][предполагается,
что
сходится]
Если это требование не выполнено, то с.в. Х [не имеет математического ожидания]
D[X]=M[(X-mx)2] [дисперсия]
D[X]=
mx)2•f(x)dx
-среднее
квадратическое отклонение
:
-2]
– (mx)2=
2•f(x)dx
– (mx)2
Начальные моменты «кго» порядка
к=M[Xк]=
к•f(x)dx
«кго»
порядка
к=M[(X-mX)к]=
f(x)dx
Замечание:
Свойства математического ожидания и дисперсии рассмотренные в главе 6 для дискретной случайной величины, справедливы для непрерывной случайной величины.
Основные непрерывные распределения
Равномерное распределение на отрезке.R[a;b]
Случайная величина Х называется равномерно распределённой на отрезке [a;b], если её функция плотности задаётся формулой
f(x)=
F(x)=
функция
распределения
F(x)
1
M[X]=
;D[X]=
;X=
f(x)
x
a
b
a
b
x
Замечание: Равномерное распределение на отрезке [0;1] является стандартным. Существуют таблицы случайных чисел, распределённых равномерно на [0;1]. Стандартное распределение R[0,1] заложено в компьютерах, микрокалькуляторах, которые по специальным программам производят псевдослучайные числа, распределённые на [0;1]. Имеются формулы, программы, преобразующие равномерный закон распределения в другие законы.
Показательное распределение с параметром а
X
распределена
по показательному закону с параметром
а, если функция
плотности
задаётся формулой: f(x)=
f(x)
a
x
Функция распределения:
F(x)=
M[χ]=1/a; D[χ]=1/a2; σx=1/a
3)
Нормальное распределение (закон Гаусса)
с параметрами m,
σ
(обозначается:
N (m, σ) M[χ]=m; D[χ]= σ2
Случайная
величина χ распределена нормально с
параметрами m,
σ, если функция плотности задается
формулой
f(x)=
*
Если
m=0,
σ=1,
то имеем стандартизированную случайную
величину. Функция
плотности: (x)=
[есть таблица значений этой функции]
1
F(x)
Функция
распределения
1/2
F(x)=
m
X
Чтобы
найти значения функции распределения
используют таблицу значений функции
Лапласа
Ф(x)=
Ф(-x)=-
Ф(x)
Ф(х)=1/2
F(x)=0,5+Ф((x-m)/σ)
Основные формулы для вычисления вероятностей попадания в интервалы
1. Р{χ<α}=0,5+Ф((α-m)/σ)
2. P{χ>β}=0,5- Ф((β-m)/σ)
3. P{α<χ<β}=Ф((β-m)/σ)-Ф((α-m)/σ)
4. P{|χ-mx|<ε}=2Ф(ε/σ)
5. P{|χ-mx|<kσ}=2Ф(k)
В частности: Правило “3σ”: P{|χ-mx|<3σ}=2Ф(3)=0,9973
Замечание: Во многих задача инженерной практики считают допустимым пренебрегать вероятностями меньше, чем 1-0,9973=0,0027≈0,003