§ 2. Решение типовых задач

Задача 1.Предположим, что в течение года цены на акции некоторой компании подчинялись нормальному закону распределения с Математическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандартным отклонением (СКО), равным 6. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена на акцию: будет более 60 у.е.; менее 60 у.е. за акцию; выше 40 у.е. за акцию; между 40 и 50 у.е. за акцию.

Задача 2.Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, это нормальная случайная величина. Известно, что 65% контейнеров имеют чистый вес меньше, чем 4,2 тонны. Найти математическое ожидание и СКО.

4,9

Задача 3.Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение СВ Х контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется СКО. Считая, что для данной технологии=5 выяснить, сколько % годных деталей изготавливает автомат (Х – нормальная случайная величина).

Задача 4.В условиях предыдущей задачи выяснить, какой должна быть точность изготовления, чтобы % годных деталей повысить до 98%.

Задача 5 (Схема Бернулли). Менеджер ресторана по опыту знает, что 70% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 20 заказов, хотя в ресторане было лишь 15 свободных столиков. Чему равна вероятность того, что более 15 посетителей придут на заказанные места?

Задача 6. Компьютерная система содержит 45 одинаковых микроэлементов. Вероятность того, что любой микроэлемент будет работать в заданное время, равна 0,8. Для выполнения некоторой операции требуется, чтобы по крайней мере 30 микроэлементов были в рабочем состоянии. Чему равна вероятность того, что операция будет выполнена успешно?

Задача 7.

ХN(10;5).m=10 и=5. Найти симметричный относительноm_x интервал, в который с вероятностьюp=0,9974 попадет измеренное значение.

§ 3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Скорость движения автомобилей по автомагистрали это нормальная СВ. Известно, что 60% движется со скоростью более 85 км/ч, а 20 % менее чем 70 км/ч. Найти среднюю скорость движения по автомагистрали и среднее квадратичное отклонение

(Ответ: m=91,355 км/ч, =25,42).

Задача 2

Менеджер автосалона знает, что 80% людей, записавшихся на тест-драйв автомобиля придут на пробный заезд. Один раз он решил принять 12 заказов, хотя машин было всего 8. Какова вероятность того, что придет более восьми человек?

(Ответ: С вероятностью 0,624 придет более 8 человек).

Задача 3

В течение трех лет цены на электричество подчинялись нормальному закону распределения. M[X]=150,=15. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день цена на электричество будет больше 200 у.е., меньше 200 у.е., или находится в интервале от 145 до 165 у.е.

.(Ответ: P{X>200}=0; P{X<200}=1;P{145<X<165}=0,45)

Задача 4

Пуля, выпущенная стрелком, считается достигшей цели, если отклонение случайной величины Х от этой цели не превышает 3 см. Сколько процентов попаданий в цель совершает стрелок? Среднее квадратичное отклонение равно 2. Х (СВ нормально распределенная) - расстояние от цели до точки попадания

(Ответ: p=0,866)

Задача 5

Студентам допускается опоздать на лекцию на 15 минут. В связи с этим получается, что студент допущен на лекцию, если отклонение СВ Х от номинала не превышает 15 мин. =7. Выясните, сколько процентов студентов допущены прослушать лекцию.

(Ответ: 97% студентов)

Задача 6

Известно, что 70% от всех купивших билет, приходят в театр. Стоит ли рисковать театру и выпускать дополнительные 7 билетов, если он имеет всего 23 места?

(Ответ: риск того, что в театре не хватит места для всех – 11,5%).

Задача 7

В электрической цепи 10 элементов, она будет работать, если сработает хотя бы 8. Вероятность срабатывания элемента – 80%. Какова вероятность того, что электрическая цепь будет работать?

(Ответ: р=0,44295)

Задача 8

Предположим, что доход собственника (сдача в аренду квартиры) в течение года подчиняется нормальному закону распределения. M[X]=450,=160. Чему равна вероятность того. Что в случайно выбранный месяц доход превысит 500 у.е. или будет меньше этой цифры, или же будет в интервале от 470 до 510 у.е.

(Ответ: P{X>500}=0,38; P{X<500}=0,62; P{470<X<510}=0,097)

Задача 9

Количество метров обоев в стандартном рулоне – нормальная случайная величина. Известно, что 91% рулонов включают в себя больше 10 метров обоев, а 5% - меньше 9,5 метров. Найдите математическое ожидание и СКО.

(Ответ: m=12,25 у.е., =1,67)

Задача 10

Работа аппарата по нарезанию бумаги считается исправной, если отклонение СВ Х от номинала составляет менее 2 мм. Известно, что СКО равно 0,74. Выясните, сколько процентов нарезанной автоматов бумаги соответствует номинальным размерам. Х – размер бумаги, нормальная случайная величина

(Ответ: 99,2%).

Задача 11

Объем лимонада, разливаемого в бутылку, - нормальная случайная величина. Известно, что 75% бутылок вмещают объем 1,5 л, а 10% вмещают объем менее 0,5 л. Найти математическое ожидание и СКО

.(Ответ: m=2,61 л, =1,64).

Задача 12

Преподаватель ВУЗа по опыту знает, что 80% студентов, которые записались на курсовую работу, будут писать эту работу у него. В один год преподаватель решил принять 20 студентов, но свободных мест было только 10. Чему равна вероятность того, что к нему придет больше 10 записавшихся студентов?

(Ответ: p=0,984)

Задача 13

Парикмахер, работающий в салоне красоты, по опыту знает, что 85% записавшихся на стрижку придут. Однажды он решил записать на стрижку 20 желающих, хотя фактически он успевают обслужить только 17 человек. Какова вероятность того, что предварительно записавшихся придет больше 17?

(Ответ: р=0,24).

Задача 14

Курс рубля по отношению к доллару подчиняется нормальному закону. Среднее значение курса равняется 26; его среднеквадратичное отклонение составляет 5. Какова вероятность, что в случайно выбранный день курс будет выше 30; ниже 30; между 20 и 30?

(Ответ: P{X<30}=0,78814; P{X>30}=0,21186; P{20<X<30}=0,67).

Задача 15

Размер шпрот в банке задан полем допуска 7-10 см. Средний размер одной рыбы 8,7 см, а среднее квадратичное отклонение равно 0,8. Считая, что размер рыбы подчиняется нормальному закону, определить вероятность появления брака по заданному размеру (Ответ: вероятность брака равна 0,06962).

Задача 16

Вес нефти в цистернах есть нормальная случайная величина. Известно, что 55% цистерн имеют чистый вес больше, чем 3,5 тонны, а 25% цистерн имеют вес меньше, чем 2,5 тонны. Найти средний вес нефти и СКО

. (Ответ: m=3,74 т., =1,82)

Задача 17

В магазин обуви поступила новая коллекция туфель. Размер туфель – нормальная случайная величина. Известно, что 70% обуви с размером больше 38, а 10 % - с размером меньше 35. Найти средний размер туфель и СКО.

(Ответ: m=40,0921, =3,94)

Задача 18

Вес апельсинов, сложенных в ящики определенного размера – это нормальная случайная величина. Известно, что 30% ящиков имеют вес меньше 5 кг, а 40% - имеют вес более 10 кг. Найти математическое ожидание и СКО.

(Ответ: m=8,35; =6,329).

Задача 19

Продавец в киоске Роспечати знает, что 85% человек, попросивших оставить им номер журнала, придут его выкупить. Но однажды, продавец ошибочно заказал 30 журналов, хотя получил 45 заявок. Какова вероятность того, что за журналом придут более 30 человек?

(Ответ: вероятность равна 0,996).

Задача 20

Авиакомпания продала 210 билетов на самолет, вмещающий 150 пассажиров, при этом ровно четверть купивших билет обычно не приходят на регистрацию. Определить вероятность того, что придут более 150 человек

(Ответ: p=0,85).

Задача 21

Предположим, что водоснабжение в доме в течение года подчинено нормальному закону распределения. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день потребление воды будет больше 100 куб., меньше 100 куб. или в интервале от 50 до 80 куб. Математическое ожидание равно 49 куб., а СКО равно 34.

(Ответ: P{X>100}=0,067; P{X<100}=0,933; P{50<X<80}=0,31061).

Задача 22

Известно, что в течение года цены пая одного из ПИФов подчиняются нормальному закону распределения. Математическое ожидание равно 930 у.е., а СКО равно 60. Найдите вероятность того, что в случайно выбранный день цена пая будет больше 1020 у.е., меньше 1020 у.е, в интервале от 1000 до 1010 у.е.

(Ответ: P{X>1020}=0,067; P{X<1020}=0,933; P{1000<X<1010}=0,029).

Задача 23

В текущей рыночной ситуации фирма будет считать удачным любой вариант проекта, отклонение от стоимости которого не превышает 9 млн. рублей. Сколько процентов вариантов проекта будут удачными, если стандартное отклонение равно 4? (Ответ: p=0,97556).

Задача 24

Вес клубня картофеля есть нормальная случайная величина. Известно, что 70 % клубней имеют вес больше 100 г, а 15% имеют вес меньше 70 г.. Найти математическое ожидание и СКО

. (Ответ: m=131,2, =58,8).

Задача 25

Блюдо в ресторане считается приготовленным по раскладке, если отклонение СВ Х, где Х – вес блюда, приготовленного по раскладке, от номинальной не превышает 10 гр, =4. Сколько процентов блюд повар изготавливает по раскладке?

(Ответ: р=0,98758).

Задача 26

Известно, что 60 % людей, записавшихся на пробное занятие в школу танцев будут и дальше брать уроки. Однажды мастер решил пригласить на первое занятие 50 человек, хотя набирается группа в 28 человек. Определить вероятность того, что в группу запишутся более 28 человек.

(Ответ: р=0,6

Задача 27

По некоторым данным, 80% клиентов, заранее забронировавших номер в отеле, затем останавливаются в нем. Из-за большого количества звонков и просьб забронировать номер, администратор отеля принял 35 заявок, хотя свободных номеров было только 29. Найти вероятность того, что в отель прибудут более 29 человек, забронировавших номера. (Ответ: р=0,3357).

Задача 28

Известно, что 75% людей, прошедших стажировку в компании, продолжают работать в этой компании. Однажды, работодатель предложил пройти стажировку 15 людям, хотя для работы требовалось только 10. Чему равна вероятность того, что более 10 человек пройдут стажировку и захотят работать в компании?

(Ответ: р=0,773).

Задача 29

Известно, что 80% посаженных тыквенных семян на грядке вырастет. Однажды бабушка решила посадить 20 семян, хотя места в погребе рассчитано максимум на 15 тыкв. Какова вероятность того, что вырастет более 15 тыкв?

(Ответ: р=0,48745).

Задача 30

Хлебопекарня изготавливает булочки. Средняя масса одной булочки составляет 55г (0,055кг). Найти среднеквадратичное отклонение, если 10% булочек имеют массу > 60г (0,06кг). Х – масса булочек N(m,).

Ответ: σ=3,846.

Задача 31

Банки тушенки упаковываются в коробки для доставки в магазин. Найти средний вес выборки, если среднеквадратичное отклонение = 0,09, а 30% банок имеют массу меньше 0,45кг. Х – масса коробок N(m,).

Ответ: m=0,4977 при ;m=0,4968 при

Задача 32

Набор в баскетбольную команду осуществляется на основе нескольких параметров, одним из которых является рост. Среднеквадратичное отклонение от «стандартного» (для баскетбола) равно 10см, а вероятность того, что рост меньше 185см, равна 10%. Определить средний рост участников команды, если распределение подчиняется нормальному закону.

Ответ: m=198

Задача 33

В районе примерно 10 продуктовых ларьков со схожим ассортиментом. Суммарная суточная выручка в среднем составляет 20000 руб., и в 90% отличается от 20000 руб. не более чем на 3000 руб. найти вероятность того, что очередная суточная суммарная выручка окажется меньше 16000 руб. Х – суммарная выручка N(m,).

(Ответ:

Задача 34

Что бы салат был вкусным, содержание в нем зеленого горошка не должно отклоняться от указанного в рецепте более чем на 50 гр. Точность, с которой хозяйка следует рецептуре, характеризуется =20. Выяснить, сколько процентов домохозяек делают вкусный салат. Х – масса горошкаN(m,)

. (Ответ:

ПРИЛОЖЕНИЕ:.Таблица I. Значения нормированной функции Лапласа

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0.0	0.00000	00399	00798	01197	01595	01994	02392	02790	03188	03586
0.1	03983	04380	04776	05172	05567	05962	06356	06749	07142	07535
0.2	07926	08317	08706	09095	09483	09871	10257	10642	11026	11409
0.3	11791	12172	12552	12930	13307	13683	14058	14431	14803	15173
0.4	15542	15910	16276	16640	17003	17364	17724	18082	18439	18793
0.5	19146	19497	19847	20194	20540	20884	21226	21566	21904	22240
0.6	22575	22907	23237	23565	23891	24215	24537	24857	25175	25490
0.7	25804	26115	26424	26730	27035	27337	27637	27935	28230	28524
0.8	28814	29103	29389	29673	29955	30234	30511	30785	31057	31327
0.9	31594	31859	32121	32381	32639	32894	33147	33398	33646	33891
1.0	34134	34375	34614	34849	35083	35314	35543	35769	35993	36214
1.1	36433	36650	36864	37076	37286	37493	37698	37900	38100	38298
1.2	38493	38686	38877	39065	39251	39435	39617	39796	39973	40147
1.3	40320	40490	40658	40824	40988	41149	41308	41466	41621	41774
1.4	41924	42073	42220	42364	42507	42647	42785	42922	43056	43189
1.5	43319	43448	43574	43699	43822	43943	44062	44179	44295	44408
1.6	44520	44630	44738	44845	44950	45053	45154	45254	45352	45449
1.7	45543	45637	45728	45818	45907	45994	46080	46164	46246	46327
1.8	46407	46485	46562	46638	46712	46784	46856	46926	46995	47062
1.9	47128	47193	47257	47320	47381	47441	47500	47558	47615	47670
2.0	47725	47778	47831	47882	47932	47982	48030	48077	48124	48169
2.1	48214	48257	48300	48341	48382	48422	48461	48500	48537	48574
2.2	48610	48645	48679	48713	48745	48778	48809	48840	48870	48899
2.3	48928	48956	48983	49010	49036	49061	49086	49111	49134	49158
2.4	49180	49202	49224	49245	49266	49286	49305	49324	49343	49361
2.5	49379	49396	49413	49430	49446	49461	49477	49492	49506	49520
2.6	49534	49547	49560	49573	49585	49598	49609	49621	49632	49643
2.7	49653	49664	49674	49683	49693	49702	49711	49720	49728	49736
2.8	49744	49752	49760	49767	49774	49781	49788	49795	49801	49807
2.9	49813	49819	49825	49831	49836	49841	49846	49851	49856	49861

x	3.0	3.5		4.0		5.0
	0.49865	0.49977	0.499968		0.49999997

Таблица II. Квантили нормального распределенияN(0;1)

p	0.90	0.95	0.975	0.99	0.995	0.999	0.9995
	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	3.090	3.291

1