Задача 8

У вкладчика Иванова остаток счёта на 1 мая был 5000 рублей,

1 июля он дополнительно внёс 400 рублей ,а на 1 октября –ещё

2000рублей.Какова средняя величина вклада за полугодие с 1 мая

по 30 октября?

Ответ: 1/6(5200*2+5400*3+7400*1) =5800.

Задача 9

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,3.

За каждое попадание в цель стрелок получает 21 рубль.

была безобидной?

Ответ Х-выигрыш игрока при одном выстреле.

Х	21	Х
Р	0,3	0,7

Безобидная играM[X]=0х=-9.

Вывод: За каждый промах нужно платить 9 рублей.

Задача 10

Два игрока А и В повторяют партию до тех пор, пока один из них не проиграет всех денег. У игрока А 1000 рублей, у игрока В 2000 рублей.

Найдите вероятность разорения игрока В.

Ответ: Х-выигрыш игрока В

Х	1000	-2000
Р	Р	q

M[x]=0 (безобидная игра); P{X=—2000}=1/3 (разорение игрока В ).

Задача 11

Некоторое предприятие планирует реконструкцию и расширение производства для выпуска новой продукции. Руководство предприятия должно определить стратегию реконструкции и выбрать один из двух проектов, предусматривающих большие и умеренные капитальные вложения. Неопределённость заключается в том, что спрос на новую продукцию, которую собирается выпускать предприятие, неизвестен. Будущий спрос может быть низким, умеренным и высоким. Вероятности спроса оцениваются как 0,20; 0,50; 0.30

соответственно.

Пусть Х означает ежегодный доход 1000 условных денежных единиц.

Предприятие планирует следующий доход для проектов с большими и

умеренными капитальными вложениями:

СПРОС	Доход при значительных вложениях		Доход при умеренных вложениях
	Х1	Р1	Х2	Р2
	0	0,20	50	0,20
	100	0,50	150	0,50
	300	0,30	200	0,30

1. Вычислить ожидаемое среднее значение дохода при двух альтернативных типах реконструкции предприятия. Какое решение предпочтительнее для максимизации ожидаемого дохода?

2. Вычислить дисперсию дохода для двух альтернативных проектов. Какое решение Вы предпочтете для минимального риска и неопределённости?

Ответ : M[X₁]=140; M[X₂]=145; D[X₁]=12400; D[X₂}=2725.

Т.К. D[X₂]  D[X₁] , то предпочтительнее Х₂.

Задача 12.

В карточной игре игрок, который извлекает из колоды карт ( 52 карты) валета или даму , выигрывает 15 очков; тот, кто вытащит короля или туза, выигрывает 5 очков. Игрок, который достанет любую другую карту., проигрывает 4 очка.

Если Вы решили участвовать в этой игре, определите сумму очков ожидаемого выигрыша.

Ответ: Х-число очков. M[X]=4/13/

Х	15	5	-4
Р	8/12	8/52	36/52
	Валет или дама	Король или туз	Любая другая карта

Задача 13

Доход некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около

1000 условных денежных единиц и задаётся рядом распределения:

Х	-2000	-1000	0	1000	2000	3000
Р	0,1	0,1	0.2	0,2	0.3	0,1

Замечание:

-2000, -1000 означают убыток.

1. Какой наиболее вероятностный денежный доход рискованного бизнеса?

2. Является ли этот риск вероятностно успешным? (Объясните).

3. Чему равен на длительный период средний доход от этого бизнеса?

4. Какова хорошая мера риска вложений в такое рискованное предприятие? Почему? Вычислите эту меру.

Ответ: Х-доход рискованного бизнеса.

Y=Х-1000-наиболее вероятностный доход рискованного бизнеса.

Y	-3000	-2000	-1000	0	1000	2000
Р	0,1	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1

M[Y]=-2M[Y]=M[X]-1000M[X]=800

В среднем выигрыш составит 800 у.е.

_х- мера риска;_х=_y=1131,37085.

Задача 14

Согласно статистическим данным вероятность того, что 25-летний человек проживёт ещё один год, равна 0,998.Страховая компания предлагает 25 летнему человеку застраховаться на сумму 1000000 рублей.

Страховой взнос равен 300 рублей.

Какую прибыль ожидает получить компания при страховке одного

25 летнего человека?

Ответ: Х-платёж ГОССТРАХА.

Х	3000	-1000000
Р	0,998	0,002

M[X]=1000 рублей.

Задача 15 ( биномиальное распределение)

В налоговую инспекцию поступила информация, что в фирме «А» 20% списочного

состава – «мёртвые души»

.Проверяющий инспектор отбирает случайным образом 4 наряда на выполнение работы и ищет работников, на которых они были выписаны.

Х-число фиктивных работников. Найти:

1. Ряд распределения.

2. Математическое ожидание:M[2*X-3].

3. Дисперсию:D[5-0.5*X].

Ответ: p=0,2;q=0,8

х	0	1	2	3	4
Р	0,4096	0.4096	0.1536	0.0256	0.00016

M[X]=n*p=4*0,2=0,8M[2*X-3]=2*0,8-3=-1.4.

D[X]=n*p*q=0,64D[5-0,5*Х]=0,25*D[X]=0.390625.

Задача 16

Страховой агент планирует посетить за день пять клиентов и верит, что вероятность продать страховой полис каждому из них равна 0,4.

1. Составьте биномиальный ряд распределения продаж страховых полисов Х число проданных полисов

2. Найти функцию распределения F(х) и построить график.

3. Найти P{2≤X≤4}/

4. M[X]; _x.

5. Сколько надо посетить клиентов, чтобы продать хотя бы один полис с вероятностью не менее 0,9?

Ответ:3) P{2≤X≤4}=0.6528; 4) M[X]=2;х1,1; 5)n3

Задача 17(распределение Пуассона

Прибытие посетителей в банк подчиняется закону Пуассона .В среднем в банк каждые три минуты входит один посетитель.

Х – число посетителей.

1. Составить ряд распределения.

2. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, три посетителя войдут в банк в течение одной минуты?

Ответ:=1/3; P{X3}=0,003624.

Задача 18

В некотором универмаге осуществляется контроль чеков.

Покупатели подходят к кассе в соответствии с распределением Пуассона в среднем 7 человек в час.

Чему равна вероятность того., что войдёт :

1. не более чем три покупателя,

2. по крайней мере, 2 покупателя,

3. 5 покупателей.

Ответ: =7 а) P{X≤3}=0,0817;bP{X2}=0,9927;с) P{X=5}=0,1277.

Задача 19

Три квалифицированных рабочих обратились за помощью в поисках работы в службу занятости. Вероятность того, что каждый из них в течение месяца получит работу

, соответственно равна: 0,5; 0.6; 0,7.

Х – число рабочих, получивших работу.

1. Составить ряд распределения.

2. Найти математическое ожидание M[X].

3. Найти дисперсию D[X].

Ответ: 1)

Х	0	1	2	3
Р	0,06	0,29	0,44	0,21

2)M[X]=1,8; 3) D[X]=0.7

Задача 20(геометрическое распределение)

Исследования в некотором регионе показали, что Кока-кола занимает 40,9% рынка безалкогольных напитков.

Исследователи рынка собираются провести новое исследование, чтобы проверить вкус и предпочтения потребителей Кока-колы.

Потенциальные участники отбираются случайным образом среди потребителей безалкогольных напитков. Опыты проводятся до первого любителя Кока-колы.

Х – число опытов.

1. Составить ряд распределения Х .

2. Чему равна вероятность, что первый опрошенный пьёт Кока-колу ?

3. Чему равна вероятность того, что пришлось опрашивать троих?

4. Математическое ожидание M[X]

Ответ:1)р=0.409

Х	1	2	3	4
Р	0,409	0.2417	0.1428	0,0844

2)P{X=1}=0,409;3) P{X=3}=0.1428;4)M[X]=1/р2,44.

Задача 20.(гипергеометрическое распределение)

Из 10 лотерейных билетов выигрышными являются 3.

Составить закон распределения числа выигрышных билетов среди наудачу купленных 4 билетов.

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

Х	0	1	2	3
Р	1/6	1/2	3/10	1/30

M[X]=1,2; D[X]=0,56

Задача 21

Фирма предлагает в продажу со склада партию из 10 компьютеров, 4 из которых с дефектами. Покупатель приобретает 5 из них, не зная о возможных дефектах. Х – число дефективных компьютеров .

Найти: Закон распределения Х.

1. Чему равна вероятность того. что все компьютеры годные?

2. Ремонт одной дефективной машины будет стоить $50.Найти математическое ожидание и дисперсию общей средней стоимости ремонта

.Ответ:1)

Х	0	1	2	3	4
Р	1/42	5/21	10/21	5/21	1/42

2)Р{X=0}=1/42; 3)Y=50XM[Y]=50*M[X]=$100; D[Y]=2500D[X]=$1,6667.