Вектора, Геометрия
.doc1. Вектора
= (x2
–x1; y2–y1;
z2–z1)
Длина вектора
или
Направляющие косинусы вектора
Единичный вектор
Орт
вектора
|
Скалярное произведение |
Векторное произведение |
Смешанное произведение |
|
Число
|
Вектор
|
Число
|
|
Свойства:
1)
2)
3)
|
Свойства:
1)
2)
|
Свойства:
1)
2)
3)
|
|
Приложения: Угол между векторами
Проекция вектора на вектор
|
Приложения: Площадь параллелограмма
|
Приложения: Объем параллелепипеда и пирамиды
V =
Vпир = |
= 
cos
= 
= 
2;
= 0,
если
;
= 
;
;
,
если
,
если вектора компланарны
2. Прямая на плоскости
Основные типы уравнений прямых на плоскости
|
Название |
Уравнение |
Что дано |
Иллюстрация |
|
Общее |
Ах + Ву + С = 0 |
|
Коэффициенты А и В – координаты
нормального вектора
|
|
С угловым коэффициентом |
|
угловой коэффициент k или угол наклона α |
b – ордината точки пересечения прямой с осью ОУ
|
|
В данном направлении |
|
угловой коэффициент k или угол наклона α |
|
|
Через две точки |
|
|
|
|
В отрезках |
|
Прямая отсекает на координатных осях отрезки a и b |
|
|
Перпендикулярно вектору |
|
|
|
|
Каноническое |
|
|
|
|
Полярное |
|
р – расстояние от начала координат
до прямой,
|
|
|
Нормальное |
|
р – расстояние от начала координат
до прямой,
|
Нормирующий множитель
(общее→нормальное)
|
– угловой коэффициент,
,
– нормальный вектор
– направляющий вектор
– угол отклонения перпендикуляра р
от координатной оси
– угол отклонения перпендикуляра р
от оси ОХ
Основные задачи на плоскости
1. Расстояние между точками
и
2. Площадь треугольника
с вершинами в точках
,
,
3. Деление отрезка в данном отношении λ
4. Угол
между прямыми
и
5. Параллельность и перпендикулярность прямых
6. Расстояние от точки
до прямой
:
Ах + Ву + С = 0
3. Основные виды кривых второго порядка на плоскости
|
Название кривой |
Вид уравнения |
Основные сведения о кривой |
Вид кривой |
|
Окружность |
|
R – радиус
Центр в точке
|
|
|
Эллипс |
|
a – большая полуось, b – малая полуось
Вершины эллипса А(а; 0), А’(–a; 0), В(0; b), В’(0; –b)
с – фокусное расстояние,
Фокусы F1(c; 0), F2(–c; 0) e
– эксцентриситет,
|
|
|
Гипербола |
|
a – действительная полуось, b – мнимая полуось
Вершины гиперболы А(а; 0), А’(–a; 0),
с – фокусное расстояние,
Фокусы F1(c; 0), F2(–c; 0)
e – эксцентриситет,
Асимптоты
|
|
|
Парабола |
|
р – параметр параболы ОХ – ось симметрии Фокус F(р/2; 0) Директриса y = –p / 2 |
|
|
|
р – параметр параболы ОУ – ось симметрии Фокус F(0; р/2), Директриса y = –p / 2 |
|
Уравнение
всегда определяет:
– окружность, при А = С,
– эллипс, при АС>0,
– гиперболу, при АС<0,
– параболу, при АС = 0.
При этом возможны случаи вырождения:
– для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность);
– для гиперболы – в пару пересекающихся прямых;
– для параболы – в пару параллельных прямых.
4. Прямая и плоскость в пространстве
Основные типы уравнения плоскости в пространстве
|
Название уравнения |
Вид уравнения |
Что дано |
Примечание |
|
Общее уравнение плоскости |
|
|
|
|
Уравнение плоскости, проходящее через заданную точку, перпендикулярно данному вектору |
|
нормаль
|
|
|
Уравнение плоскости, проходящей через три точки |
|
|
|
|
Уравнение плоскости в отрезках |
|
а – по Ox, b – по Оу, с – по Оz. Отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат |
|
|
Нормальное уравнение плоскости |
|
р – расстояние от начала координат до плоскости
|
|
– нормальный вектор плоскости или
нормаль
,
.
– произвольная точка
– произвольная точка
– углы, образованные вектором
с осями Ox, Oy,
Oz.
–
единичный вектор, направленный по
перпендикуляру ОК = р,
опущенному на плоскость из начала
координат
Основные типы уравнения прямой в пространстве
|
Название уравнения |
Вид уравнения |
Что дано |
Примечание |
|
Общее уравнение прямой |
|
|
|
|
Векторное уравнение прямой |
|
направляющий вектор
|
|
|
Параметрическое уравнение прямой |
|
направляющий вектор
|
|
|
Канонические уравнения прямой |
|
направляющий вектор
|
|
|
Уравнение прямой, проходящей через две точки |
|
|
|
и
– нормали пересекающихся
плоскостей
,
,
параллельный прямой
произвольная точка на прямой,
,
.
,
,
параллельный прямой
– параметр
,
,
параллельный прямой
Основные задачи в пространстве
1. Угол между плоскостями
,
,
2. Параллельность и перпендикулярность плоскостей
Если 
Если 
3. Расстояние от точки до плоскости
,
.
4. Угол между двумя прямыми
5. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Если 
.
Если 
6. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости
,
,
Тогда 
7. Угол между прямой и плоскостью
Пусть
= (
^
),
,
тогда
8. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости
Аm + Вn + Cp = 0
9. Пересечение прямой и плоскости
Приводим уравнение прямой к параметрическому виду:
.
Далее подставляем найденные значения x, y, z в уравнение плоскости
.
Находим параметр t.
Для полученного значения t находим координаты точки пересечения, подставляя t в параметрические уравнения прямой.
10. Взаимное положение прямой и плоскости
, 
Если 
Если 
Если 
5. Основные виды поверхностей второго порядка
|
Название поверхности |
Уравнение поверхности |
Вид поверхности |
|
Сфера |
|
|
|
Эллиптический цилиндр |
|
|
|
Параболический цилиндр |
|
|
|
Гиперболический цилиндр |
|
|
|
Эллипсоид |
|
|
|
Однополостный гиперболоид |
|
|
|
Двуполостный гиперболоид |
|
|
|
Конус |
|
|
|
Эллиптический параболоид |
|
|
|
Гиперболический параболоид |
|
|
