§3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Детали на производстве сортируются на 4 группы по величине отклонений от номиналов двух существенных параметров.

Отклонения ранжируются. Ранги Х и У отклонений могут принимать лишь значения 0 и 1.Распределение двумерной случайной величины (Х;У) задано таблицей :

Х У	0	1
0	0,94	0,01
1	0,02	0,03

Найти коэффициент корреляции R[ X;Y]=_xy ,называемый ранговым.

Ответ: _xy=0,66

Задача 2

Х и У –индикаторы событий А и В, означающих положительные ответы соответственно на вопросы

• и  социологической анкеты. По данным социологического опроса двумерная случайная величина (Х;У) имеет следующую таблицу распределения :

Х У	0	1
0	0,3	0,1
1	0,2	0,4

Здесь положительному ответу присвоен ранг 1, отрицательному -0.

Найти коэффициент корреляции R[ X;Y]=_xy

Ответ: _xy=0,408

Задача 3

Х и У независимые случайные величины заданы таблицами:

Х	1	2	3
Р	0,5	0,1	0,4

У	0	2
Р	0,5	0,5

1. Найти таблицу распределения двумерной случайной величины (Х;У).

2. Найти центр распределения М(m_x; m_y).

3. Найти значение функции распределения в точках М₁(1,1);

М₂(2,1); М₃(3;3).

4)Найти вероятности выполнения неравенств:Х+У>2; Х²+У²≤5

5)Найти R[X;Y].

6) Найти регрессии (x) и (y)

7)Описать закон распределения случайной величины Z=X+Y.

Ответ:1)

Х У	0	1
1	0,25	0,25
2	0,05	0,05
3	0,2	0,2

2)М(1,9; 1); 3)F(M₁)=0; F(M₂)=0,25; F(M₃)=0,6; 4)P{X+Y>1}=0,75; P{X²+Y²≤5}=0,55; 5)R[X;Y]=0; 6)(x)=1; (y)=1,9. 7)

Z	1	2	3	4	5
P	0,25	0,05	0,45	0,05	0,2

В задачах 4; 5;6; 7 найти:

1. Найти безусловные законы распределения компонент Х и У.

2. Найти центр распределения M(m_x;;m_y).

3. Проверить условие зависимости Х и У.

4. Найти числовые характеристики: D_x; D_y; _х; _у; K[X;У] (момент корреляции).Полученные результаты записать в виде корреляционной матрицы: К=, заметим, чтоK[X;Y]=K[Y;X].

5. Найти коэффициент корреляции R[X;Y] и определить степень линейной зависимости между Х и У .

6. Найти значение функции распределения F(x;y) в указанных точках:

7. Найти вероятности попадания значения (Х;У) в указанные области:

8. Найти условные законы распределения Х/У, У/Х.

9. Найти регрессии (у) и(х).

Задача 4

х У	-1	0	2
-1	0,3	0.2	0
1	0.1	0,1	0.3

6) М₁(0,5; 0); М₂(0;1); М₃(2;2).

7)Р{X*Y≤1}=?

Ответ:1)

Х	-1	1
Р	0,5	0,5

У	-1	0	2
Р	0,4	0.3	0,3

2. M(0;0,2)

3. Х и У зависимы

4. )К=

5. R[X;Y]≈0,64

6. F(M₁)=0,3; F(M₂)=0,5; F(M₃)=0,7;

7. Р{X*Y≤1}=0,7.

8)

Y/X	-1	0	2
P{Y/X=-1}	0,6	0,4	0
P{Y/X=1}	0,2	0,2	0,6

8. (х).=

Задача 5

Х У	0	2
1	0.25	0,25
2	0,05	0,05
3	0,2	0.2

6)М₁(1;1); М₂(2;1); М₃(3;3);

7)Р{X+Y3}; P{X²+Y²≤4}

Ответ:2)М(1,9;1);3) Х и У независимы;4)К=; 6)F(M₁)=0; F(M₂)=0,25

F(M₃)=0,6; 7) Р{X+Y3}=0,45; P{X²+Y²≤4}=0,3;8)P{Y/X}=P{Y};P{X/Y}=P{X}9)(у).=1,9

Задача 6

Х У	1	2
2	0,3	0.5
3	0,1	0,1

6)М₁(3;2); М₂(4;1); М₃(2,5;1.5); 7)Р{Х+У≤4}

Ответ:2)М(2,2; 1,6);3)Х и У зависимы;4) К=;5)R[X;Y]=-0,1

6)P(M₁)=0,3; P(M₂)=0; P(M₃)=0,3; 7) Р{Х+У≤4}=0,9;9)(у)=

Задача 7

Х У	0	2	3
1	0,1	0,2	0.1
2	0,2	0	0,2
3	0	0.1	0,1

6)М₁(2;2); М₂(3;3);М(1;3);7)Р{Y≤X²}

Ответ: 2)М(1,8;1,8);3)Х и У зависимы;4)К=5)R[X;Y]≈0,17

6)F(M₁)=0,3; F(M₂)=0,5; F(M₃)=0; 7)Р{Y≤X²}=0,7;9)(х).=

Задача 8

Заполнить таблицу распределения двумерной случайной величины (Х;У), если известны значения функции распределения в заданных точках:

F(0;0)=0,2; F(1;2)=0,3; F(3;1)=0,4; F(5;0)=0,7; F(3;2)=0,6.

Найти а) P{X+Y≤2}; b)M[X+2*Y+X*Y]

X Y	-1	1
-1
2
4

Ответ:

х у	-1	1
-1	0.2	0,1
2	0,2	0.1
4	0.3	0.1

а) P{X+Y≤2}=0,5 b) M[X+2*Y+X*Y]=0,2.