2. Неравенство Чебышева
X– любая случайная величина
M[X]=m;D[X]=2
P{X-m≥}≤2/2
P{X-m}1- 2/2
3. Неравенство Бернулли
Схема Бернулли
Проводится
«n» испытаний. Возможны
только два исхода A(
).
P(A)=P;
Р(
)=1-p=q.X- число появлений A в «n»
испытаниях. Распределение Бернулли:.
P{X=k}=
.
M[x]=n*p;D[x]=n*p*q
P{X-n*p}
- неравенство Чебышева-БернуллиP{X-np}1-npq/2 – неравенство Бернулли-Чебышева
Пусть
А появилось «к» раз в «n» испытаниях
- относительная
частота, тогда:
– неравенство Бернулли
Это неравенство дает оценку вероятности отклонения относительной частоты от вероятности Pв условиях схемы Бернулли.
4. Теорема Чебышева для последовательности независимых СВ
Пусть X1,X2,…Xn - независимые случайные величины.
Пусть M[X1]=
,M[X2]=
,…,M[Xn]=
D[Xi]≤c(дисперсии ограничены в совокупности)
Обозначим
Теорема
Чебышева :
;
[сходится
по вероятности]
5. Частный случай
X1,X2,…,Xn M[Xi]=m;D[Xi]=Dдляi:
§ 2. Решение типовых задач
Задача 1.
Вероятность того, что покупателю обувного магазина потребуются модельные туфли 34 размера равна 0,02. Необходимо оценить вероятность того, что среди 2000 побывавших в магазине доля покупателей, которым нужны такие туфли, отклоняется от 0,02 меньше, чем на 0,05.
Задача 2.
Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумаги, продаст их, равна 0,6. При каком числе ценных бумаг вероятность отклонения доли проданных средних отклонимся от 0,6 не более, чем на 0,3 (не меньше 0,94)
Задача 3
Пенсионный вклад в сбербанке в среднем составляет 5000руб. Определите вероятность того, что случайно выбранный вклад не превышает 50 000руб.
Х-пенсионный вк
лад
M[X]=5000
Задача 4
В результате анализа торговой деятельности некоторого магазина установлено, что среднемесячные издержки обращения составляют 300 у.е. Оцените вероятность того, что в очередном месяце издержки не выйдут за пределы 280-320 денежных единиц. Известно, что дисперсия издержек равна 16 ден.ед.
Задача 5
Оцените вероятность того, что при 1000 бросаниях монеты герб появится от 400 до 600 раз.
Задача 6
Даны три случайные величины:
|
X |
0 |
10 |
20 |
|
Pi |
1/4 |
1/2 |
1/4 |
Значение Х берутся 1000 раз
|
Y |
-20 |
0 |
40 |
|
Pi |
1/4 |
1/2 |
1/4 |
Значение У берутся 2000 раз
|
Z |
-10 |
0 |
20 |
40 |
|
Pi |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
Значение Z берутся 3000 раз
§ 3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1
Вероятность
того, что в автосалоне из всех представленных
моделей покупателю автомобиля потребуется
BMW X5 равна 0,04 (
).
Оцените вероятность того, что среди
3000 побывавших в магазине посетителей
доля покупателей, кому нужна данная
марка машины отклонится от
меньше, чем
на 0,06.
(Ответ:
)
Задача 2
Результаты исследования выявили, что средний показатель курящих в данном регионе составляет 45%. Оценить вероятность того, что в следующем ежегодном опросе этот показатель не выйдет за пределы 30-60%. Известно, что D[X] = 3.
(Ответ:
).
Задача 3
Сумма вкладов в банке составляет 3 000 000 у.е., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 20 000 у.е. равна 0,6. Оценить число вкладчиков банка.
(Ответ:
).
Задача 4
Вероятность того, что на заводе-изготовителе телевизор не прошел проверку равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 300 случайно отобранных телевизоров окажется непроверенных от 50 до 70 шт.
(Ответ:
).
Задача 5
Вероятность того, что работник выполнит план на 100% равна 0,75. Необходимо оценить вероятность того, что среди 5000 сотрудников организации доля тех, кто выполнит план на 100% отклонится от p= 0,75 менее, чем на 0,05.
(Ответ:
)
Задача 6
Стоимость 2-хкомнатной квартиры в элитном многоэтажном доме в среднем составляет 8 млн. руб. (2-хкомнатные квартиры есть на каждом этаже). Определить вероятность того, что на случайно выбранном этаже окажется 2-хкомнатная квартира, стоимость которой не превышает 12 млн. руб
.
(Ответ:
).
Задача 7
Бросаем шестигранный кубик. Определить вероятность того, что при 30 бросках грань с цифрой 6 выпадет от 2 до 8 раз.
(Ответ:
).
Задача 8
Выручка в магазине за день с среднем равна 30 000 руб. Определить вероятность того, что в случайно выбранный день выручка не будет превышать 40 000 руб.
(Ответ:
).
Задача 9
Средняя стоимость книги в одном из книжных магазинов Санкт-Петербурга составляет 700 рублей. Найти вероятность того, что случайно выбранная книга будет стоить не более 1000 рублей
.
(Ответ:
).
Задача 10
Вероятность того, что посетитель сайта скачает демо-версию игры «ААА» составляет 0,15. Оценить вероятность того, что среди 10 000 посетивших сайт доля людей, скачавших игру, отклонится от p меньше, чем на 0,02.
(Ответ:
).
Задача 11
Среднемесячные расходы на питание семьи Ивановых составляют 800 у.е. Оцените вероятность того, что в следующем месяце они не выйдут за предел 770 – 830 у.е. D[X]= 25 y.e
.
(Ответ:
).
Задача 12
Оклад менеджера по продажам в небольшой компании в среднем составляет 12 тыс. руб. Определить вероятность того, что случайно выбранный оклад менеджера не превышает 15 тыс. руб
.
(Ответ:
).
Задача 13
Вероятность того, что клиент обратится в телефонную справочную службу за информацией о зоопарке, равна 0.04. Необходимо оценить вероятность того, что среди 1000 позвонивших в справочную, кому нужна информация о зоопарках отклоняется от 0.04 меньше, чем на 0.06
.
(Ответ:
).
Задача 14
В результате анализа использования Интернет-трафика некоторого офиса, установлено, что среднемесячные счета на оплату Интернета составляют 2000 руб. Оцените вероятность того, что в следующем месяце счета не выйдут за пределы 1500-2500 руб. Известно, что среднее квадратичное отклонение счета на оплату составляет 300 руб.
(Ответ:
)
Задача 15
Среднее
количество угонов автомобилей за месяц
составляет 1000. Определить вероятность
того, что количество угонов в случайно
выбранный месяц не превышает 5000. (Ответ:
).
Задача 16
Средняя эффективность маркетинговых кампаний на рынке безалкогольных напитков составляет 70%. Найти вероятность того, что случайно выбранная кампания будет эффективна не более чем на 90%.
(Ответ:
).
Задача 17
Вероятность
того, что в библиотеке будет запрос на
газету 1937г. равна 0.03. Количество
посетителей библиотеки составляет 3000
человек. Оцените вероятность того, что
доля посетителей библиотеки, которым
понадобится газета, отклонится меньше,
чем на 0.08. (Ответ:
).
Задача 18
В результате проведённого исследования выяснилось, что среднемесячный прожиточный минимум составляет 4000 руб. Оцените вероятность того, что в следующем месяце прожиточный минимум не выйдет за пределы 3700-4300 руб. Известно, что дисперсия прожиточный минимума равна 200 руб
.
(Ответ:
).
Задача 19
Средняя стоимость сотового телефона в России составляет 5500 рублей. Определить вероятность того, что цена на случайно выбранную модель сотового телефона не превысит 20000.
(Ответ:
).
Задача 20
Вероятность выигрыша участником спортивного турнира = 0,4. Оцените вероятность того, что среди 100 участников турнира доля спортсменов–чемпионов отклонится от р = 0,4 менее чем на 0,2
.
(Ответ:
).
Задача 21
Затраты
на обучение на курсах иностранных языков
в среднем составляют 3000 рублей за месяц.
Оцените вероятность того, что в следующем
месяце затраты на обучение не выйдут
за границы 2900 – 3100 рублей. Дисперсия
затрат составляет 100 рублей. (Ответ:
).
Задача 22
В результате анализа производственной деятельности цеха по литью из пластмассы установлено, что среднее количество бракованных изделий в месяц составляет 800 ед. Оцените вероятность того, что число бракованных изделий не выйдет за границы промежутка от 760 до 840 ед. Известно, что дисперсия брака составляет 18 ед.
(Ответ:
).
Задача 23
Вероятность
того, что покупателю в автосалоне
потребуется автомобиль розового цвета
равна 0,08. Необходимо оценить вероятность
того, что среди 5000 посетителей доля
покупателей, которым нужен автомобиль
такого цвета отклонится от 0,08 менее чем
на 0,03. (Ответ:
).
Задача 24
Вероятность
того, что покупателю в автосалоне
потребуется автомобиль розового цвета
равна 0,08. Необходимо оценить вероятность
того, что среди 5000 посетителей доля
покупателей, которым нужен автомобиль
такого цвета отклонится от 0,08 менее чем
на 0,03. (Ответ:
).
Задача 25
Платеж по терминалу за услуги связи в среднем составляет 100 р. Определить вероятность того, что случайно выбранный платеж не превышает 1000 р.
(Ответ:
).