Глава 11. Непрерывная двумерная случайная величин

§

Если значения двумерной случайной величины (Х;У) заполняют некоторую область (D) на координатной плоскости (Х0У) и при этом известна неотрицательная функция двух аргументов f(x;y) – функция плотности распределения вероятности случайной величины (Х;У), такая что:

P{(X,Y)()}= , где () –произвольная область координатной плоскости, то (Х;У)-непрерывная двумерная случайная величина.

Свойства функции плотности

1. f(x;y)0, (x;y)R.²

2. =1(основное свойство ).

3. a;b)}=0 (вероятность попасть в точку равна нулю).

Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины

F_XY(x;y)=P{(Xx)*(Yy)}= ,при этом: f(x;y)=²F(x;y)/(∂x*∂y)

Cсвойства функции распределения

1. Область определения: (Х;У)R² (все точки координатной плоскости)

2. Множество значений: 0≤F(x;y)≤1; при этом =1 =0

3. Функция не убывает по каждому из аргументов, т.е.

если х₁х₂ и у_1у_2, ,то F(x₁;y₁) ≤ F(x₂;y₂)

Условия согласованности

=F_x(x) =F_y(y)

2)f_X(x)= ; f_y(y)=

Независимые случайные величины

Х и У- независимые случайные величины, если независимы события:

A={Xx} и B={Yy} для всех значений х и у.

Необходимое и достаточное условие независимости

• F(x;y)=F_x(x)*F_y(y)

• f_xy(x;y)=f_x(x)*f_y(y)

Числовые характеристики двумерной случайной величины

1. Центр распределения это точка М(m_x;m_y), где

m_x=f_x(x)dx

m_y=_y(y)dy

2)Корреляционный момент

K[X;Y]=M[(X-m_x)*(Y-m_y)] = m_x)*(y-m_y)*f(x;y)dx*dy

или по формуле: K[X;Y]=M[X*Y]-m_x*m_y .где

M[X*Y] =dxdy

3)Коэффициент корреляции

R[X;Y]=_xy=;где _х=;_y=

Заметим, что если K[X;Y]=0, то Х и У называются некоррелированными.

Условные законы распределения

Если (Х;У) непрерывная случайная величина, то условной плотностью распределения случайной величины Х при условии У=у

называется : f(x/y)= ;аналогично f(y/x)=

Условной функцией распределения случайной величины Х

при условии У=у называется :

F_x(x/y)=_X(x/y)dx аналогично: F_y(y/x)=_y(y/x)dy

Условные математические ожидания

Регрессия У по Х (х)=M[Y/X]=*f_y(y/x)dy

Регрессия Х по У (y)=M[X/Y]=f_x(x/y)dx

§ 2 Решение типовых задач

Задача 1.

Пусть (Х;У) –непрерывная случайная величина, распределённая равномерно в области (D)- прямоугольник на плоскости (см. рисунок)

у

1

D

х

2

Зависимы или нет случайные величины Х и У?

Решение:

По определению, если случайная величина (Х;У) распределена равномерно в области (D), то функция плотности вычисляется по формуле:

f(x;y)= ,если (Х;У)(D).

В нашем случае: f(x;y)=

Рассмотрим условия согласованности:

f_X(x)==для всех х[0;2]

; f_y(y)=*dx=1 для всех у[0;1]

f_x(x)*f_y(y)=1/2*1=1/2=f_xy(x;y) для всех значений х и у из области (D)

Вывод: Х и У –независимые случайные величины.

Задача 2

Пусть (Х;У) –непрерывная случайная величина, распределённая равномерно в области (D)- треугольник на плоскости (см. рисунок)

у

2

х

2

D

1. Найти линии регрессии.

2. Центр распределения M(m_x;m_y).

3. Момент корреляции K[X;Y].

Решение:

Площадь треугольника: S=2 f_xy(x;y)=

Условия согласованности:

f_x(x)= f_x(x)=*dy =1/2*(2-x), если х[0;2].

f_y(y)= f_y(y)=*dx=1/2(2-y), если у[0;2].

Заметим, что f_x(x)*f_y(y)f_xy(x;y) Х и У зависимые случайные величины.

Рассмотрим условные функции плотности:

: f(x/y)===; если у[0;2]; x[0;2-y]

f(y/x)==, если х[0;2]; y[0; 2-x]

Регрессии:

Регрессия У по Х (х)=M[Y/X]=*f_y(y/x)dy=(1/(2-х)dy=

=*y²/2 ₀^2-x=0,5*(2-x), если х [0;2]

Регрессия Х по У (y)=M[X/Y]=f_x(x/y)dx=0,5*(2-y), если у[0;2]

y

2

x

0

1

2

1

(y)

(x

2)M[X]=*f(x)dx=0,5*(x²-x³/3)₀²=2/3

В силу симметрии M[Y]=2/3Центр распределения: M(2/3; 2/3)

3)Момент корреляции:

: K[X;Y]=M[X*Y]-m_x*m_y .где M[X*Y] =

M[X*Y]==(0,5*y²₀^2-x)dx =

=1/4x³-4*x²+4*x)dx=1/4*(x⁴/4- 4/3*x³+4/2*x²)₀²=1/3

K[X;Y]=1/3-2/3*2/3=-1/9; K[X;Y]=-1/9

Задача 3

Пусть (Х;У) –непрерывная случайная величина, распределённая равномерно в области (D) -четверть круга на плоскости (см. рисунок)

x²+y²≤1; x0; y0

.Найти:

1. f_xy(x;y) (двумерную функцию плотности)

2. Одномерные законы распределения: f_x(x); f_y(y).

3. Найти центр распределения М(m_x;m_y)

4. Найти среднеквадратичные отклонения:_x ;_y.

5. Найти коэффициент корреляции _ху.

6. Проверить, зависимы или нет случайные величины Х и У

Решение

У

y=²

1

D

……

Х

1

0

1. ^Площадь D=²= f(x;y)=

2. f_X(x)=dy=dy=4/π*, x[0;1].

f(x)=

Аналогично:

f(y)=

3) m_x=f_x(x)dx = dx=-2/πd(1-x²)=

-2/π*2/3*(1-x²)^3/2₀¹=4/3π.

Аналогично: m_y=4/3π

Таким образом: M(4/3; 4/3)

4)D[X]=M[X²]-m_x²

M[X²]=

=; x=0t=0; x=1t=π/2]

4/π=1/π=

1/2π=1/2π(t-1/4*₀^π/2=1/2π(π/2-0)=1/4

D[X]=1/4-(4/3π)²0,069873

_x=_x0,26

Аналогично:_у0,264

5): K[X;Y]=M[X*Y]-m_x*m_y .где M[X*Y] =

M[X*Y]=4/π=4/π₀)dx=

2/π*(1-x²)dx=2/π(x²/2 –x⁴/4)₀¹=2/π*(1/2-1/4)=1/2π≈0,1592

K[X;Y]=1/2π-(4/3π)²≈-0,02097

R[X;Y]=_xy=≈≈-0,3

6)Х и У зависимы, т.к. К_ху0

Задача 4

Плотность вероятности двумерной случайной величины (Х;У) задана формулой: f_XY(x;y)=;при 0≤х≤1; 0≤у≤1;

Найти:

1. Коэффициент С

2. Одномерные функции плотности: f_X(x); f_Y(y)

3. Центр распределения M(m_X;m_y).

4. Cредне квадратичные отклонения _Х и _У.

5. Коэффициент корреляции _ХУ.

6. Проверить, зависимы или нет случайные величины Х и У.

Решение

1. Изобразим на плоскости область определения функции f(x;y)

X

D

1

0

1

Y

=1 -основное свойство функции плотности

• с*)dy =c*(dx+dy)=

=2*c(x³/3₀¹*1)=2/3*c2/3*c=1c=3/2

2. f_X(x)=f_X(x)=3/2dy=3/2(x²*y+y³/3)₀¹=

=3/2*(x²+1/3)

Таким образом: f_X(x)=,x[0;1]

Аналогично: f_У(у)=, у[0;1]

3) m_x=f_x(x)dx m_x=3/2dx=3/2*(x⁴/4+x²/2)₀¹=

=3/4*(1/4+1/6)=5/8

m_X=5/8; аналогично: m_y=5/8

M(5/8; 5/8)-центр распределения

4)D[X]=M[X²]-m_x²; M[X²]==3/2=

3/2*(x⁵/5-x³/9)₀¹=3/2*(1/5+1/9)=7/15

D[X]=7/15-(5/8)²≈0,076 _X=≈0,276;аналогично:_У≈0,276

5): K[X;Y]=M[X*Y]-m_x*m_y .где M[X*Y] =

M[X*Y]=3/2=3/2(+)=

=3=3*(x⁴/4₀¹)*(y²/2₀¹)=3*1/4*1/2=3/8

K[X;Y]=3/8-25/64=-1/64

R[X;Y]=_xy==≈-0,205

6)Т.к. K[X;Y].то Х и У зависимые