algebra1

Отметим, что для нильпотентных групп утверждение, аналогич- ное предложению 34 неверно. Например, нормальная подгруппа A3 группы S3 и факторгруппа S3=A3 абелевы (и даже циклические), а потому и нильпотентные; однако, группа S3 не нильпотентна, потому что, как легко посчитать,

S3[1] = [S3; S3] = A3; S3[2] = [S3; S3[1]] = [S3; A3] = A3;

и для всех n > 2 будет

S3[n] = [S3; S3[n 11]] = [S3; A3] = A3 6= e:

Тем не менее, для нильпотентных групп выполняется частичный аналог предложения 34.

Предложение 35. Если нормальная подгруппа H группы G содержится в центре G и факторгруппа G=H нильпотентна, то группа G нильпотентна.

Доказательство. Пусть канонический эпиморфизм группы G на факторгруппу G = G=H. Поскольку группа G нильпотентна, существует такая последовательность е¼ подгрупп

G = G0 G1 : : : : : : Gn 1 Gn = e;

÷òî [G; Gi] Gi+1 для всех i, 0 i < n. Для каждого i обозначим через Gi полный прообраз 1Gi. Мы получим цепочку подгрупп

G = G0 G1 : : : : : : Gn 1 Gn e:

Ïðè ýòîì [G; Gi] Gi+1 äëÿ âñåõ i < n, à [G; Gn] = [G; H] = e, потому что H содержится в центре группы G. По предложению 30 группа G нильпотентна.

В заключение этого пункта укажем ещ¼ одну характеризацию нильпотентных групп, которую часто берут в качестве исходного определения нильпотентной группы. Для группы G построим по ин-

дукции бесконечную цепочку групп G0; G1; : : :, положив

G(0) = G; Gi+1 = Gi=Z(Gi);

ãäå Z(Gi) центр группы Gi.

Предложение 36. Для того, чтобы группа G была нильпотент-

ной, необходимо и достаточно, чтобы существовало натуральное число n, такое что G(n) = e.

371

Доказательство. Индукцией по n покажем, что если G(n) = e, то группа G нильпотентна. Если n = 1, то G = Z(G) абелева, а потому нильпотентная группа. Пусть n 2 и уже доказана нильпотентность любой группы F , для которой F (n 1) = e. Поскольку (G(1))(n 1) = G(n) = e, группа G(1) нильпотентна. Таким образом, факторгруппа G(1) группы G по е¼ центру нильпотентна; по предложению 35 нильпотентна и сама группа G.

Обратно, пусть G нильпотентная группа; тогда по предложению 30 существует такая цепочка нормальных подгрупп группы G

G = Gn Gn 1 : : : G1 G0 = e;

что для всех i < n группа Gi+1=Gi содержится в центре группы

G=Gi (нам здесь удобнее использовать обратную нумерацию групп

Gi). Пусть i : G=Gi ! G=Gi+1, i : G(i) ! G(i+1) = G(i)=Z(G(i))

канонические эпиморфизмы групп на факторгруппы. Построим индукцией по i эпиморфизмы i : G=Gi ! G(i) так, чтобы сквозные

гомоморфизмы

i 0 и пусть эпиморфизм i : G=Gi ! G(i) уже построен. Ядро Gi=Gi+1 эпиморфизма i : G=Gi ! G=Gi+1 содержится в центре группы G=Gi; поэтому i(Ker i) содержится в центре Z(G(i)) = Ker i группы G(i). Следовательно, Ker i Ker( i i). Поэтому мы можем

применить теорему 8, согласно которой существует гомоморфизмi+1 : G=Gi+1 ! Im( i i) = G(i+1), такой что i+1 i = i i. Поскольку

i è i эпиморфизмы, Im i+1 Im( i i) = G(i+1), òàê ÷òî i+1 эпиморфизм.

В частности, n эпиморфизм единичной группы G=Gn = G=G на группу G(n), откуда следует, что G(n) единичная группа.

4 Разрешимость группы верхних треугольных матриц

Обозначим через T = T (n; k) группу обратимых верхних треугольных матриц порядка n с компонентами из k, а через UT = UT (n; k)

ее подгруппу, состоящую из тех матриц, у которых все диагональные элементы равны 1. Диагональ любой матрицы из T состоит из нену-

левых элементов (иначе матрица не была обратима), а все элементы ниже диагонали равны 0.

Теорема 22. Группа T разрешима, а группа UT нильпотентна.

372

Доказательство. Мы построим цепочку подгрупп

T T1 = UT T2 : : : Tn 1 Tn;

такую что Tn = E, [T; T ] T1 è [T1; Ts] Ts+1 при 1 s < n; тогда è [Ts; Ts] [T1; Ts] Ts+1. По предложению 29 отсюда следует, что группа T разрешима, а по предложению 30 что группа T1 = UT нильпотентна.

Пусть k поле; как обычно, для матрицы A 2 kn через Aij îáî- значается элемент из k, находящийся в матрице A на пересечении i-й строки и j-го столбца. Для любого s 0 обозначим через Xs множе- ство всех таких матриц A 2 kn, ÷òî Aij = 0 для всех пар индексов i; j, таких что j < i+s. Таким образом, X0 это множество всех верхних треугольных матриц, то есть таких матриц, у которых все элементы ниже диагонали равны 0. Далее, очевидно, что Xs = 0 при s n, так как для любых 1 i; j n выполняется неравенство j < 1+n i+s. При 1 s < n в матрицах из Xs равны 0 не только все элементы под диагональю, но и все элементы на диагонали, а также еще на s 1

диагональных рядах, следующих за главной диагональю. Ясно, что

X0 X1 : : : Xn 1 Xn = 0.

Лемма 9. Если s; t 0, A 2 Xs, B 2 Xt, òî AB 2 Xs+t.

Доказательство. Из условия леммы следует, что Aiu = Bvj = 0 ïðè u < i + s, j < v + t. Åñëè

n

X

(AB)ij = AiuBuj 6= 0;

u=1

то хотя бы одно слагаемое AiuBuj этой суммы отлично от 0; тогда Aiu 6= 0, Buj 6= 0, и потому u i + s, j u + t, откуда следует, что j i + s + t. Значит, при любых j < i + s + t элемент (AB)ij матрицы AB равен 0, и потому AB 2 Xs+t.

Очевидно, все множества Xs являются подгруппами аддитивной группы кольца kn. Напомним, что выше было определено сравнение по модулю подгруппы; поскольку аддитивная группа коммутативна, нет нужды различать сравнение слева и сравнение справа, и достаточно говорить просто о сравнении по модулю подгруппы. Как мы знаем, сравнение по модулю Xs является отношением эквивалентности и оно согласовано со сложением матриц. Покажем, что оно согласуется также и с умножением на некоторые матрицы.

Лемма 10. Пусть A; B; C 2 X0, s 0. Åñëè A B (mod Xs), òî

AC BC (mod Xs).

373

Доказательство. Поскольку B C (mod Xs), разность B C принадлежит Xs. Тогда по лемме 9 AC BC = (A B)C 2 X0+s = Xs. Но это и значит, что AC BC (mod Xs).

Группа верхних треугольных матриц T совпадает. очевидно, с группой обратимых матриц из X0. Для s 1 обозначим через Ts множество всех таких матриц A 2 kn, ÷òî A E (mod Xs). ßñíî, ÷òî

T UT = T1 : : : Tn 1 Tn = E:

Лемма 11. Для всякого s 1 множество Ts является группой относительно матричного умножения.

Доказательство. Пусть A; B 2 Ts; тогда A; B E (mod Xs). По лемме 10 AB EB = B E (mod Xs). Таким образом, AB 2 Ts.

Xis Xs. В частности, N 2 Xns Xn = 0, то есть N = 0. Поэтому

A(E + N + : : : + Nn 1) = (E N)(E + N + : : : + Nn 1) = E Nn = E

и точно так же (E + N + : : : + Nn 1)A = E. Таким образом, матрица A обратима, и обратной к ней является матрица

E + N + : : : + Nn 1 E (mod Xs):

Итак, вместе с каждыми двумя матрицами A; B 2 Ts множество

Ts содержит их произведение AB и вместе с каждой матрицей A 2 Ts множество Ts содержит обратную к A матрицу A 1. Íî ýòî è îçíà-

÷àåò, ÷òî Ts подгруппа группы обратимых матриц.

Лемма 12. Если A; B 2 X0, òî AB BA (mod X1). Åñëè s; t 1,

A 2 Ts, B 2 Tt, ãäå , òî AB BA (mod Xs+t).

Доказательство. Для любого i

n

XX X

XX

= AiiBii + 0 Bji + Aij 0 = AiiBii;

j<i j>i

потому что Aij = 0 ïðè j < i, Bji = 0 при j > i, и точно так же (BA)ii = BiiAii = AiiBii. Таким образом, диагональные элементы матриц AB, BA равны. Поскольку, по лемме 9, оба произведения

AB, BA принадлежат X0, то есть являются верхними треугольными матрицами, отсюда следует, что их разность является верхней треугольной матрицей с нулевой диагональю, то есть принадлежит X1. Первое утверждение леммы доказано.

374

Второе утверждение почти очевидно. Если A 2 Ts, B 2 Tt, òî существуют такие матрицы A1 2 Xs, B1 2 Xt, ÷òî A = E + A1, B = E + B1, и потому

AB BA = (E + A1)(E + B1) (E + B1)(E + A1) =

=(E+A1 +B1 +A1B1) (E+B1 +A1 +B1A1)=A1B1 B1A1 2Xs+t;

потому что по лемме 9 обе матрицы A1B1, B1A1 принадлежат группе

Xs+t.

Как отмечено в начале доказательства теоремы, для его завершения остается доказать следующее утверждение.

Лемма 13. Коммутант [T; T ] группы T содержится в группе T1. Åñëè s 1, òî [T1; Ts] Ts+1.

Доказательство. Нам надо показать, что [A; B] 2 T1

A; B 2 T è [A; B] 2 Ts+1 для любых A 2 T1, B 2 Ts. Пусть A; B 2 T ; тогда A 1B 1 2 T . По лемме 13 AB BA (mod X1), а по лемме 10

[A; B] = (AB)(A 1B 1) (BA)(A 1B 1) = E (mod X1)

(леммы можно здесь применять, потому что T X0). Таким образом,

[A; B] 2 T1.

Аналогично, пусть A 2 T1, B 2 Ts; тогда AB BA (mod Xs+1) по лемме 13, и [A; B] = (AB)(A 1B 1) (BA)(A 1B 1) = E (mod Xs+1)

по лемме 10. Итак, [A; B] 2 Ts+1.

x 10: Простые группы

1 Определение простой группы

У нильпотентных и разрешимых групп, о которых говорилось выше, как правило, много нормальных подгрупп. В некотором смысле противоположными им являются простые группы. Группа G называется

простой, если она не является единичной группой и если единственными е¼ нормальными подгруппами являются она сама и единичная подгруппа.

Простые группы могут рассматриваться как "кирпичики", из которых можно сконструировать по крайней мере произвольные конеч- ные группы. Точнее говоря, в любой конечной группе G есть цепочка

подгрупп

G = G0 G1 : : : : : : Gn 1 Gn = e;

такая что для каждого i, 0 < i n, группа Gi является нормаль- ной подгруппой группы Gi 1, причем все факторгруппы Gi 1=Gi

375

простые группы. Циклические группы простого порядка, очевидно, просты, и легко показать, что группа G разрешима тогда и толь-

ко тогда, когда все факторгруппы Gi 1=Gi являются циклическими группами простых порядков.

Выше мы уже отметили, что циклические группы простого порядка являются простыми. Но бывают и неабелевы простые группы; в этом параграфе мы докажем простоту групп, входящих в две бесконечные серии. Кроме них, существуют еще несколько серий простых групп. Почти все конечные простые группы входят в эти серии; кроме них есть ещ¼ 26 так называемых спорадических простых конечных групп, не входящих в эти серии. Доказательство того, что всякая конечная простая группа либо входит в одну из серий, либо является одной из 26 спорадических групп, стало одним из важнейших достижений математики XX века.

2 Простота знакопеременных групп

Теорема 23. При n 5 знакопеременная группа An проста.

Доказательство. Пусть H нормальная подгруппа группы An. Îáî- значим через X множество f1; 2; : : : ; ng.

Лемма 14. Если произведение каких-то двух непересекающихся циклов длины 2 (то есть транспозиций) принадлежит группе H, то

H = An.

Доказательство. Пусть u; v; w; x четыре различных элемента из

X, и пусть (u; v)(w; x) 2 H. Всякий элемент из An является произве- дением четного числа транспозиций, поэтому достаточно доказать, что группе H принадлежит произведение любых двух транспозиций

(не обязательно неперересекающихся).

Покажем сначала, что для любых различных i; j 2 X, отличных от w и x, произведение (i; j)(w; x) принадлежит H. Если пара fi; jg совпадает с парой fu; vg, то (i; j)(w; x) = (u; v)(w; x) 2 H. Если эти две пары не пересекаются, то (i; u)(j; v) 2 An, и, поскольку H нормальная подгруппа An, произведение

(i; j)(w; x) = ((i; u)(j; v)) 1(u; v)(w; x)(i; u)(j; v)

принадлежит H вместе с (u; v)(w; x). Наконец, пусть пары fi; jg, fu; vg имеют ровно один общий элемент; для определенности, пусть i = u, j 6= v. Тогда (w; x)(j; v) 2 An, и произведение

(i; j)(w; x) = ((w; x)(j; v)) 1(i; v)(w; x)(w; x)(j; v)

принадлежит H вместе с (u; v)(w; x) = (i; v)(w; x).

376

Применяя предыдущее утверждение к транспозициям (i; j) вместо (w; x), (w; x) вместо (u; v), и к паре k; l различных элементов из X, отличных от i и от j, мы получим, что произведение (i; j)(k; l) любых двух непересекающихся транспозиций принадлежит H.

Произведение (i; j)(i; j) двух одинаковых транспозиций равно еди-

ничному элементу и потому принадлежит подгруппе H группы An. Наконец, пусть i; j; k различные элементы из X; поскольку n 5, существуют такие u; v 2 X, что все пять элементов i; j; k; u; v различны. По уже доказанному (i; j)(u; v) и (u; v)(i; k) принадлежат H, а потому подгруппе H группы An

(i; j)(u; v) (u; v)(i; k) = (i; j)(i; k):

Лемма 15. Если цикл длины 3 принадлежит H, то H = An.

Доказательство. Пусть (i; j; k) 2 H, где i; j; k три различные элемента из X, и пусть l элемент из X, отличный от i; j; k. Тогда

(j; i; r) = ((i; j)(k; r)) 1(i; j; k)((i; j)(k; r)) 2 H;

а потому и произведение двух непересекающихся циклов длины 2 (i; k)(j; r) = (i; j; k)(j; i; r) 1 принадлежит H. Из леммы 14 теперь

следует, что H = An.

Вернемся к доказательству теоремы 23. Пусть h0 какой-то нееди-

ничный элемент из H; пусть m > 1 его порядок, а p простой делитель m. Тогда h = hm=p0 элемент порядка p. В разложении h = 1 : : : r в произведение непересекающихся циклов все циклы состоят из p элементов. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1. p 5. Пусть 1 = (i; j; k; l; : : : ; m). Цикл (i; j; k) принадлежит An; он не пересекается с циклами 2; : : : ; r и потому переста- новочен с ними. Поскольку H нормальная подгруппа An, элемент

h1 = (i; j; k) 1h(i; j; k) = (i; j; k) 1(i; j; k; l; : : : ; m) 2 : : : m(i; j; k) = = (i; j; k) 1(i; j; k; l; : : : ; m)(i; j; k) 2 : : : m = (i; j; l; : : : ; m; k) 2 : : : m

принадлежит H; поэтому H принадлежит и цикл длины 3

h1h 1 = (i; j; l; : : : ; m; k) 2 : : : m m1 : : : 2 1(i; j; k; l; : : : ; m) 1 = = (i; j; l; : : : ; m; k)(m; : : : ; l; k; j; i) = (i; k; l):

По лемме 15 H = An.

Случай 2. p = 3. Если в разложении h = 1 : : : r число циклов r равно 1, то H = An по лемме 15. Если же r 2, то h имеет вид

h = (i; j; k)(u; v; w) 3 : : : r;

377

где i; j; k; u; v; w различные элементы из X, не входящие в циклы

3; : : : ; r. Элемент h1 = ((i; u)(j; v)) 1h((i; u)(j; v)), равный

(i; u)(j; v)(i; j; k)(u; v; w) 3 : : : r(i; u)(j; v) =

= (i; u)(j; v)(i; j; k)(u; v; w)(i; u)(j; v) 3 : : : r = (i; j; w)(u; v; k) 3 : : : r;

принадлежит H (мы воспользовались тем, что (i; u)(j; v) элемент из An, перестановочный с 3; : : : ; r, а H нормальная подгруппа An). Поэтому произведение

h1h 1 = (i; j; w)(u; v; k)( 3 : : : r)( 3 : : : r) 1((i; j; k)(u; v; w)) 1 = = (i; j; w)(u; v; k)(k; j; i)(w; v; u) = (i; u)(k; w)

тоже принадлежит H. Но это произведение произведение двух непересекающихся циклов длины 2, поэтому H = An по лемме 14.

Случай 2. p = 2. В этом случае r 2, потому что цикл 1 длины 2 не принадлежит An H. Поэтому h имеет вид

h = (i; j)(u; v) 3 : : : r;

где i; j; u; v различные элементы из X, не входящие в циклы 3; : : : ; r. Элемент

h1 = (i; u; v) 1h(i; u; v) = (v; u; i)(i; j)(u; v) 3 : : : r(i; u; v) = = ((v; u; i)(i; j)(u; v)(i; u; v) 3 : : : r = (i; u)(j; v) 3 : : : r

принадлежит H (мы воспользовались тем, что (i; u; v) элемент из

An, перестановочный с 3; : : : ; r, а H нормальная подгруппа An). Поэтому произведение

h1h 1 = (i; j)(u; v)( 3 : : : r)( 3 : : : r) 1((i; j)(u; v)) 1 = = (i; u)(j; v)(i; j)(u; v) = (i; v)(j; u)

тоже принадлежит H. Но это произведение произведение двух непересекающихся циклов длины 2, поэтому H = An по лемме 14.

3 Простота проективных специальных линейных групп

Пусть n 2, а k поле (конечное или бесконечное). Специальная линейная группа SLn(k), вообще говоря, не является простой, так как у не¼ может быть нетривиальный центр Z(SLn(k)). Действительно, центр Z(GLn(k)) полной линейной группы GLn(k) состоит из всех

378

Но, как мы увидим, почти всегда у группы SLn(k) нет других нетривиальных нормальных подгрупп, так что факторгруппа специальной линейной группы по е¼ центру почти всегда оказывается простой группой. Эта факторгруппа называется проективной специальной линейной группой порядка n над полем k и обозначается через

PSLn(k).

Теорема 24. Если k произвольное поле, а n 3, то группа PSLn(k) проста.

Замечание. Если число элементов поля k больше тр¼х, то группа

PSL2(k) тоже является простой. Однако здесь мы ограничиваемся доказательством лишь для случая n 3.

Доказательство. Очевидно, достаточно доказать следующее утверждение.

Пусть H нормальная подгруппа группа SLn(k), в которой есть хотя бы одна матрица A, не принадлежащая центру группы SLn(k). Тогда H = SLn(k).

Оно сразу следует из следующих тр¼х предложений, первое из которых уже было доказано в одной из предыдущих глав. Напомним сначала некоторые определения и обозначения. Через eij 2 kn

обозначается матрица, в которой элемент i-й строки и j-го столбца равен 1, а все остальные элементы равны 0. Если ( i 6= j, 2 k, то

матрица E + eij обозначается через Eij( ) и называется матрицей трансвекции.

Предложение 37 (предложение 4 из главы X). Всякая матрица из

SLn(k) является произведением матриц трансвекций.

Предложение 38. Пусть в группе H есть матрица B, такая что rank(B E) = 1. Тогда если D 2 SLn(k), rank(D E) = 1, то D 2 H. В частности, все матрицы трансвекций принадлежат H.

Предложение 39. В группе H найдется такая матрица B, что rank(B E) = 1.

Действительно, по предложению 39 в H найдется такая матрица B, что rank(B E) = 1. Тогда по предложению 38 все матрицы трансвекций содержатся в H. Но по предложению 37 всякая матрицы из SLn(k) является произведением матриц трансвекций и потому принадлежит H. Осталось доказать предложения 38 и 39.

Доказательство предложения 38. Предложение почти сразу вытекает из следующей леммы.

379

Лемма 16. Пусть n 3 и пусть X 2 kn матрица ранга 1, такая

что det(E + X) = 1. Тогда существует такая матрица C 2 SLn(k), ÷òî CXC 1 = e21.

Действительно, матрицы X = B E, Y = D E удовлетворяют

требованиям леммы, и потому существуют матрицы C1; C2 2 SLn(k), такие что C1XC1 1 = C2Y C2 1 = e21. Тогда Y = (C2 1C1)X(C2 1C1) 1, и матрица

D = E + Y = (C2 1C1)(E + X)(C2 1C1) 1

вместе с матрицей B = E + X принадлежит нормальной подгруппе H группы SLn(k).

Остается доказать лемму 16. Поскольку ранг матрицы X равен 1,

элементарными преобразованиями над строками е¼ можно привести к матрице X1, у которой все строки, кроме первой, нулевые. На мат-

ричном языке это означает, что существует невырожденная матрица L, такая что LX = X1. У произведения X2 = LXL 1 = X1L 1, êàê è

у матрицы X1, только первая строка ненулевая.

Пусть (a1; a2; : : : ; an) = (a1 j V ) первая строка матрицы X2. Определитель матрицы E + X2 равен 1 + a1. С другой стороны,

jE + X2j = jL(E + X)L 1j = jLj jE + Xj jLj 1 = jLj 1 jLj 1 = 1;

òàê ÷òî 1 + a1 = 1, òî åñòü a1 = 0. Элементарными преобразованиями над столбцами строку V можно привести к виду (1; 0; : : : ; 0); на мат-

ричном языке это означает, что существует невырожденная матрица R 2 kn 1, такая что V R = (1; 0; : : : ; 0). Положим

(здесь через 0 обозначены нулевые матрицы соответствующих поряд- ков). Определитель матрицы C0 не обязательно равен 1; но матрица

C, полученная из C0 делением третьей строки на det C0, уже принад- лежит SLn(k), и по-прежнему CXC 1 = e12 (напомним, что n 3).

Лемма 16, а вместе с ней и предложение 38, доказаны.

Доказательство предложения 39. Заметим сначала, что если матрица U принадлежит H, то, поскольку H нормальная подгруппа,

380