algebra1

Глава I

Теория чисел

x 1: Теория делимости

1 Делимость

Мы начнем эту главу с изложения основных свойств делимости. Пусть a; b целые числа; мы говорим, что число a делится на число b, если

существует такое целое число c, что a = bc. Но точно так же можно

определить делимость и для многочленов с вещественными или рациональными коэффициентами: многочлен f(x) делится на многочлен

g(x), если существует такой многочлен h(x), что f(x) = g(x)h(x). Далее, если числа a; b делятся на число c, то существуют целые числа u; v, такие что a = uc, b = vc; тогда число a + b тоже делится на c, потому что a + b = uc + vc = (u + v)c. Но точно то же рассуждение проходит и для многочленов: если многочлены f1(x); f2(x) делятся на многочлен g(x), то существуют многочлены h1(x); h2(x), такие что f1(x) = h1(x)g(x), f2(x) = h2(x)g(x), и потому многочлен f1(x) + f2(x) = h1(x)g(x) + h2(x)g(x) = (h1(x) + h2(x))g(x) тоже делится на g(x). Мы видим, таким образом, что для определения по-

нятия делимости и для доказательства этого и других простейших свойств делимости нам не важно, что рассматриваемые объекты являются именно целыми числами; мы используем лишь некоторые из их свойств, которыми могут обладать и совокупности других объектов (например, многочленов с вещественными коэффициентами). Поэтому естественно развивать теорию делимости в более общем контексте, к описанию которого мы и переходим.

2 Основные алгебраические структуры

Напомним хорошо известные из школьного курса свойства целых чи- сел, которые, как мы увидим, только и нужны для определения делимости и доказательства основных свойств делимости. Будем обозна-

1

чать множество целых чисел через Z; это стандартное обозначение

множества целых чисел, и оно используется всеми математиками: если в математическом тексте появляется символ Z, он почти обя-

зательно обозначает множество целых чисел. Другими такими же стандартными обозначениями являются:

N множество всех натуральных чисел, то есть положительных целых чисел;

N0 множество неотрицательных целых чисел (т.е множество N с добавленным 0);

Q множество всех рациональных чисел;

R множество всех вещественных чисел.

Целые числа (то есть элементы из Z) можно складывать и пе-

ремножать; как хорошо известно из школьного курса, эти операции обладают следующими свойствами:

(1)a+(b+c) = (a+b)+c для любых a; b; c 2 Z (ассоциативность сложения);

(2)a + b = b + a для любых a; b 2 Z (коммутативность сложения);

(3)существует такой элемент 0 2 Z, что 0 + a = a для любого a 2 Z;

(4)для любого a 2 Z существует такой элемент a 2 Z, что a + ( a) = 0;

(5)a(bc) = (ab)c для любых a; b; c 2 Z (ассоциативность умножения);

(6)ab = ba для любых a; b 2 Z (коммутативность умножения);

(7)существует такой элемент 1 2 Z, что 1 a = a 1 = a для любого a 2 Z;

(8)a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc для любых a; b; c 2 Z

(дистрибутивность умножения относительно сложения).

Но многочлены с вещественными коэффициентами тоже можно складывать и умножать, и все перечисленные свойства справедливы и для них. Поэтому представляется естественным перейти к рассмотрению более общих структур, частными случаями которых являются множества целых чисел и многочленов. Такая структура называется коммутативным ассоциативным кольцом с единицей. Точнее говоря, коммутативным ассоциативным кольцом с единицей называется множество A, на котором заданы две бинарные операции сложение и

2

умножение, удовлетворяющие выписанным выше условиям (1) (8). Таким образом, множество целых чисел Z и множество многочленов

с вещественными коэффициентами коммутативные ассоциативные кольца с единицей. Напротив, множества N и N0 не являются коль- цами в них нет противоположных элементов a, то есть не вы-

полняется свойство (4), а в N нет еще и 0, то есть не выполняется и

свойство (3).

Множество рациональных чисел Q и множество вещественных чи- сел R тоже являются коммутативными ассоциативными кольцами

с 1; но они обладают еще одним свойством, которое не выполняет-

ся ни для целых чисел, ни для многочленов: для каждого элемента a, отличного от 0, существует обратный элемент a 1, такой что

aa 1 = a 1a = 1. Такие алгебраические структуры называются поля-

ìè.

Дадим теперь точные определения упомянутых алгебраических структур. Пусть A множество, на котором определены две алгеб-

раические операции сложение, обозначаемое знаком " + ", и умно-

жение, обычно обозначаемое отсутствием какого-либо знака, но иногда обозначаемое также знаками " " или " "; A называется полем,

если эти операции удовлетворяют следующим условиям (аксиомам поля):

(1)a+(b+c) = (a+b)+c для любых a; b; c 2 A (ассоциативность сложения);

(2)a + b = b + a для любых a; b 2 A (коммутативность сложения);

(3)существует такой элемент 0 2 A, что 0 + a = a для любого a 2 A (существование нуля);

(4)для любого a 2 A существует такой элемент a 2 A, что a+( a) = 0 (существование противоположного элемента);

(5)a(bc) = (ab)c для любых a; b; c 2 A (ассоциативность умножения);

(6)ab = ba для любых a; b 2 A (коммутативность умножения);

(7)существует такой элемент 1 2 A, что 1 a = a 1 = a для любого a 2 A (существование единицы);

(8)a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc для любых a; b; c 2 A

(дистрибутивность умножения относительно сложения);

(9)для любого a 2 A, отличного от 0, существует такой элемент a 1 2 A, ÷òî aa 1 = a 1a = 1 (существование обратного элемента);

(10)1 6= 0.

3

Если выполняются только аксиомы (1)-(4) и (8), то A называется кольцом. Кольцо A называется ассоциативным, если выполняется

аксиома (5), коммутативным, если выполняется аксиома (6), кольцом с единицей, если выполняется аксиома (7). Наконец, если для A

выполнены все аксиомы, кроме аксиомы коммутативности умножения (6), то A называется телом. Таким образом, множество целых

чисел и множество многочленов с вещественными коэффициентами являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей, а множества вещественных и рациональных чисел являются полями. В дальнейшем мы практически никогда не будем называть Z, R, Q

множествами. Для нас всегда будет:

Z кольцо целых чисел ;

Q поле рациональных чисел ;

R поле вещественных чисел.

Кольца многочленов от переменной x с вещественными или раци-

ональными коэффициентами мы будем обозначать соответственно через R[x] и Q[x]; это частные случаи колец многочленов над про-

извольным кольцом, которыми мы будем заниматься в одной из следующих глав.

Обычно единица кольца обозначается цифрой 1; однако, иногда приходится указывать, единицей какого именно кольца A она явля-

ется, и тогда мы используем обозначение 1A.

Завершим этот пункт несколькими замечаниями о перечисленных выше аксиомах. В аксиому (8) включены два соотношения дистрибутивности, потому что кольцо не обязано быть коммутативным, а в некоммутативном кольце левая дистрибутивность не обязательно влечет правую дистрибутивность (правда, я затрудняюсь, какое из соотношений a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc назвать левой, а

какое правой дистрибутивностью). То же самое относится и к аксиомам (7) и (9): левая единица некоммутативного кольца не обязана быть правой единицей, а левый обратный элемент некоммутативного кольца не обязан быть правым обратным. Аксиома (10) участвует только в определениях поля и тела; множество, состоящее только из 0, удовлетворяет аксиомам (1)-(9), однако считать это множество полем по многим причинам неестественно. Таким образом, в полях и телах всегда должно быть по крайней мере два различных элемента0 и 1.

3 Области целостности

Конечно, свойства кольца целых чисел Z не ограничиваются только тем, что Z коммутативное ассоциативное кольцо с 1. Отметим еще

4

одно важное свойство: если произведение двух целых чисел равно 0, то хотя бы один из сомножителей равен 0. Тем же свойством обладает и кольцо многочленов R[x]. Поэтому естественно рассматривать

класс колец, обладающих еще и этим свойством. Мы говорим, что в кольце A нет делителей 0, если из того, что a; b 2 A и ab = 0,

следует, что a = 0 или b = 0. Коммутативное ассоциативное кольцо

с 1 и без делителей 0 называется областью целостности. Кольца целых чисел Z и вещественных многочленов R[x] примеры областей

целостности.

Важнейшим свойством областей целостности является возможность сокращения равенств на ненулевой множитель.

Предложение 1. Пусть A область целостности. Если a; b; c2A, ab = ac и a 6= 0, то b = c.

Доказательство. Если ab = ac, то a(b c) = 0. Первый сомножитель a в этом произведении отличен от 0; поскольку A область целостности, нулю равен второй сомножитель b c. Итак, b c = 0, то есть b = c.

4 Делимость

Хотя в этой главе мы будем иметь в виду только кольца целых чи- сел и вещественных многочленов, многие понятия и факты основаны лишь на том, что это коммутативные ассоциативные кольца с 1, и лишь иногда нам потребуется еще, что они являются областями целостности. Поэтому мы и будем их формулировать в этой более общей ситуации; если читателю трудно оперировать с абстрактным понятием кольца, он может во всех следующих утверждениях счи- тать, что A одно из колец Z или R[x].

Всюду дальше A коммутативное ассоциативное кольцо с 1. Пусть a; b 2 A; мы говорим, что a делится на b и пишем a b (или иногда b j a), если существует такой элемент c 2 A, что a = bc. В следующем предложении собраны основные свойства делимости.

Предложение 2. (1) 0 c для всякого элемента c 2 A;

(2)åñëè a; b; c 2 A, a c, b c, òî (a b) c;

(3)åñëè a; x; c 2 A, a c, òî ax c;

(4)a 1 и a a для любого a 2 A;

(5)åñëè a 2 A è a 0, òî a = 0;

(6)åñëè a; b; c 2 A, a b, b c, òî a c.

Доказательство. (1) 0 = c 0. (4) a = 1 a.

(2) Если a c, b c, то существуют u; v 2 A, такие что a = cu, b = cv. Тогда (a b) = cu cv = c(u v); поскольку u v 2 A, это и значит, что (a b) c.

5

(3) Если a c, x 2 A, то существует элемент u 2 A, такой что a = cu. Тогда ax = (cu)x = c(ux); поскольку ux 2 A, это и значит, что ax c.

(5) Если a 0, , то существует элемент u 2 A, такой что a = 0 u. Итак, a = 0 u = 0.

(6) Если a b, b c, то существуют u; v 2 A, такие что a = bu, b = cv. Тогда a = (cv)u = c(vu); поскольку vu 2 A, это и значит, что a c.

5 Сравнения

С понятием делимости тесно связано понятие сравнения по модулю. Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с 1, и пусть n 2 A.

Мы говорим, что элементы a; b 2 A сравнимы по модулю n и пишем a b (mod n), если (a b) n.

Предложение 3. Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с 1, и пусть n 2 A.

(1)a a (mod n) для всякого a 2 A (рефлексивность сравнения);

(2)если a; b 2 A и a b (mod n), то b a (mod n) (симметрич-

Доказательство. (1) a a = 0 n, а это и значит, что a a (mod n).

(2) Если a b (mod n), то (a b) n; но тогда

(b a) = ( 1)(a b) n;

òî åñòü b a (mod n).

(3)Если a b (mod n), b c (mod n), то (a b) n, (b c) n; но тогда и (a c) = (a b) + (b c) n, то есть a c (mod n).

(4)Åñëè a c (mod n), b d (mod n), òî (a c) n, (b d) n,

èпотому

(a b) (c d) = (a c) (b d) n;

ab cd = ab cb + cb cd = (a c)b + c(b d) n;

6

àэто и значит, что (a b) (c d) (mod n), ab cd (mod n).

(5)Если a b (mod n), то (a b) n, и существует элемент c 2 A, такой что a b = nc; но тогда am bm = (a b)m = nmc nm, то

åñòü am bm (mod nm).

(6) Если am bm (mod nm), то am bm nm, и существует элемент c 2 A, такой что a b)m = am bm = ncm. Но A область

целостности, и поэтому можно сократить обе части последнего равенства на элемент m 6= 0; тогда получаем, что a b = nc n, то есть

a b (mod n).

(7) Åñëè a b (mod n), òî (a b) n; åñëè ê òîìó æå n m, òî

(a b) m, è a b (mod m)

6 Ассоциированные элементы

Элементы a; b 2 A называются ассоциированными, если a b, b a. Для записи того, что a и b ассоциированы, мы применяем обозначе- ние a b.

Предложение 4. (1) a a для всякого элемента a 2 A;

(2)åñëè a; b 2 A, a b, òî b a;

(3)åñëè a; b; c 2 A, a b, b c, òî a c;

(4)åñëè a a0, b b0, a b, òî a0 b0;

(5)åñëè a 2 A è a 0, òî a = 0.

Доказательство. Все утверждения очевидным образом следуют из соответствующих утверждений предложения 1.

В кольце целых чисел Z числа a, b ассоциированы тогда и только тогда, когда a = b. Отметим, что для каждого числа a 2 Z

найдется единственное ассоциированное с ним неотрицательное число. В кольце вещественных многочленов ассоциированных элементов гораздо больше любые два ненулевых многочлена, отличающихся лишь ненулевым вещественным множителем, ассоциированы в кольце R[x].

7 Обратимые элементы кольца

Элемент " коммутативного ассоциативного кольца с единицей A называется делителем 1, если 1 ". Поскольку ", как и любой элемент из A, делится на 1, мы заключаем, что делитель единицы это то же самое, что элемент, ассоциированный с 1. В кольце Z единственными делителями 1 являются числа 1 и 1; в других кольцах делителей 1

может быть больше.

Если " делитель 1, то существует элемент x 2 A, такой что 1 = "x. Он единствен: если 1 = "y, то y = y 1 = y("x) = (y")x = 1 x = x.

7

Единственный элемент x, такой что 1 = "x, называется обратным к " элементом и обозначается " 1. Отсюда происходит другое название

делителей единицы обратимые элементы, то есть такие элементы, для которых есть обратный элемент. В дальнешем мы чаще всего будем употреблять термин "обратимый элемент". Множество всех обратимых элементов кольца A (то есть делителей 1) будем обозначать

через A .

Предложение 5. Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с 1. Тогда:

(1)1 2 A ;

(2)если "; 2 A , то " 2 A , причем (" ) 1 = " 1 1;

(3)åñëè " 2 A , òî " 1 2 A , причем (" 1) 1 = ";

(4)если a любой элемент из A, а " 2 A , то a a";

(5)обратно, если A область целостности, и если элементы a; b 2 A ассоциированы, то существуют такие элементы "; 2 A ,

÷òî a = b", b = a .

Доказательство. Утверждение (1) очевидно. Если "; 2 A , òî ñó- ществуют обратные к "; элементы " 1, 1, и тогда

(" )( 1" 1) = ((" ) 1)" 1 = ("( 1))" 1 = (" 1)" 1 = "" 1 = 1:

Но это равенство как раз и означает, что " 2 A и что 1" 1 обратный к " элемент.

Точно так же, если " 2 A , то существует элемент " 1 2 A, такой что 1 = " 1". Но это равенство означает, что " 1 2 A и что " обратный к " 1 элемент.

Пусть теперь " 2 A и a 2 A; тогда a" a, a = a"" 1 a", то есть a и a" ассоциированы.

Наконец, докажем (5). Утверждение тривиально, если a = 0. Пусть a 6= 0, a b; тогда a b, b a, а это значит, что существуют такие элементы "; 2 A, что a = b", b = a . Подставляя одно из этих равенств в другое, получаем: a 1 = a = b" = a ". Сократив на a 6= 0 (а это возможно, потому что A область целостности), получаем, что 1 = ", то есть что " и делители 1, а значит, обратимые элементы кольца A.

x 2: Идеалы и делимость

1 Идеалы кольца

Подмножество I коммутативного кольца с 1 называется идеалом кольца, если выполняются следующие три условия:

(1) 0 2 I;

8

(2)åñëè a; b 2 I, òî a b 2 I;

(3)если a 2 I, а x любой элемент из A, то ax 2 I.

Замечание. На самом деле идеалы определяются в произвольных кольцах, не обязательно коммутативных и с 1; однако, в общем слу-

чае определение идеала и некоторые утверждения об идеалах становятся чуть-чуть сложнее.

Свойства делимости (1) (3) из предложения 2 показывают, что для любого c 2 A множество всех элементов из A, делящихся на c,

является идеалом кольца A. Немного усложнив этот пример, укажем

еще одну конструкцию для построения идеалов.

Пусть a1; : : : ; an произвольные элементы кольца A. Обозначим через (a1; : : : ; an) множество всех элементов вида x1a1 + + xnan, где коэффициенты x1; : : : ; xn независимо друг от друга пробегают все кольцо A.

Предложение 6. Для любых элементов a1; : : : ; an 2 A множество (a1; : : : ; an) является идеалом кольца A.

Доказательство. Надо проверить, что множество (a1; : : : ; an) удовлетворяет условиям (1) (3) определения идеала.

(1)0 = 0 a1 + + 0 an 2 (a1; : : : ; an);

(2)Пусть a = x1a1 + + xnan, b = y1a1 + + ynan любые

элементы из (a1; : : : ; an) (здесь x1; y1; : : : ; xn; yn какие-то элементы из A). Тогда

ab = (x1a1 + + xnan) (y1a1 + + ynan) =

=(x1 y1)a1 + + (xn yn)an 2 (a1; : : : ; an):

(3) Пусть a = x1a1 + + xnan 2 (a1; : : : ; an), и пусть x 2 A. Тогда

ax = (x1a1 + + xnan)x = (x1x)a1 + + (xnx)an 2 (a1; : : : ; an):

Предложение доказано.

Идеал (a1; : : : ; an) называется идеалом, порожденным элементами a1; : : : ; an 2 A. Идеал (c), порожденный единственным элементом c кольца A, называется главным идеалом кольца A, порожденным c. Главный идеал (c) состоит из всех элементов вида cx, x 2 A, то есть из всех элементов кольца A, делящихся на c.

Основные определения теории делимости красиво формулируются в терминах идеалов. Например, a b тогда и только тогда, когда

(a) (b); a b тогда и только тогда, когда (a) = (b); " 2 A тогда и только тогда, когда (") = (1) = A. Доказательства этих фактов очень просты, и мы их опускаем.

9

Отметим, что некоторые из доказанных выше свойств делимости, и так совершенно тривиальные, становятся еще нагляднее, если их переформулировать в терминах идеалов. Например, утверждение (6) предложения 2 и утверждение (4) предложения 4 приобретают следующий вид:

åñëè (a) (b), (b) (c), òî (a) (c);

åñëè (a) = (a0), (b) = (b0), (a) (b), òî (a0) (b0).

x 3: Идеалы колец Z, R[x]

1 Аксиома индукции

Множество целых чисел не только является коммутативным ассоциативным кольцом с 1; мы еще можем сравнивать целые числа друг с другом. Если a; b 2 Z, то одно из чисел a, b не больше другого, то

есть выполняется одно из соотношений a b или b a. При этом если a b и b a, то b = a. Свойства неравенств для целых чисел

хорошо известны из школьного курса; поэтому мы не повторяем их здесь.

Расширенное множество натуральных чисел N0 (то есть множе- ство натуральных чисел N с присоединенным 0) обладает важным

свойством, которое наглядно очевидно, но которое при строгом построении теории натуральных чисел приходится включать в число аксиом.

Аксиома индукции. Всякое непустое подмножество множества N0 содержит наименьший элемент. Иначе говоря, если X N0, X 6= ;, то существует элемент x0 2 X, такой что для всякого x 2 X будет x0 x.

Следствие. Если X N0, причем некоторое число a 2 N0 принад- лежит X, и из того, что число n 2 N0 принадлежит X следует, что n + 1 2 X, то X содержит все числа, большие или равные a.

Доказательство. Если это не так, то множество

Y = fy 2 N0 j y a; y 2= Xg

непусто. По аксиоме индукции, в Y есть наименьшее число y0. Ïðè ýòîì y0 6= a, так как по условию a 2 X. Следовательно, y0 > a, и потому y0 1 a. Значит, y0 1 2 X, òàê êàê y0 наименьшее число, большее или равное a и не принадлежащее X. Но тогда по условию

число y0 = (y0 1)+1 принадлежит X. Мы пришли к противоречию, которое и доказывает наше утверждение.

10