algebra1

и таким образом

jAj = a1jB1j + : : : + amjBmj:

Предложение 4. Если матрица B получена из матрицы A 2 kn перестановкой двух столбцов, то jBj = jAj.

Доказательство. Пусть ai è aj i-й и j-й столбцы матрицы A. В матрицах, участвующих в следующем равенстве, мы указываем только i-й и j-й столбцы; остальные столбцы у них такие же, как у

матрицы A. Дважды используя предложение 3 находим:

j::; ai + aj; ::; ai + aj; ::j = j::; ai + aj; ::; ai; ::j + j::; ai + aj; ::; aj; ::j = = j::; ai; ::; ai; ::j + j::; aj; ::; ai; ::j + j::; aj; ::; ai; ::j + j::; aj; ::; aj; ::j

Определитель в левой части этого равенства и первый и последний определители правой части равны 0, потому что они являются определителями матриц, у каждой из которых i-й и j-й столбцы одина-

ковы, а такие матрицы вырождены. Оставшиеся же два слагаемых правой части это определители матриц A и B, так что 0 = jAj+jBj.

3 Определитель перестановочной матрицы

Элемент (i1; i2; : : : ; in) из n-й декартовой степени f1; : : : ; ngn множе- ства f1; : : : ; ng, все компоненты is которого различны, называется перестановкой множества f1; : : : ; ng. Из принципа Дирихле следу-

ет, что среди компонент любой перестановки i1; i2; : : : ; in множества f1; : : : ; ng встречаются все числа из множества 1; : : : ; n. Множество всех перестановок множества f1; : : : ; ng будем обозначать через Pn.

Мы говорим, что в перестановке (i1; i2; : : : ; in) элементы is; it îá- разуют инверсию, если s < t, но is > it, то есть если больший из элементов is; it предшествует в перестановке меньшему из них. Обозначим через I(i1; i2; : : : ; in) количество всех инверсий в перестановке; иначе говоря, I(i1; i2; : : : ; in) это количество элементов множества

(s; t) 2 f1; : : : ; ng2 s < t; is > it :

Напомним, что через ei 2 kn обозначается столбец, в i-й строке которого стоит 1, а остальные компоненты равны 0. Перестановочной матрицей называется матрица вида

(ei1 ; ei2 ; : : : ein ) ;

ãäå (i1; i2; : : : ; in) перестановка множества f1; : : : ; ng. Очевидно, перестановочными являются те и только те матрицы, в каждой строке и в каждом столбце которых все элементы, кроме одного, равны 0, а единственные ненулевые элементы, имеющиеся в каждой строке и в каждом столбце, равны 1.

211

Предложение 5. Пусть (i1; i2; : : : ; in) 2 Pn перестановка мно- жества f1; : : : ; ng. Тогда

det(ei1 ; ei2 ; : : : ; ein ) = ( 1)I(i1;i2;:::;in):

Доказательство. Сначала выясним, как меняется число инверсий в перестановке, если в ней поменять местами два соседних элемента.

Лемма 1. Пусть (i1; : : : ; in) перестановка множества f1; : : : ; ng.

(1)Пусть 1 s < n и пусть (j1; : : : ; jn) перестановка, которая получится из перестановки (i1; : : : ; in), если поменять в ней местами is è is+1. Åñëè is > is+1, òî I(j1; : : : ; jn) = I(i1; : : : ; in) 1.

(2)Пусть 1 s < t n и пусть (j1; : : : ; jn) перестановка, ко-

торая получится из перестановки (i1; : : : ; in), если поменять в ней

местами is è it. Тогда I(i1; : : : ; in) è I(j1; : : : ; jn) числа противо- положной четности, так что ( 1)I(j1;:::;jn) = ( 1)I(i1;:::;in).

Доказательство. (1). По определению перестановки j1; : : : ; jn js = is+1; js+1 = is; jt = it ïðè t 6= s; s + 1:

Для любых различных индексов r; t, хотя бы один из которых отличен от s и s + 1, числа jr; jt

том же порядке, как числа ir; it в исходной перестановке, и, следовательно, они одновременно составляют или не составляют инверсию в соответствующих перестановках. Поскольку is > is+1, ïàðà is; is+1 ñî- ставляла инверсию в исходной перестановке, а в новой перестановке ïàðà js; js+1 уже не составляет инверсию. Поэтому

I(j1; : : : ; jn) = I(i1; : : : ; in) 1:

(2). Переход от перестановки (i1; : : : ; in) к перестановке (j1; : : : ; jn) можно сделать следующим образом. Переставим сначала is последо- вательно с is+1; : : : ; it; для этого потребуется t s шагов. Элемент is окажется на t-й позиции, а элемент it на (t 1)-й позиции. Для того, чтобы переместить it на s-ю позицию, переставим его последовательно с элементами, стоящими на (t 2)-й, . . . , (s+1)-й позициях; это составит еще t s 1 шагов. Итак, перемена местами is, it может быть осуществлена за 2(t s) 1 шагов, на каждом из которых ме-

няются местами соседние элементы. Но из (1) следует, что перемена местами соседних элементов меняет четность числа инверсий в перестановке, поэтому за нечетное число шагов четность перестановки тоже заменится на противоположную.

Используя эту лемму, докажем теперь предложение 5 индукцией по числу инверсий I(i1; i2; : : : ; in) в перестановке (i1; i2; : : : ; in). Åñëè

212

I(i1; i2; : : : ; in) = 0, то есть если в перестановке вообще нет инверсий, то

1 i1 < i2 < : : : < in n;

а это возможно только если i1 = 1, i2 = 2, . . . , in = n. В этом случае

(ei1 ; ei2 ; : : : ; ein ) = (e1; e2; : : : ; en)

единичная матрица, и

det(ei1 ; ei2 ; : : : ; ein ) = jEj = 1 = ( 1)0 = ( 1)I(i1;i2;:::;in):

Пусть теперь I(i1; : : : ; in) > 0, и пусть утверждение леммы уже доказано для всех перестановок с меньшим число инверсий. Тогда найдется такой индекс s, 1 s < n, что is > is+1 (иначе было бы i1 < i2 < : : : < in, то есть инверсий не было бы вообще). Пусть j1; : : : ; jnперестановка, которая получится из перестановки (i1; : : : ; in), если поменять в ней местами is è is+1; по лемме 1 будет

I(j1; : : : ; jn) = I(i1; : : : ; in) 1 < I(i1; : : : ; in):

Тогда по предположению индукции

det(ej1 ; ej2 ; : : : ; ejn ) = ( 1)I(j1;:::;jn) = ( 1)I(i1;:::;in) 1:

Но матрица (ej1 ; ej2 ; : : : ; ejn ) получается из матрицы (ei1 ; ei2 ; : : : ; ein ) перестановкой s-го и (s + 1)-го столбцов, так что их определители

отличаются лишь знаком, и значит,

det(ei1 ; ei2 ; : : : ; ein ) = det(ej1 ; ej2 ; : : : ; ejn ) =

= ( 1)I(i1;:::;in) 1 = ( 1)I(i1;:::;in);

что мы и хотели получить.

4 Явная формула для определителя

Пусть

матрица из kn, и пусть a1; a2; : : : ; an 2 kn е¼ столбцы. Тогда

213

Определитель линеен по первому столбцу, поэтому

Каждый из определителей det(ei1 ; a2; : : : ; an) линеен по второму столбцу, так что

подставляя эти выражения в предыдущую сумму, получаем:

nn

XX

jAj = ai11 ai22 det(ei1 ; ei2 ; a3; : : : ; an) :

i1=1 i2=1

Продолжая то же рассуждение и пользуясь линейностью определителя по третьему, ... , n-му столбцам, мы в конце концов получим:

Заменяя многократную сумму на сумму по декартову произведению всех множеств суммирования (то есть на n-ю декартову степень мно-

жества f1; : : : ; ng), мы придем к следующему выражению для определителя:

Заметим, что в этой сумме много нулевых слагаемых: если среди чи- сел i1; i2; : : : ; in есть одинаковые, то в матрице (ei1 ; ei2 ; : : : ; ein ) есть одинаковые столбцы, и е¼ определитель равен 0. Поэтому в сумме можно оставить лишь те слагаемые, для которых все индексы i1; : : : ; in различны, а это значит, что (i1; : : : ; in) принадлежит множеству Pn перестановок множества f1; : : : ; ng. Но для этого случая мы уже знаем из предложения 5, что

det(ei1 ; ei2 ; : : : ; ein ) = ( 1)I(i1;i2;:::;in):

Таким образом, мы приходим к следующей формуле, выражающей определитель матрицы A через е¼ компоненты aij:

214

Иными словами, определитель матрицы A равен сумме произведений (с соответствующими знаками) элементов матрицы A, взятых

по одному из каждого столбца так, чтобы они принадлежали разным

строкам, причем произведение ai11ai22 : : : ainn

знаком ( 1)I(i1;i2;:::;in).

5 Доказательство теоремы 1

Из явной формулы, полученной в п.4 , видно, что если функция, удо-

влетворяющая условиям теоремы 1, существует, то она обязательно выражается через компоненты матрицы по этой формуле и потому единственна; остается показать, что функция

BC

действительно удовлетворяет условиям (1), (2), (3).

Лемма 2. Если A; B; C матрицы из kn, и a, b; c их j-е столбцы, причем a = ab + c (a 2 k), а остальные столбцы во всех матрицах

одинаковы, то

f(A) = a f(B) + f(C):

Доказательство. Пусть

и пусть asj = abs + cs для всех s, 1 s n. Тогда f(A) является суммой выражений вида

as11 (abj + cj) asnn = a(as11 bj asnn) + as11 cj asnn;

взятых со знаками ( 1)I(s1;:::;sn), ãäå (s1; : : : ; sn) пробегает все перестановки из Pn. Но сумма первых слагаемых этих выражений (с теми же знаками) равна произведению a на значение функции f для мат-

рицы B, полученной из A заменой элементов asj j-го столбца на элементы bj, и аналогично сумма вторых слагаемых равна значению функции f для матрицы C, полученной из A заменой элементов asj на элементы cj. Таким образом, f(A) = a f(B) + f(C).

215

Лемма 3. Если в матрице A есть два равных столбца, то f(A) = 0.

Доказательство. Как и выше, мы обозначаем через asi элемент, сто- ящий на пересечении s-й строки и i-го столбца матрицы A. Пусть 1 i < j n. Обозначим через Pn+ множество тех перестановок (s1; : : : ; si; : : : ; sj; : : : ; sn), у которых si < sj; тогда определение функ- ции f можно переписать следующим образом:

Поскольку по лемме 1, (2)

( 1)I(s1;:::;sj;:::;si;:::;sn) = ( 1)I(s1;:::;si;:::;sj;:::;sn);

мы получаем, что f(A) равняется сумме слагаемых вида

(as11 : : : asii : : : asjj : : : asnn as11 : : : asji : : : asij : : : asnn);

ãäå (s1; : : : ; sn) пробегает множество Pn+. Íî åñëè i-й и j-й столбцы матрицы A равны, то asii = asij, asji = asjj, и потому все эти слагае-

а это и есть свойство (2) для случая, когда к столбцу с меньшим номером прибавляется кратное столбца с большим номером (противоположный случай рассматривается аналогично). Наконец, свойство

(1) очевидно: в матрице E только диагональные элементы отличны от 0, поэтому их произведение 1 : : : 1 = 1 является единственным ненулевым слагаемым в сумме, определяющей функцию f, и оно входит в эту сумму со знаком

( 1)I(1;:::;n) = ( 1)0 = 1:

Этим завершается доказательство теоремы 1.

216

x 3: Дальнейшие свойства определителей над полем

1 Определители малых порядков

Хотя найденная выше формула явно выражают определитель матрицы через ее компоненты, для вычисление определителей по ней требуется провести слишком большое число операций n!(n 1)

умножений и n! 1 сложений и вычитаний. К тому же, для каж-

дого слагаемого надо еще выяснить, с каким оно знаком входит в определитель, потому что уже при n = 4 запомнить эти знаки до-

вольно трудно. Однако, для малых порядков развернутые формулы не столь громоздки, достаточно легко запоминаются и потому часто используются.

Особенно просто выглядит формула для определителя второго порядка. Множество P2 состоит всего из двух перестановок (1; 2)

и (2; 1); в первой из них нет инверсий, а во второй одна инверсия,

Итак, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали определителя и элементов другой его диагонали.

Пусть теперь n = 3. Множество перестановок P3 состоит из шести перестановок

(1; 2; 3); (2; 3; 1); (3; 1; 2); (1; 3; 2); (2; 1; 3); (3; 2; 1):

В первых трех из них четное число инверсий (соответственно 0, 2, 2), а в остальных трех нечетное (1, 1, 3); поэтому наша формула для определителя приобретает вид:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

a31 a32 a33

a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31:

2 Формулы Крамера

Выше мы доказали теорему Крамера, утверждающую, что система n линейных уравнений с n неизвестными, матрица которой невы-

рождена, имеет единственное решение. Используя определители, мы можем явно указать это единственное решение.

217

Предложение 6. Пусть

система n линейных уравнений с n неизвестными, все коэффициенты и свободные члены которой принадлежат полю k. Далее,

пусть Aj матрица, полученная из матрицы A заменой j-го столбца на столбец свободных членов (b1; : : : ; bn)T (1 j n). Если матрица A, невырождена, то jAj =6 0 и отношения определителей

составляют единственное решение системы ( ).

Доказательство. По теореме Крамера система ( ) совместна и имеет единственное решение a1; a2; : : : ; an. Пусть a1; a2; : : : ; an столбцы матрицы A, а

b= (b1; : : : ; bn)T

столбец свободных членов. Тот факт, что элементы a1; a2; : : : ; an составляют решение системы ( ), равносилен равенству столбцов

b= a1a1 + a2a2 + : : : + anan;

èпо предложению 1 отсюда следует, что для любого j выполняется соотношение jAjj = ajjAj. Но по предложению 2 определитель jAj невырожденной матрицы A отличен от 0, поэтому из предыдущего

равенства следует, что aj = jAjj=jAj.

Формулы ( ), дополняющие теорему Крамера и дающие един-

ственное решение системы линейных уравнений с невырожденной матрицей, называются формулами Крамера.

Отметим, что формулы Крамера являются буквальным обобщением тех формул, выражающих решение системы трех линейных уравнений с вещественными коэффициентами через объ¼мы некоторых параллелепипедов, которые были получены в x 1: Действитель-

но, определитель это "ориентированный объ¼м" параллелепипеда, ребра которого столбцы матрицы, так что по формулам Краме- ра компоненты aj решения отношения ориентированных объемов двух параллелепипедов, один из которых получается из другого (одного и того же для всех j) заменой j-го ребра (то есть j-го столбца

матрицы системы) на столбец свободных членов.

218

3 Определители элементарных матриц

Предложение 7. Определитель любой элементарной матрицы U равен произведению е¼ диагональных элементов. Если U элементарная, а A произвольная матрица из kn, òî jAUj = jAj jUj.

Доказательство. Элементарная матрица U это матрица одного из видов

в которых a 6= 0; b элементы из k, а все не отмеченные недиагональ-

ные элементы равны 0, а не отмеченные диагональные элементы равны 1. В первом случае матрица AU получается из матрицы A прибав-

лением к одному из е¼ столбцов другого столбца, умноженного на b, и по условию (2) теоремы 1 jAUj = jAj. Полагая здесь A = E и учитывая, что jEj = 1 по условию (1), получаем, что jUj = jEUj = jEj = 1, так что для любой матрицы A будет jAUj = jAj = jAj jUj. Остается заметить, что произведение диагональных элементов матрицы U равно 1 = jUj.

Во втором случае матрица AU получается из матрицы A умножением одного из столбцов на a, так что по условию (3) теоремы 1 jAUj = ajAj. Полагая здесь A = E и учитывая, что jEj = 1 по условию (1), получаем, что jUj = jEUj = ajEj = a, так что для любой матрицы A будет jAUj = ajAj = jAj jUj. Остается заметить, что произведение диагональных элементов матрицы U равно a = jUj.

4 Определители произведения матриц и транспонированной матрицы

Предложение 8. Если A; B матрицы из kn, òî jABj = jAj jBj.

Предложение 9. Для любой матрицы B 2 kn будет jBTj = jBj.

Доказательство. Оба предложения доказываются единообразно. Если матрица B 2 kn вырождена, то rank B < n, и потому

rank BT = rank B < n; rank AB rank B < n;

219

а это значит, что матрицы BT, AB вырождены вместе с B, и потому по предложению 2 определители всех трех матриц равны 0, так что

jBTj = 0 = jBj; jABj = 0 = jAj 0 = jAj jBj; jAj = 0:

Итак, утверждения предложений 8, 9 доказаны для случая вырожденной матрицы B.

Если теперь B невырожденная матрица, то B представляется в виде произведения элементарных матриц B = U1 : : : UN . Тогда

и ясно, что каждая из матриц UiT снова элементарная матрица, причем jUiTj = jUij. Теперь из предложения 7 тривиальной индукцией по N получаем, что

jABj = jAj jU1j : : : jUN j = jAj jBj:

Итак, оба предложения доказаны и для случая, когда матрица B невырождена.

5 "Строчечные" свойства определителя

В определении определителя, содержащемся в теореме 1, столбцы и строки матрицы играли разную роль; наше определение было по существу "столбцовым". Предложение 9 показывает, что при транспонировании матрицы, то есть при превращении ее строк в столбцы, а столбцов в строки, определитель не меняется; поэтому все свойства, доказанные для столбцов, верны и для строк, и наоборот. В частности, в приведенной выше явной формуле, выражающей определитель матрицы через е¼ компоненты, знак, с которым произведение входит в определитель, определялся перестановкой номеров строк, при условии, что сомножители упорядочены по номерам столбцов. Теперь мы можем поменять в этой формуле местами строки и столбцы.

Предложение 10. Для любых элементов aij 2 k, 1 i; j n,

В следующем предложении собраны "строчечные" аналоги доказанных выше "столбцовых" свойств.

220