algebra1

Две системы алгебраических уравнений над одним и тем же полем с одними и теми же неизвестными называются равносильными, если всякое решение первой системы является решением второй системы, а всякое решение второй системы является решением первой системы. Следующее предложение дает достаточный признак равносильности двух систем алгебраических уравнений.

Предложение 1. Пусть

две системы алгебраических уравнений над полем k. Если существует такое натуральное число N 1, что N-е степени всех много- членов f1; : : : ; fm принадлежат идеалу кольца k[x1; : : : ; xn], порожденному многочленами g1; : : : ; gp, и наоборот, N-е степени всех многочленов g1; : : : ; gp принадлежат идеалу кольца k[x1; : : : ; xn], порож- денному многочленами f1; : : : ; fm, то эти системы равносильны.

Доказательство. Пусть (a1; : : : ; an) решение второй системы. Для любого i, 1 i m, многочлен fiN принадлежит идеалу, порожден- ному многочленами g1; : : : ; gp; поэтому существуют такие многочлены h1; : : : ; hp 2 k[x1; : : : ; xn], ÷òî

(fi(x1; : : : ; xn))N = h1(x1; : : : ; xn)g1(x1; : : : ; xn) + : : : +

+ hp(x1; : : : ; xn)gp(x1; : : : ; xn):

Тогда

(fi(a1; : : : ; an))N =

=h1(a1; : : : ; an)g1(a1; : : : ; an) + : : : + hp(a1; : : : ; an)gp(a1; : : : ; an) =

=h1(a1; : : : ; an) 0 + : : : hp(a1; : : : ; an) 0 = 0;

откуда следует, что fi(a1; : : : ; an) = 0. Таким образом, (a1; : : : ; an) удовлетворяет всем уравнениям первой системы. Аналогично показывается, что всякое решение первой системы является и решением второй системы.

Замечание. Если поле k алгебраически замкнуто, то это доста-

точное условие равносильности двух систем алгебраических уравнений является и необходимым. Доказательство этого утверждения, известного как "Теорема Гильберта о нулях", гораздо сложнее.

161

Элементарными преобразованиями над системой алгебраических уравнений называется преобразования одного из двух типов:

(1)замена одного из уравнений системы fi(x1; : : : ; xn) = 0 на уравнение afi(x1; : : : ; xn) = 0, ãäå a 2 k, a 6= 0;

(2)замена одного из уравнений системы fi(x1; : : : ; xn) = 0 íà óðàâ-

нение

fi(x1; : : : ; xn) + h(x1; : : : ; xn)fj(x1; : : : ; xn) = 0;

ãäå fj(x1; : : : ; xn) = 0 другое (не то же самое!) уравнение системы, а h(x1; : : : ; xn) 2 k[x1; : : : ; xn].

Из предложения 1 немедленно получаем

Следствие. Элементарные преобразования меняют систему на равносильную ей систему.

2 Системы линейных уравнений

Система уравнений, левые части которых являются многочленами полной степени не больше 1, называется системой линейных уравнений. Поскольку всякий многочлен из k[x1; : : : ; xn] полной степени не больше 1 имеет вид a1x1 + + anxn b, системами линейных уравнений над полем k являются системы

a11 x1 + + a1nxn b1 = 0

am1 x1 + + amnxn bm = 0;

ãäå aij; bi любые элементы из k. Обычно члены нулевой степени, которые называются свободными членами линейных уравнений, переносятся в правую часть, так что система линейных уравнений приобретает вид

a11 x1 + + a1nxn = b1

am1 x1 + + amnxn = bm:

С системой линейных уравнений связаны две матрицы:

Первая из них называется матрицей коэффициентов системы, или, короче, матрицей системы, а вторая, полученная из первой приписыванием столбца свободных членов расширенной матрицей системы.

162

При помощи матрицы системы ее можно записать в более ком-

пактном виде:

0 1 0 1 x1 b1

A B . C = B . C:

@ A @ A

xn bm

Решения системы удобно записывать не в виде строчки, как мы делали выше, а в виде столбца: столбец (a1; : : : ; an)> является решением

вышеприведенной системы, если

A B . C = B . C:

@ A @ A

an bm

3 Системы линейных уравнений с обратимыми матрицами

Каждое линейное уравнение накладывает на неизвестные величины x1; : : : ; xn некоторое ограничение; если имеется n таких ограничений и они независимы друг от друга, то мы вправе рассчитывать на то, что сможем однозначно восстановить значения всех неизвестных. В школьном курсе, как правило, мы сталкиваемся именно с такими системами. Более точно высказанные соображения звучат так.

Теорема 1 (теорема Крамера). Пусть

a11 x1 + + a1nxn =b1

an1 x1 + + annxn =bn

система n линейных уравнений с n неизвестными, и пусть A матрица этой системы. Если матрица A обратима, то система имеет единственное решение

an bn

Доказательство. Для доказательства существования решения достаточно проверить, что столбец, указанный в формулировке теоремы, действительно представляет собой решение системы. Но это непосредственно следует из ассоциативности умножения матриц:

163

Докажем теперь, что любое решение системы совпадает с этим решением. В самом деле, если столбец (a1; : : : ; an)> произвольное

решение нашей системы, то

что мы и хотели доказать.

4 Метод Гаусса для решения произвольных систем линейных уравнений

Решение произвольной системы линейных уравнений может быть получено преобразованием этой системы в такую равносильную ей систему, для которой описание множества решений очевидно. Для достижения этой цели мы воспользуемся элементарными преобразованиями. Не всегда элементарное преобразование над системой линейных уравнений приводит опять к системе линейных уравнений: в определении, данном выше, разрешалось к уравнению прибавлять другое уравнение, умноженное на любой многочлен. Но достаточно и тех из элементарных преобразований, которые сохраняют линейность системы:

(1)умножение обеих частей одного из уравнений на элемент a 6= 0 из поля k;

(2)прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого уравнения, умноженных на элемент a 2 k.

Добавим сюда еще одно преобразование, не меняющее саму систему уравнений, но меняющее матрицу и расширенную матрицу системы, которые зависят от того, в каком порядке записаны уравнения:

(3) перемена местами двух уравнений системы.

Таким образом, элементарные преобразования это преобразования, переводящие систему

DA B . C = D B . C;

@ A @ A

xn bm

где D произвольная элементарная матрица. Отсюда сразу видно, что при элементарном преобразовании над системой линейных урав-

164

нений ее матрица и ее расширенная матрица претерпевают элементарные преобразования над строками, описываемые теми же самыми элементарными матрицами. Но мы знаем, что элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы системы ее можно сделать ступенчатой матрицей. Поэтому при помощи элементарных преобразований (которые, напомним, не меняют множество решений системы) любую систему линейных уравнений можно свести к равносильной ей системе вида

xj1 + a01;j1+1xj1+1 + : : : + 0 xj2 + : : : + 0 xjr + : : : + a01n xn = b01; xj2 + : : : + 0 xjr + : : : + a02n xn = b02;

0 = 1;

0 = 0:

Во втором случае система не имеет решений, так как ни при каких значениях неизвестных значение многочлена 0 не окажется равным 1. В первом случае, наоборот, решения есть; более того, всем неизвест- íûì xj, кроме xj1 ; xj2 ; : : : xjr , можно придать произвольные значенияj 2 k, и тогда значения js неизвестных xjs определятся из системы уже однозначно:

X

js = b0s a0sj j:

j>js j6=js+1;:::;jr

Если r = n, то "свободных" неизвестных не будет, и у системы будет

лишь одно решение.

Итак, система линейных уравнений может вообще не иметь решений, или иметь единственное решение (как в случае, описываемом теоремой Крамера), или иметь много решений, зависящих от n r

параметров, принимающих произвольные значения (здесь n число

165

неизвестных, а r число ненулевых уравнений ступенчатой систе-

мы, равносильной исходной системе). Для того, чтобы разобраться в том, от чего зависит характер множества решений системы, нам придется воспользоваться некоторыми основополагающими фактами линейной алгебры, изложению которых посвящены следующие параграфы.

x 2: Векторные пространства

1 Определение векторного пространства

Пусть k поле, а V множество, на котором определено сложение, а также умножение на элементы из поля k. Таким образом, каждым элементам u; v 2 V сопоставляется их сумма u + v 2 V , а каждым элементам v 2 V , a 2 k произведение av = va 2 V . Множество V называется векторным (или линейным) пространством над полем k, если выполняются следующие свойства:

(1)u + (v + w) = (u + v) + w для любых u; v; w 2 V ;

(2)u + v = v + u для любых u; v 2 V ;

(3) существует такой элемент 2 V , что v + = v для любого

v2 V ;

(4)для всякого v 2 V существует такой элемент v 2 V , что

v+ ( v) = ;

(5)a(u + v) = au + av для любых a 2 k, u; v 2 V ;

(6)(a + b)v = av + bv для любых a; b 2 k, v 2 V ;

(7)(ab)v = a(bv) для любых a; b 2 k, v 2 V ;

(8)1 v = v для любого v 2 V (здесь 1 = единица поля k).

Элементы векторного пространства называются векторами. Векториз аксиомы (3) называется нулевым вектором, а вектор v из акси-

омы (4) противоположным к v вектором. Мы уже упоминали, что

выполнение аксиом (1) - (4) гарантирует единственность нулевого и противоположного элементов; поскольку доказательства тривиальны и не занимают много места, и поскольку мы часто будем использовать еще три столь же тривиальных утверждения, приведем здесь эти доказательства.

Предложение 2. Пусть V векторное пространство над полем k.

(1) Åñëè ; 1 такие векторы из V, что v + = v + 1 = v для любого вектора v 2 V , то = 1.

166

(2)Åñëè u1; u2; v 2 V таковы, что u1 +v = u2 +v = , òî u1 = u2.

(3)a = для любого a 2 k.

(4)0 v = для любого вектора v 2 V .

(5)( 1) v = v для любого вектора v 2 V .

Доказательство. (1) Взяв в качестве v сначала вектор , а затем вектор 1, получим: = + 1, 1 = 1 + , откуда и следует, что

= 1.

(2)u1 = u1 + = u1 + (v + u2) = (u1 + v) + u2 = + u2 = u2.

(3)Пользуясь дистрибутивностью умножения по векторному сомножителю (аксиома (5)), получаем:

a = a + = a + (a + ( a )) = (a + a ) + ( a ) =

=a( + ) + ( a ) = a + ( a ) = :

(4)Пользуясь аксиомой (6), получаем:

0 v = 0 v + = 0 v + (0 v + ( 0 v)) = (0 v + 0 v) + ( 0 v) =

=(0 + 0)v + ( 0 v) = 0 v + ( 0 v) = :

(5)По аксиомам (8) и (6) и по уже доказанному свойству (4),

имеем:

( 1)v = ( 1)v + = ( 1)v + (v + ( v)) = (( 1)v + 1 v) + ( v) =

= ( 1 + 1)v + ( v) = 0 v + ( v) = + ( v) = v:

2 Примеры векторных пространств

Почти, все что изучается в математике, происходит в различных векторных пространствах. Приведем лишь несколько примеров.

1. Изучающиеся в геометрии векторы на плоскости и в пространстве составляют векторные пространства над полем вещественных чисел R. Мы будем называть их "геометрическими" векторными про-

странствами.

2. В поле вещественных чисел R определено сложение и умноже-

ние на рациональные числа; из аксиом поля, в частности, вытекает, что в R выполняются все требования, которым должно удовле-

творять векторное пространство над полем рациональных чисел Q.

Совершенно аналогично, любое поле и даже тело может рассматриваться как векторное пространство над содержащимся в нем полем. Например, поле комплексных чисел C и тело кватернионов H явля-

ются векторными пространствами над каждым из полей Q, R, C. 3. Множество всех непрерывных на отрезке [0; 1] функций век-

торное пространство над R.

167

4.Пусть k поле; тогда кольцо многочленов k[x] векторное пространство над полем k.

5.Пусть k поле, а m, n натуральные числа; тогда множество km n всех матриц с компонентами из k, состоящих из m строк и n

столбцов, является векторным пространством над полем k (и первые

8 свойств действий над матрицами как раз и являются аксиомами

векторного пространства).

Из пространств km n особенно важным является пространство столбцов km 1; оно называется арифметическим векторным пространством размерности m и обозначается km. Слова "размерности m"

здесь не имеют никакого содержательного смысла (по крайней мере,

пока), и их следует рассматривать как часть очень длинного имени пространства km "арифметическое векторное пространство раз-

мерности m". В дальнейшем, когда мы дадим определение размерно-

сти пространства, мы докажем, что размерность "арифметического векторного пространства размерности m" равна m.

3 Линейные комбинации

Пусть V векторное пространство над полем k. Линейной комбинацией векторов u1; : : : ; un 2 V с коэффициентами 1; : : : ; n 2 k называется вектор 1u1 + : : : + nun 2 V . Удобно считать, что линейной комбинацией пустого набора векторов является нулевой вектор. Такое определение естественно, потому что линейная комбинация n

векторов является суммой n слагаемых, так что линейная комбина-

ция пустого набора должна быть суммой 0 слагаемых, а такую сумму естественно считать нулевым вектором. Таким образом, нулевой вектор является линейной комбинацией векторов из любого конечного набора векторов.

Нам часто будет удобно пользоваться следующим простым утверждением, которое можно было бы назвать "транзитивностью линейных комбинаций".

Лемма 1. Пусть v1; : : : ; vm какие-то векторы из векторного про- странства V, и пусть u1; : : : ; un линейные комбинации векторов v1; : : : ; vm. Тогда всякая линейная комбинация векторов u1; : : : ; un ÿâ- ляется и линейной комбинацией векторов v1; : : : ; vm.

Доказательство. Пусть w = 1u1 + : : : + nun, ãäå 1; : : : ; n 2 k.

168

представляет собой линейную комбинацию векторов v1; : : : ; vm.

4 Подпространства

Пусть V векторное пространство над полем k. Непустое подмножество U пространства V называется подпространством V, если для любых векторов u; u0 2 U и для любого 2 k векторы u + u0, u принадлежат U. Если u любой элемент из непустого множества U, то векторы = 0 u, u = ( 1)u принадлежит U. Таким образом, любое подпространство содержит нулевой вектор и вместе с каждым вектором u содержит также и противоположный вектор u.

Любое подпространство U пространства V само является пространством над полем k. Действительно, при сложении векторов из U и при умножении вектора из U на элемент 2 k мы снова получаем векторы из U. Мы уже отметили, что в U выполняются аксиомы 3 и 4

определения векторного пространства; остальные аксиомы представляют собой равенства, которые выполняются во всем пространстве V, и тем более в его части U.

Часто бывает полезно немного ослабить или, наоборот, усилить требования, определяющие подпространство.

Предложение 3. Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть U его непустое подмножество. Следующие условия равносильны.

(1)U подпространство V.

(2)Для любых u; u0 2 U и любого 2 k вектор u + u0 принадле-

æèò U.

(3) Любая линейная комбинация векторов из U принадлежит U.

Доказательство. (1) ) (3). Если U подпространство V, то для любых векторов u1; : : : ; un 2 U и любых 1; : : : ; n 2 k векторы1u1; : : : ; nun принадлежат U, а тогда и их сумма 1u1 + : : : + nun принадлежит U.

(3) ) (2). Если любая линейная комбинация векторов из U принадлежит U, то, в частности, и линейная комбинация

u + u0 = u + 1 u0

векторов u; u0 2 U принадлежит множеству U.

(2) ) (1). Пусть u 2 U; тогда по (2) элемент = ( 1)u + u принадлежит U. Далее, опять по (2) элемент u = u + принадлежит U. Наконец, полагая в (2) = 1, получаем, что u + u0 = 1 u + u0 принадлежит U для любых u; u0 2 U. Итак, если выполнено условие (2), то U подпространство V.

169

5 Линейная оболочка подмножества

Пусть V векторное пространство над полем k, и пусть S какое-то подмножество пространства V. Его линейной оболочкой называется

множество всех линейных комбинаций векторов, каждый из которых принадлежит S. Линейная оболочка множества S обозначается через

<S>. Таким образом,

<S>= fa1v1 + : : : + anvn j n 2 N0; v1; : : : ; vn 2 S; a1; : : : ; an 2 kg:

В частности, линейная оболочка пустого множества состоит только из нулевого вектора. Заметим еще, что для любого вектора u 2 S

этот вектор u = 1 u является линейной комбинацией векторов из S и потому принадлежит линейной оболочке множества S; таким образом, всегда имеет место включение S <S>.

Если вектор u 2 V принадлежит линейной оболочке множества S, то он представим в виде

u = a1v1 + : : : + anvn; v1; : : : ; vn 2 S; a1; : : : ; an 2 k:

Если среди векторов v1; : : : ; vn есть одинаковые, то мы можем объединить соответствующие слагаемые в одно, с коэффициентом, равным сумме коэффициентов всех этих слагаемых. Поэтому мы всегда можем считать, что векторы v1; : : : ; vn различны. Если при этом мно- жество S конечно, то мы можем добавить в сумму все остальные

векторы из S с нулевыми коэффициентами:

v2S

Это описание линейной оболочки не может быть буквально распространено на случай, когда множество S не обязательно конечно:

ведь в векторном пространстве V имеют смысл только суммы ко-

нечного числа слагаемых. Поэтому приходится немного модифицировать наше описание. Если вектор u 2 V принадлежит линейной

оболочке множества S, то он представим в виде u = a1v1 + : : : + anvn, ãäå v1; : : : ; vn различные векторы из S, а a1; : : : ; an элементы поля k. Тогда

170