algebra1

Отметим, что бесконечность поля k существенна: по малой теореме Ферма многочлены tp и t над полем вычетов Z=(p) по простому модулю p функционально равны, но, конечно, они не равны.

4 Кратность корня

Пусть f(t) ненулевой многочлен над полем k и пусть a 2 k его корень. Тогда f(t) делится на (t a); но может оказаться, что f(t) делится и на более высокую степень двучлена (t a). Натуральное число s 1 называется кратностью корня a многочлена f(t), если многочлен f(t) делится на (t a)s, но не делится на (t a)s+1. Допол- ним это определение, приняв, что a 2 k корень многочлена f(t) кратности 0, если a не является корнем f(t),

Предложение 14. Пусть k поле, f(t) 2 k[t] ненулевой много- член, и пусть a1; : : : ; ar 2 k все его попарно различные корни, а s1; : : : ; sr 1 их кратности. Тогда

f(t) = a(t a1)s1 (t ar)sr p1(t) pq(t);

где a 2 k старший коэффициент многочлена f(t), а p1(t); : : : ; pq(t)неприводимые унитарные многочлены, степень каждого из которых не меньше 2.

Доказательство. Многочлены (t a1)s1 , . . . , (t ar)sr попарно вза- имно просты, и многочлен f(t) делится на каждый из них. Поэтому f(t) делится на их произведение (t a1)s1 (t ar)sr , и существует многочлен g(t) 2 k[t], такой что

f(t) = (t a1)s1 (t ar)sr g(t):

Пусть g(t) = ap1(t) pq(t) каноническое разложение g(t) в произведение старшего коэффициента a и неприводимых унитарных мно-

гочленов p1(t); : : : ; pq(t) (такое разложение существует по основной теореме арифметики для многочленов). Тогда

f(t) = a(t a1)s1 (t ar)sr p1(t) pq(t);

и нам остается доказать, что степень каждого из многочленов pi(t) не меньше 2. Пусть deg pj(t) = 1; тогда pj(t) = t a для некоторого a 2 k. Поскольку f(t) делится на pj(t) = t a, элемент a является корнем f(t) и потому совпадает с каким-то из элементов ai, 1 i r. Мы видим, что в этом случае f(t) делится на (t ai)si+1, вопреки тому, что кратность корня ai равна si. Значит, предположение deg pj(t) = 1 было неверным, и deg pj(t) 2 äëÿ âñåõ j, 1 j q.

91

Следствие 1. Кратность корня a многочлена f(t) 6= 0 совпадает со степенью, в которой двучлен (t a) входит в каноническое разложение многочлена f(t) в произведение унитарных неприводимых многочленов (это верно и для нулевой кратности).

Следствие 2. Число корней ненулевого многочлена, считаемых каждый столько раз, какова его кратность, не больше степени этого многочлена.

5 Алгебраически замкнутые поля

Поле k называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен f(t) 2 k[t], степень которого больше 0, имеет в k хотя бы один корень.

Отметим, что многочлен 0, степень которого не больше 0, имеет в ка- честве корней все элементы поля k; зато все остальные многочлены,

степень которых не больше 0, являются ненулевыми константами и не имеют корней.

Предложение 15. Пусть k алгебраически замкнутое поле. Многочлен f(t) с коэффициентами из k неприводим в k[t] тогда и только тогда, когда его степень равна 1.

Доказательство. Мы уже знаем, что многочлены степени 1 неприводимы над любым полем; докажем, что, если поле k алгебраиче-

ски замкнуто, то верно и обратное утверждение. Пусть f(t) 2 k[t]

неприводимый многочлен; по определению, неприводимый много- член отличен от 0 и не является делителем 1, поэтому его степень больше 0. Поскольку поле k алгебраически замкнуто, у многочле-

на f(t) есть корень a 2 k. По следствию из теоремы Безу (t a) делитель f(t). Но мы знаем из предложения I.9, (2), что если один

неприводимый многочлен делится на другой то они ассоциированы, и поэтому f(t) = c(t a), где c 2 k, c 6= 0, и deg f(t) = 1.

Из этого предложения следует, что всякий унитарный неприводимый многочлен над алгебраически замкнутым полем k имеет вид

t a, где a 2 k. Поэтому по основной теореме арифметики для много- членов всякий ненулевой многочлен f(t) 2 k[t] может быть представлен в виде произведения f(t) = c(t b1) (t bn), ãäå c 6= 0, b1; : : : ; bnэлементы из k. Собирая вместе одинаковые сомножители, представим f(t) в виде f(t) = c(t a1)s1 (t ar)s r, ãäå a1; : : : ; ar âñå различные из элементов b1; : : : ; bn. Таким образом, основная теорема арифметики в случае алгебраически замкнутого поля принимает следующий вид.

92

Теорема 8. Пусть k алгебраически замкнутое поле. Всякий ненулевой многочлен f(t) 2 k[t] может быть представлен в виде произ-

ведения

f(t) = c(t a1)s1 (t ar)sr ;

ãäå c 6= 0, a1; : : : ; ar элементы из k, а s1; : : : ; sr 1 натуральные числа. Это представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

Впрочем, единственность канонического разложения многочлена в случае алгебраически замкнутого поля очевидна, ибо элементы a1; : : : ; ar и числа s1; : : : ; sr могут быть интерпретированы инвариантным образом, не зависящим от разложения: из предложения 14 следует, что a1; : : : ; ar все корни многочлена, а s1; : : : ; sr èõ êðàò- ности. Поскольку

deg f(t) = deg(c(t a1)s1 (t ar)sr ) =

= deg c + deg(t a1)s1 + : : : + deg(t ar)sr = s1 + : : : + sr;

мы получаем следующее утверждение.

Теорема 9. В алгебраически замкнутом поле число корней ненулевого многочлена, считаемых каждый столько раз, какова его кратность, равно степени этого многочлена.

6 Основная теорема высшей алгебры

Так принято называть следующее утверждение.

Теорема 10. Поле комплексных чисел C алгебраически замкнуто.

В названии "Основная теорема высшей алгебры" неверно все, кроме слова "теорема". Во-первых, эта теорема никак не может претендовать на титул основной для всей алгебры; во-вторых, она не является теоремой алгебры, так как по существу является утверждением о вещественных числах, а в поле вещественных чисел, помимо алгебраической структуры, важную роль играет топология, и оно является предметом изучения математического анализа. Все доказательства основной теоремы высшей алгебры в той или иной форме используют соображения непрерывности, которая не является алгебраическим понятием. Несколько доказательств этой теоремы будут даны в курсах математического анализа и топологии. Здесь же мы ограничились только ее формулировкой.

Из основной теоремы высшей алгебры следует, что все то, что говорилось об алгебраически замкнутых полях, справедливо и для поля комплексных чисел.

93

Теорема 11. Всякий неприводимый многочлен над полем комплексных чисел C имеет степень 1. Всякий ненулевой многочлен f(t) 2

C[t] может быть представлен в виде произведения f(t) = c(t a1)s1 (t ar)sr ;

ãäå c 6= 0, a1; : : : ; ar комплексные числа, а s1; : : : ; sr 1 натуральные числа. Это представление единственно с точностью до порядка сомножителей. Число комплексных корней ненулевого многочлена над полем C, считаемых каждый столько раз, какова его

кратность, равно степени этого многочлена.

7 Каноническое разложение многочлена над полем вещественных чисел

Воспользовавшись основной теоремой высшей алгебры, опишем неприводимые многочлены над полем вещественных чисел R.

Предложение 16. Если b; c 2 R и b2 4c < 0, то многочлен второй степени t2+bt+c неприводим в кольце многочленов R[t]. Кроме того, в R[t] неприводимы многочлены первой степени t a, где a 2 R.

Доказательство. Неприводимость многочлена первой степени t a

уже доказана для любого поля, а не только для поля вещественных чисел. Рассмотрим теперь многочлен второй степени t2 + bt + c

с вещественными b; c. Если он не является неприводимым, то существует такое его разложение t2 + bt + c = g(t)h(t), ÷òî deg g(t) 1, deg h(t) 1. Íî deg g(t) + deg h(t) = deg(t2 + bt + c) = 2, поэтому deg g(t) = deg h(t) = 1, и существуют такие вещественные числа u; v; u0; v0, ÷òî g(t) = ut + v, h(t) = u0t + v0. Значит,

t2 + bt + c = (ut + v)(u0t + v0);

откуда следует, что uu0 = 1, uv0 + u0v = b, vv0 = c; но тогда

b2 4c=(uv0+u0v)2 4vv0 =(uv0)2+2uu0vv0+(vv0)2 4uu0vv0 =(uv0 u0v)2 0:

Следовательно, при b2 4c < 0 многочлен t2 + bt + c неприводим. Обратно, пусть многочлен p(t) 2 R[t] неприводим. Вещественный

многочлен p(t) можно рассматривать как многочлен с комплексными

коэффициентами; по основной теореме высшей алгебры у него есть комплексный корень . Если = a 2 R, то a вещественный корень

многочлена p(t); по теореме Безу неприводимый многочлен p(t) делится на неприводимый многочлен t a. Тогда по предложению I.9,

94

(2) многочлены p(t) и t a ассоциированы, а значит, равны, потому

что оба этих многочлена унитарны.

Если же число не вещественно, то 6= ; в то же время

p( ) = p( ) = 0 = 0;

потому что коэффициенты многочлена p(t) вещественны, и значит, совпадают со своими сопряженными. Итак, тоже корень p(t), а потому p(t) делится в C[t] на различные, а потому взаимно простые унитарные неприводимые многочлены t и t . Следовательно, p(t) делится в C[t] на произведение g(t) = (t )(t ). Пусть

= u + vi (u; v 2 R);

поскольку 2= R, число v отлично от 0. Мы имеем:

g(t) = (t (u + vi))(t (u vi)) = t2 2ut + (u2 + v2) = t2 + bt + c;

ãäå b = 2u, c = u2 + v2

b2 4c = 4u2 4(u2 + v2) = 4v2 < 0;

òî åñòü g(t) = t2 + bt + c вещественный неприводимый многочлен степени 2. Многочлен p(t) делится на t2 + bt + c в C[t]; вспоминая

алгорифм деления с остатком и учитывая, что коэффициенты многочленов p(t) и t2 + bt + c вещественны, находим, что частное q(t) от

деления p(t) на t2 + bt + c тоже многочлен с вещественными коэффициентами. Поэтому неприводимый в R[t] многочлен p(t) делится в R[t] на другой неприводимый в R[t] многочлен t2 + bt + c; по предложению I.9, (2), многочлены p(t) и t2 + bt + c ассоциированы, а значит, равны, потому что оба этих многочлена унитарны.

Теперь мы можем описать, как выглядит каноническое разложение многочленов в произведение неприводимых унитарных много- членов для многочленов над полем вещественных чисел.

Теорема 12. Всякий ненулевой многочлен f(t) 2 R[t] может быть представлен в виде произведения

f(t) = d(t a1) (t ar)(t2 + b1t + c1) (t2 + bqt + cq);

ãäå d 6= 0, a1; : : : ; ar, b1; c1; : : : ; bq; cq вещественные числа, причем b2i 4ci < 0 для всех i, 1 i q. Это представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

95

8 Интерполяционная задача

Если задан некоторый многочлен, то мы можем вычислить любое его значение. Интересна и обратная задача: по значениям многочлена в нескольких точках восстановить многочлен. Эта задача называется интерполяционной задачей.

Теорема 13. Пусть k поле, и пусть a1; a2; : : : ; an; b1; b2; : : : ; bn два набора элементов из k, причем элементы a1; a2; : : : ; an попарно различны.

(1) Существуют многочлены f(t) 2 k[t], такие что f(ai) = bi для всех i, 1 i n, и множество всех таких многочленов составляет класс вычетов по модулю (t a1)(t a2) (t an).

(2) Существует единственный многочлен f(t) 2 k[t], степень которого меньше n, такой что f(ai) = bi äëÿ âñåõ i, 1 i n.

Доказательство. Поскольку по теореме Безу (предложение 13) равенство f(ai) = bi и сравнение f(t) bi (mod (t ai)) равносильны, утверждение (1) можно переформулировать так: существуют много- члены f(t) 2 k[t], такие что

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ; f(t) an (mod (t bn));

и множество всех таких многочленов составляет класс вычетов по модулю произведения (t a1)(t a2) (t an). Но модули (t ai) попарно взаимно просты, поэтому наше утверждение является частным случаем китайской теоремы об остатках.

Утверждение (2) тривиально следует из (1): в каждом классе вы- четов по модулю многочлена (t a1)(t a2) (t an) степени n суще-

ствует единственный многочлен, степень которого меньше n.

Единственный многочлен f(t) 2 k]t], степень которого меньше n и такой, что f(ai) = bi для всех i, 1 i n, называется интерполяционным многочленом для наборов a1; a2; : : : ; an; b1; b2; : : : ; bn элементов из поля k. Ясно, что интерполяционный многочлен имеет наимень-

шую степень среди всех многочленов, таких что f(ai) = bi äëÿ âñåõ i, 1 i n.

Существует много способов построения интерполяционных многочленов. Один из них, называемый методом Ньютона, состоит в следующем. Мы последовательно строим многочлены

f1(t); f2(t); : : : ; fn(t) = f(t);

96

которые являются интерполяционными многочленами не для целых наборов a1; a2; : : : ; an; b1; b2; : : : ; bn, а для их начальных отрезков. Таким образом, многочлен fi(t) удовлетворяет условиям

fi(a1) = b1; fi(a2) = b2; : : : ; fi(ai) = bi; deg fi(t) < i:

ßñíî, ÷òî f1(t) = b1. Если интерполяционный многочлен fi(t) уже построен, то мы подправим его, добавив поправочное слагаемое так, чтобы получившийся многочлен принимал нужное значение и при t = ai+1. Это поправочное слагаемое ищем в форме

ci(t a1)(t a2) (t ai);

ãäå ci 2 k. Итак, мы хотим подобрать элемент ci 2 k, так, чтобы многочлен fi+1(t) = fi(t) + ci(t a1)(t a2) (t ai) удовлетворял условиям

fi+1(a1) = b1; : : : ; fi+1(ai) = bi; fi+1(ai+1) = bi+1:

Первые i из этих условий выполняются автоматически: если j i, то

fi+1(aj) = fi(aj) + ci(aj a1) (aj aj) (aj ai) = fi(aj) = bj;

поэтому остается лишь выбрать элемент ci 2 k так, чтобы выполнялось равенство

bi+1 = fi+1(ai+1) = fi(ai+1) + ci(ai+1 a1)(ai+1 a2) (ai+1 ai):

Но элемент ci = (bi+1 fi(ai+1)=((ai+1 a1)(ai+1 a2) (ai+1 ai))

как раз и удовлетворяет этому требованию (знаменатель отличен от 0, потому что ни один из элементов a1; a2; : : : ; ai не равен ai+1).

Впоследствии мы найдем еще и явную формулу для интерполяционного многочлена.

x 5: Поле разложения многочлена

1 Существование расширения, в котором много- член имеет корень

По-видимому, алгебраисты придавали столь большое значение основной теореме алгебры потому, что она показывала, что любой многочлен с рациональными коэффициентами в каком-то большом поле полностью раскладывается в произведение линейных двучленов. Однако, для любого многочлена такое поле можно построить и чисто алгебраическим путем.

97

Теорема 14. Пусть k поле, и пусть f(t) неприводимый многочлен с коэффициентами из k. Тогда существует поле K k, в котором у многочлена f(t) есть корень.

Доказательство. Поскольку многочлен f(t) неприводим, кольцо вы- четов K = k[t]=(f(t)) является полем. Напомним, что поле k естественным образом вложено в это поле вычетов K (см. x 3:5 ): элемент a 2 k отождествляется с классом [a]f(t). Обозначим через класс вы-

четов [t]f(t) элемента t по модулю f(t), и покажем, что f( ) = 0. Пусть f(t) = a0 + a1t + : : : + antn, ãäå a0; a1; : : : ; an 2 k; тогда

f( ) = a0 + a1 + : : : + an n =

=[a0]f(t) + [a1]f(t)[t]f(t) + : : : + [an]f(t)[t]nf(t) =

=[a0 + a1t + : : : + antn]f(t) = [f(t)]f(t) = [0]f(t) = 0:

Итак, 2 K корень многочлена f(t) 2 k[t] K[t].

Построенное в теореме расширение K поля k называют расширением, полученным присоединением к k корня неприводимого много- члена f(t).

Замечание. Частный случай этой конструкции уже встречался нам: при построении поля комплексных чисел мы присоединяли к R корень многочлена t2 + 1.

Следствие. Пусть k поле, и пусть f(t) многочлен с коэффициентами из k, степень которого не меньше 1. Тогда существует поле K k, в котором у многочлена f(t) есть корень.

Доказательство. По основной теореме арифметики для многочленов существует разложение

f(t) = cp1(t) pr(t);

в котором p1(t); : : : ; pr(t) неприводимые унитарные многочлены, а c 2 k, c 6= 0. Поскольку deg f(t) 1, в разложении присутствует хотя

бы один неприводимый множитель p1(t). По теореме 14 существует поле K k, в котором у многочлена p1(t), а значит, и у многочлена f(t), есть корень.

2 Поле разложения многочлена

Теперь мы построим расширение поля, в котором многочлен полностью раскладывается в произведение линейных множителей, и потому число его корней, сосчитанных каждый столько раз, какова его кратность, равно степени многочлена.

98

Теорема 15. Пусть k поле, и пусть f(t) ненулевой многочлен с коэффициентами из k. Тогда существует такое поле K k, что f(t) раскладывается над K в произведение линейных множителей: f(t) = c(t 1) (t n), ãäå 1; : : : ; n 2 K, а c 2 k старший коэффициент многочлена f(t).

Доказательство. Доказываем теорему индукцией по степени много- члена f(t); теорема тривиальна, если эта степень равна 0 или 1. Пусть

deg f(t) > 1 и теорема уже доказана для всех многочленов меньших степеней. По следствию теоремы 14 существует поле k1 k, в котором многочлен f(t) имеет корень 1 2 k1. Тогда f(t) делится в кольце k1[t] íà (t 1). Следовательно, существует многочлен g(t) 2 k1[t], такой что f(t) = (t 1)g(t). Но deg g(t) = deg f(t) 1 < deg f(t), поэтому по предположению индукции существует такое поле K k1, что g(t) раскладывается над K в произведение линейных множителей: g(t) = c(t 2) (t n), ãäå 2; : : : ; n 2 K, а c 2 k старший коэффициент многочленов f(t) и g(t). Таким образом,

f(t) = c(t 1) (t n);

ãäå 1; : : : ; n 2 K, а c 2 k старший коэффициент многочлена f(t).

3 Новый пример конечного поля

Мы уже использовали соображения теоремы 14 для построения поля комплексных чисел. Ту же конструкцию можно применить и в других ситуациях. Для примера возьмем в качестве k поле из двух

элементов Z=(2) и присоединим к нему корень неприводимого над ним многочлена f(t) = t2 + t + [1]2. Этот многочлен неприводим, по- тому что иначе у него был бы делитель первой степени, и он имел бы корень в k; но оба элемента [0]2; [1]2 поля k не являются корнями этого многочлена. Поле K, полученное присоединением к k корня

многочлена f(t) степени 2 состоит из классов вычетов по модулю f(t), определяемых многочленами степени, меньшей 2. Итак, поле

K состоит из 4 элементов двух элементов [0]2; [1]2 из поля k и двух классов, содержащих многочлены первой степени. Обозначим эти классы так: = [t]f(t), = [t + [1]2]f(t). Вот таблицы сложения и умножения для этих элементов:

99

x 6: Кольцо многочленов от нескольких переменных

1 Подкольцо, порожденное подмножеством

Пусть кольцо, и пусть S подмножество . Обозначим черезS множество элементов , где пробегает множество всевозможных конечных произведений элементов из S, а через множество всевозможных конечных сумм элементов из . Ясно, что произведение элементов из снова элемент из , а сумма и разность элементов из снова элемент из . Покажем, что и произведение элементов из принадлежит , то есть подкольцо . Действительно, пусть 1 = 1 + + n, 2 = 1 + + m, ãäå 1; : : : ; n; 1; : : : ; m 2 ; поскольку умножение в кольце дистрибутивно относительно сложения, произведение 1 2 равно сумме произведений i j (1 i n, 1 j m), каждое из которых, как отмечено выше, принадлежит

.

Построенное кольцо называется подкольцом , порожденным множеством S. Ясно, что оно содержится в любом подкольце кольца, содержащем S.

Рассмотрим частный случай этого определения, который сейчас для нас особенно важен. Пусть коммутативное ассоциативное

кольцо с 1, и пусть A подкольцо , содержащее 1, а t1; : : : ; tr

какие-то элементы из . В качестве S возьмем A [ ft1; : : : ; trg. Тогдаявляется множеством всех элементов вида ati11 : : : tirr , ãäå a 2 k, à

i1; : : : ; ir неотрицательные целые числа (мы, конечно, считаем, что нулевая степень любого элемента из равна 1), а множество всевозможных конечных сумм элементов из .

Для более удобной записи элементов из подкольца кольца , порожденного подкольцом A и элементами t1; : : : ; tr, условимся о неко- торых обозначениях. Через N0 будем обозначать множество нату-

ральных чисел с присоединенным 0, то есть множество всех неотрицательных целых чисел. Для натурального r через Nr0 обозначается

декартово произведение r экземпляров множества N0. Иначе говоря, Nr0 это множество всех упорядоченных наборов (i1; : : : ; ir), состоящих из чисел i1; : : : ; ir 2 N0. Теперь мы можем охарактеризовать

подкольцо, порожденное A и элементами t1; : : : ; tr как множество все- возможных сумм вида

X

ai1;:::;ir ti11 tirr ;

(i1;:::;ir)2Nr0

ãäå ai1;:::;ir элементы из A, почти все (то есть все, кроме конечного числа) равные 0, так что на самом деле предыдущая сумма конечна.

100