algebra1

6 Поля. Условие того, что кольцо вычетов поле

Напомним, что коммутативное ассоциативное кольцо A с 1 называ-

ется полем, если в нем, кроме аксиом (1)-(8), которые уже не один раз перечислялись, выполняется еще аксиомы

(9)для любого a 2 A, a 6= 0, существует элемент a 1 2 A, такой что aa 1 = 1;

(10)0 6= 1.

Как было показано ранее (когда мы говорили об обратимых эле- ментах кольца), элемент a 1 с указанным в аксиоме (9) свойством

единствен; он называется обратным к a элементом. Напомним еще,

что полями являются множества всех рациональных чисел и всех вещественных чисел.

Предложение 15. Всякое поле является областью целостности.

Доказательство. Пусть K поле; тогда, по определению, K яв-

ляется коммутативным ассоциативным кольцом с 1, и потому надо доказать только, что в нем нет делителей 0, то есть что если a; b 2 K, a 6= 0, b 6= 0, то ab 6= 0. Но это тривиально: если ab = 0,

òî b = 1 b = (a 1a)b = a 1(ab) = a 1 0 = 0 в противоречие с предположением b 6= 0.

Теорема 11. Пусть A область целостности, в которой все идеалы главные, и пусть n 2 A, причем n 6= 0 и n не делитель 1. Тогда равносильны следующие условия:

(1)кольцо вычетов A=(n) является полем;

(2)кольцо вычетов A=(n) является областью целостности;

(3)n простой элемент кольца A.

Доказательство. (1) ) (2) совпадает с предыдущим предложением.

(2) ) (3). Если n не простой элемент, то, поскольку в A все идеалы главные, n не является неприводимым элементом. В то же время, по условию теоремы n не делитель 1. Поэтому существует такие его делители a, b, не делящиеся на n, что n = ab. Тогда

[a]n[b]n = [ab]n = [n]n = [0]n; [a]n 6= [0]n; [b]n 6= [0]n;

то есть A=(n) не область целостности.

(3) ) (2). По условию элемент n не является делителем 1, поэтому 1 6 0 (mod n), и значит, [1]n 6= [0]n, так что единица кольца A=(n) не равна нулю этого кольца. Осталось показать, что если элемент n 6= 0 простой, то любой ненулевой элемент [a]n кольца вычетов A=(n) обратим. Поскольку [a]n 6= [0]n, элемент a 2 A не делится на

31

n, а значит, a взаимно прост с простым элементом n. Но тогда существуют элементы b; c 2 A, такие что ab + cn = 1. Отсюда следует, что ab 1 (mod n), то есть [a]n[b]n = [ab]n = [1]n. Итак, для произ- вольного ненулевого элемента [a]n кольца A=(n) нашелся обратный к нему элемент [b]n 2 A=(n).

Благодаря этой теореме, у нас, кроме полей Q и R, появилось

еще бесконечно много примеров полей. Именно, по теореме 8 полями являются кольца вычетов Z=(2), Z=(3), Z=(5), Z=(7), Z=(11), . . . .

Мы будем называть эти кольца вычетов полями вычетов по простым модулям.

x 7: Обратимые элементы кольца вычетов

1 Обратимые элементы кольца вычетов

Напомним, что для коммутативного ассоциативного кольца с едини- цей A мы обозначаем через A множество всех обратимых элементов

этого кольца, то есть элементов a 2 A, для которых существует (и автоматически единственный) элемент a 1 2 A, такой что a 1a = 1. Â

кольце вычетов обратимые классы вычетов допускают простое описание.

Предложение 16. Пусть A коммутативное ассоциативное кольцо с 1, в котором все идеалы главные, n 2 A, n 6= 0, и пусть

2 A=(n). Следующие условия равносильны:

(1)класс вычетов обратим в A=(n);

(2)все элементы a 2 взаимно просты с n;

(3)существует элемент a 2 , взаимно простой с n.

Доказательство. (2) ) (3) тривиально. Докажем, что (3) ) (1). Пусть a 2 A элемент из класса , взаимно простой с n. Тогда, вопервых, = [a]n, во-вторых, существуют такие элементы b; c 2 A, что ab + cn = 1. Последнее равенство влечет сравнение ab 1 (mod n),

откуда следует, что [b]n = [a]n[b]n = [ab]n = [1]n. Класс [b]n 2 A=(n) оказался обратным к классу , что и доказывает, что 2 (A=(n)) .

(1) ) (2). Пусть 2 (A=(n)) и пусть a 2 ; тогда = [a]n. Выберем любой элемент b в обратном классе 1, òàê ÷òî 1 = [b]n.

Тогда

[ab]n = [a]n[b]n = 1 = [1]n;

откуда следует, что ab 1 (mod n). Это значит, что существует такой элемент c 2 A, что ab cn = 1; но тогда a и n взаимно просты по предложению 5, (1).

32

2 Функция Эйлера

Обратимся теперь к случаю, когда A это кольцо целых чисел Z. Пусть n > 1 целое число; обозначим через '(n) количество обратимых элементов кольца вычетов Z=(n). Мы определили число '(n) для n 2; положим '(1) = 1. Таким образом, определена функция ' : N ! N; она называется функцией Эйлера.

Дадим еще одно описание функции Эйлера. Пусть n 2 Z, n > 1. Кольцо Z=(n) состоит из n классов вычетов [0]n; [1]n; : : : ; [n 1]n, è по предложению 16 класс [i]n, где 0 i < n, обратим тогда и только тогда, когда число i взаимно просто с n. Таким образом, обратимых классов в кольце Z=(n) столько же, сколько есть целых чисел, принадлежащих промежутку [0; n) и взаимно простых с n. Итак, при n 2 значение '(n) функции Эйлера равно количеству тех из чисел 0; 1; 2; : : : ; n 1, которые взаимно просты с n.

3 Функция '(n) при примарном n

(Число n называется примарным, если оно является степенью простого числа). Пусть p положительное простое число. Тогда все числа 1, 2, . . . , p 1 взаимно просты с p, и потому '(p) = p 1. Следующий по трудности случай это когда n = ps, где число p простое, а s 1. Отметим, что число a 2 Z взаимно просто с ps тогда и только тогда, когда оно не делится на p. Действительно, если a p, то p общий делитель a и ps, а значит, эти числа не взаимно просты. Если же a не делится на простое число p, то a взаимно просто с p, а потому и с произведением ps нескольких экземпляров p. Таким образом, из множества X(ps) = f0; 1; 2; : : : ; ps 1g не взаимно просты с ps только ps 1 чисел

0; p; 2p; : : : ; ps p = (ps 1 1)p;

а остальные ps ps 1 чисел этого множества взаимно просты с ps.

Èòàê,

'(ps) = ps ps 1 = ps(1 1=p):

4 Декартово произведение множеств

В этом пункте мы напомним одно общематематическое понятие, которое будет нам здесь (и не только здесь) удобно использовать. Пусть X, Y множества. Их декартовым произведением называется мно-

жество X Y , элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары (x; y), первая компонента x которых принадлежит множеству X, а вторая множеству Y . Итак,

X Y = f(x; y) j x 2 X; y 2 Y g:

33

Åñëè X0 X, Y0 Y , то для любых элементов x0 2 X0, y0 2 Y0 упорядоченная пара (x0; y0) принадлежит X Y . Таким образом, X0 Y0 подмножество X Y ; точнее,

X0 Y0 = f(x; y) 2 X Y j x 2 X0; y 2 Y0g:

Прежде, чем сформулировать следующее свойство декартовых произведений, введем обозначение, которым будем постоянно пользоваться и в дальнейшем. Именно, для любого конечного множества A мы будем обозначать через jAj число элементов этого множества.

Пусть X, Y конечные множества. Тогда декартово произведение X Y тоже конечно и jX Y j = jXj jY j.

Действительно, пусть X = fx1; : : : ; xmg, Y = fy1; : : : ; yng. Для каждого i, 1 i m, в произведении X Y содержится n элемен-

òîâ (xi; yj), первая компонента которых равна xi. Поскольку первая компонента может принимать одно из m значений x1; : : : ; xm, общее число элементов декартова произведения является суммой m слагаемых, каждое из которых равно n. Эта сумма, конечно, равна mn.

5 Мультипликативность функции Эйлера

Для целого числа N > 1 обозначим через X(N) множество всех неотрицательных чисел, меньших N, а через X0(N) подмножество X(N), состоящее из всех тех чисел, которые взаимно просты с N. Пусть m, n взаимно простые натуральные числа. Пусть f : X(mn) ! (Z=(m)) (Z=(n)), сопоставляющее числу a из X(mn) па-

ру, первая и вторая компоненты которой являются классами вычетов числа a соответственно по модулю m и модулю n:

Лемма 2. (1) Отображение f : X(mn) ! (Z=(m)) (Z=(n)) биек-

тивно.

(2) Число a 2 X(mn) тогда и только тогда принадлежит X0(mn), когда f(a) 2 (Z=(m)) (Z=(n)) .

Доказательство. (1) Инъективность. Пусть a; b 2 X(mn) таковы, что f(a) = f(b). Это значит, что ([a]m; [a]n) = ([b]m; [b]n), òî åñòü

[a]m = [b]m, [a]n = [b]n. Но тогда a b (mod m) и a b (mod n), и поэтому a b делится на взаимно простые числа m, n. Следовательно, a b делится и на их произведение mn. Но оба числа a; b 2 X(mn) положительны и меньше mn; потому mn < a b < mn, а в этом промежутке на mn делится только число 0. Итак, a b = 0 и a = b.

34

Сюръективность. Пусть ( ; ) 2 Z=(m) Z=(n), и пусть b 2 , c 2 какие-то представители этих классов вычетов. По китайской теореме об остатках, существует число a0 2 Z, такое что

a0 b (mod m); a0 c (mod n):

Пусть a остаток от деления a0 на mn. Тогда a 2 X(mn) и

[a]m = [a0]m = [b]m = ; [a]n = [a0]n = [c]n = ;

òàê ÷òî f(a) = ([a]m; [a]n) = ( ; ).

(2) Åñëè a 2 X0(mn), то a взаимно просто с mn, и, очевидно,

a взаимно просто с m и с n, а это значит, что классы [a]m è [a]n обратимы, то есть [a]m 2 (Z=(m)) , [a]n 2 (Z=(n)) . Таким образом, f(a) = ([a]m; [a]n) 2 (Z=(m)) (Z=(n)) . Обратно, пусть

([a]m; [a]n) = f(a) 2 (Z=(m)) (Z=(n)) ;

тогда [a]m 2 (Z=(m)) , [a]n 2 (Z=(n)) , а это значит, что число a взаимно просто с m и с n. Но тогда a взаимно просто и с произведением mn, то есть a 2 X0(mn).

Предложение 17. Если m, n взаимно простые натуральные числа, то '(mn) = '(m)'(n).

Доказательство. Используя оба варианта определения функции Эйлера, находим, что

'(mn) = jX0(mn)j; '(m) = j(Z=(m)) j; '(n) = j(Z=(n)) j:

Из леммы 2 следует, что f биективно отображает множество X0(mn) на декартово произведение (Z=(m)) (Z=(n)) , поэтому эти множе- ства состоят из одинакового числа элементов, так что

'(mn) = jX0(mn)j = j(Z=(m)) (Z=(n)) j =

= j(Z=(m)) j j(Z=(n)) j = '(m)'(n):

Предложение 18. Если n1; n2; : : : ; nr попарно взаимно простые натуральные числа, то '(n1n2 : : : nr) = '(n1)'(n2) : : : '(nr).

Доказательство. Тривиальная индукция по r.

6 Явная формула для функции Эйлера

Следующая теорема позволяет вычислить значение функции Эйлера от числа n, если мы знаем разложение n в произведение простых

множителей, и даже если мы знаем только, на какие простые числа делится n.

35

Теорема 12. Пусть n > 1 натуральное число, и пусть p1; : : : ; prвсе его различные положительные простые делители. Тогда

'(n) = n 1 1 : : : 1 1 : p1 pr

Доказательство. Собирая вместе одинаковые сомножители в разложении числа n в произведение положительных простых чисел, полу- чим, что n = ps11 : : : psrr , ãäå s1; : : : ; sr 1. Если i 6= j, то различные

простые числа pi, pj взаимно просты, а потому взаимно просты и их степени psii , psjj . Таким образом, числа ps11 ; : : : ; psrr попарно взаимно просты, и из предложения 18 следует, что '(n) = '(ps11 ) : : : '(psrr ).

Но мы уже вычислили значение функции Эйлера для случая, когда аргумент степень простого числа:

'(psii ) = psii (1 1=pi):

Таким образом,

x 8: Теоремы Эйлера, Ферма и Вильсона

Теорема 13 (теорема Эйлера). Если n > 1 целое число, а обратимый элемент кольца вычетов Z=(n), то '(n) = [1]n.

Доказательство. Обозначим для краткости число '(n) через r. В кольце Z=(n) имеется ровно r = '(n) обратимых классов вычетов; пусть 1; : : : ; r все эти классы.

Пусть теперь любой обратимый класс вычетов по модулю n.

Для i = 1; : : : ; r обозначим через i класс i. Все r классов 1; : : : ; r различны. Действительно, если 1 i; j r и i = j, òî

i = 1 i = 1 i = 1 j = 1 j = j;

и потому i = j. Далее, каждый класс i является произведением двух обратимых элементов ; i кольца вычетов Z=(n) и поэтому, благодаря предложению 5, (1), он тоже обратим. Итак, у нас есть r различных обратимых элементов 1; : : : ; r кольца вычетов по моду- лю n. Но всего обратимых элементов в этом кольце как раз r = '(n),

поэтому любой обратимый класс i равен одному (и только одному) из элементов j (1 j r). Итак, наборы элементов 1; : : : ; r è

36

1; : : : ; r одинаковы и отличаются лишь порядком элементов. Следовательно, равны произведения всех элементов, составляющих эти наборы:

1 2 : : : r = 1 2 : : : r = ( 1)( 2) : : : ( r) = r( 1 2 : : : r):

Произведение 1 2 : : : r обратимых классов вычетов обратимый класс; пусть обратный к нему класс, так что 1 2 : : : r = [1]n. Умножая обе части полученного выше равенства на , получим доказываемое нами утверждение:

[1]n = 1 2 : : : r = r 1 2 : : : r = r [1]n = r:

Следствие. Пусть a, n целые числа, причем n > 1, а число a взаимно просто с n. Тогда a'(n) 1 (mod n).

Доказательство. Поскольку a и n взаимно просты, класс вычетов [a]n обратим в кольце Z=(n), и потому по теореме Эйлера будет

[a'(n)]n = [a]'n(n) = [1]n;

а это и значит, что a'(n) 1 (mod n).

Отметим, что сам Л.Эйлер доказал именно это утверждение. Частным случаем теоремы Эйлера является

Теорема 14 (малая теорем Ферма). Пусть p положительное простое число.

(1)Åñëè 2 Z=(p), 6= 0, òî p 1 = [1]p.

(2)Для любого 2 Z=(p) будет p = .

Доказательство. (1) Поскольку '(p) = p 1, утверждение следует

из теоремы Эйлера.

(2) Åñëè 2 Z=(p), 6= 0, òî p 1 = [1]p по первому утверждению теоремы. Умножая обе части на , получаем соотношение p = ,

которое, очевидно, верно и для исключенного ранее случая = [0]p.

Следствие. Пусть p положительное простое число. Если целое число a не делится на p, то ap 1 1 (mod p). Для любого целого числа a выполняется сравнение ap a (mod p).

Это следствие выводится из малой теоремы Ферма так же, как предыдущее следствие выводилось из теоремы Эйлера.

Теорема 15 (теорема Вильсона). Пусть p положительное

простое число. Тогда произведение всех ненулевых элементов поля Z=(p) равно [ 1]p.

37

Доказательство. Сначала докажем простую лемму.

Лемма 3. Если 2 (Z=(p)) и 6= [ 1]p, òî 6= 1. Доказательство. Если = 1, òî 2 [1]p = [0]p, и потому

( [1]p)( + [1]p) = 0:

Но в поле произведение элементов нулевое лишь тогда, когда один из сомножителей нулевой. Таким образом, должно выполняться одно из равенств [1]p = [0]p, + [1]p = [0]p.

Вернемся к доказательству теоремы Вильсона. Если p = 2, то [ 1]2 = [1]2, и утверждение тривиально. Пусть p 3; все ненулевые элементы поля Z=(p), отличные от элементов [ 1]p, разбиваются на непересекающиеся пары, состоящие из элемента и обратного к нему элемента 1. Произведение элементов каждой такой пары рав-

íî [1]p, а потому произведение всех элементов поля Z=(p), отличных îò [0]p, [ 1]p, равно [1]p. Следовательно, произведение всех ненулевых элементов поля Z=(p) равно [1]p [ 1]p [1]p = [ 1]p.

Поскольку [1]p; [2]p; : : : ; [p 1]p это все ненулевые элементы поля Z=(p), мы получаем по теореме Вильсона, что

[(p 1)!]p = [1 2 : : : (p 1)] = [1]p[2]p : : : [p 1]p = [ 1]p;

и тем самым доказано

Следствие. Пусть p положительное простое число. Тогда число (p 1)! + 1 делится на p.

x 9: Сравнения первой степени с одной неизвестной

1 Сравнения первой степени и их решения

Сравнением первой степени с неизвестной x над кольцом A называется выражение вида ax b (mod n), где a; b; n 2 A. Отметим, что

написанное выражение не надо воспринимать содержательно: оно не означает, что линейный двучлен ax b делится на n, а представля-

ет собой просто слово определенного вида в алфавите, состоящем из элементов кольца A и пяти графических знаков

x mod ( )

Решением сравнения ax b (mod n) называется элемент x0 2 A, такой что ax0 b (mod n). Последнее сравнение уже воспринимается

38

содержательно: оно означает, что два элемента ax0 и b кольца A сравнимы по модулю n, то есть что их разность ax0 b делится в кольце A на n.

Естественно возникают вопросы: при каких условиях сравнение разрешимо? если оно разрешимо, то как устроено множество всех решений? как найти все решения?

2 Условие разрешимости сравнения

Следующая теорема дает полный ответ на первые два вопроса.

Теорема 16. Пусть A область главных идеалов, a; b; n 2 A; далее, пусть d наибольший общий делитель a и n, а n1 2 A таково, что

n= dn1.

(1)Сравнение ax b (mod n) разрешимо тогда и только тогда,

когда b делится на d.

(2) Åñëè x0 2 A решение сравнения ax b (mod n), то элемент x1 2 A является решением этого сравнения тогда и только тогда, когда x1 x0 (mod n1).

Доказательство. (1). Пусть сравнение ax b (mod n) разрешимо, и пусть x0 2 A какое-то его решение; тогда b ax0 (mod n), и тем более b ax0 (mod d), потому что n d. Но a тоже делится на d, поэтому b 0 x0 = 0 (mod d), и b d. Обратно, пусть b d и пусть b1 2 A такой элемент, что b = b1d. Поскольку d наибольший общий делитель a и n, по теореме 5,(4) существует такой элемент

z0 2 A, ÷òî az0 d (mod n); но тогда a(b1z0) b1d = b (mod n), òî åñòü x0 = b1z0 решение нашего сравнения ax b (mod n).

(2) Пусть a1 2 A таково, что a = da1. Легко видеть, что a1, n1 взаимно просты. Действительно, из того, что d наибольший общий

делитель a = da1 è n = dn1, следует, что существуют такие элементы z0; u0 2 A, ÷òî d = da1z0 + dn1u0. Сокращая на d (ведь A область целостности), получаем, что 1 = a1z0 + n1u0, откуда и следует, что 1 является наибольшим общим делителем a1 è n1.

Пусть теперь x0; x1 2 A решения сравнения ax b (mod n). Тогда

da1x1 b da1x0 (mod dn1);

откуда по предложению 10, (6) получаем, что a1x1 a1x0 (mod n1). Íî a1 è n1 взаимно просты, и потому существует такой элемент q 2 A, что qa1 1 (mod n1). Следовательно,

x1 = 1 x1 qa1x1 qa1x0 1 x0 = x0 (mod n1):

Обратно, пусть ax0 b (mod n) è x1 x0 (mod n1). Тогда dx1 è dx0 сравнимы по модулю dn1 = n è

ax1 = a1dx1 a1dx0 = ax0 b (mod n);

39

òî åñòü x1 тоже решение сравнения ax b (mod n).

3 Решение сравнений над Z

Пусть a; b; n 2 Z, a 6= 0, n 6= 0, и пусть сравнение ax b (mod n) разрешимо. Обозначим через d наибольший общий делитель чисел a и n; по теореме 16 число b тоже делится на d. Существуют такие целые числа a1, b1, n1, ÷òî a = da1, b = db1, n = dn1; âûøå ìû увидели, что (a1; n1) = (1).

Мы укажем сейчас два алгорифма нахождения решений нашего сравнения.

1. Пользуясь алгорифмом Евклида, найдем наибольший общий делитель d чисел a и n и его линейное представление d = au + nv,

где u, v некоторые целые числа. Тогда b1u одно из решений сравнения ax b (mod n). Действительно,

a(b1u) = b1(au) = b1(d nv) b1d = b (mod n):

2. Поскольку числа a1 è n1 взаимно просты, по теореме Эйлера получаем, что a'1 (n1) 1 (mod n1); поэтому

a1(b1a'1 (n1) 1) = b1a'1 (n1) b1 (mod n1):

Умножив обе части и модуль получившегося сравнения на d, полу-

найдем по формуле x1 = x0 + kn1, где k любое целое число.

4 Уравнения первой степени над кольцом выче- тов

Пусть n 6= 0 целое число. Уравнением над кольцом Z=(n) называется выражение вида x = , где ; 2 Z=(n). Решением этого уравнения называется элемент 2 A, такой что = .

Теорема 17. Пусть a; b; n целые числа, причем n 6= 0. Обозначим через d положительный наибольший общий делитель a и n. Уравнение [a]nx = [b]n разрешимо тогда и только тогда, когда b d. Если уравнение разрешимо, то оно имеет в точности d решений.

Доказательство. Класс = [x0]n является решением уравнения тогда и только тогда, когда ax0 b (mod n), то есть когда x0 решение сравнения ax b (mod n). По теореме 1 такое число x0 существует тогда и только тогда, когда b d. Обозначим через n1 число n=d.

40