algebra1

(1) U = E. Тогда матрица A обратима, и A 1 = V . Действительно, в этом случае A = V 1U = V 1E = V 1; по предложению 4 матрица A, обратная к обратимой матрице V , сама обратима, и

A 1 = (V 1) 1 = V .

(2) U 6= E. Тогда матрица A необратима. Действительно, матрица U, получающаяся из ступенчатой матрицы D выбрасыванием

нескольких последних столбцов, сама ступенчатая; но легко видеть, что единственной квадратной ступенчатой матрицей, у которой нет нулевых строк, а начала всех ступенек равны 1, является единич-

ная матрица. Поскольку U 6= E, отсюда следует, что у матрицы U

есть нулевые строки, и поэтому будут нулевые строки и у любого произведения UY , то есть это произведение никогда не сможет стать

единичной матрицей. Поэтому матрица U = XA необратима, а зна- чит, необратима и матрица A: в противном случае произведение XA двух обратимых матриц было бы обратимой матрицей.

151

Глава VI

Тело кватернионов

x 1: Построение тела кватернионов

1 Пример некоммутативного тела

До сих пор мы встречались в нашем курсе со многими полями. Напомним, что поле это коммутативное ассоциативное кольцо с 1, в котором каждый ненулевой элемент обратим. Однако, встречаются и другие алгебраические структуры, которые отличаются от полей только тем, что умножение в них не обязательно коммутативно; они называются телами. Таким образом, множество T , на котором за-

даны сложение и умножение, называется телом, если выполняются следующие свойства:

(1)a + (b + c) = (a + b) + c для любых a; b; c 2 T ;

(2)a + b = b + a для любых a; b 2 T ;

(3)существует такой элемент 0 2 T , что 0 + a = a для любого a 2 T ;

(4)для любого a 2 T существует такой элемент a 2 T , что a + ( a) = 0;

(5)a(bc) = (ab)c для любых a; b; c 2 T ;

(6)существует такой элемент 1 2 T , что 1 a = a 1 = a для любого a 2 T ;

(7)a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc, a(b + c) = ab + ac для любых a; b; c 2 T ;

(8)для всякого a 2 T , a 6= 0, существует элемент a 1 2 T , такой что aa 1 = a 1a = 1;

(9)0 6= 1.

Подчеркнем, что в аксиоме 7 участвуют два соотношения левая дистрибутивность и правая дистрибутивность, а в аксиоме 8 мы

152

требуем, чтобы единице 1 равнялись оба произведения aa 1 è a 1a, à

не одно из них; конечно, это связано с тем, что умножение не обязано быть коммутативным. Всякое коммутативное тело является полем.

Мы сейчас построим пример некоммутативного тела, используя для этой цели матрицы. В кольце матриц второго порядка над полем комплексных чисел C рассмотрим подмножество T , состоящее из всех

матриц вида

Предложение 1. Относительно матричных сложения и умножения множество T представляет собой некоммутативное тело.

Доказательство. Покажем, что сумма, разность и произведение любых двух матриц из T снова принадлежат T . Действительно, пусть

и мы видим, что получившиеся матрицы принадлежат T . Единичная и нулевая матрицы, очевидно, принадлежат T , и акси-

омы (1) - (7) выполняются в T , потому что они выполняются во всем кольце матриц C2. Осталось доказать, что любая ненулевая матрица из T обратима, и обратная к ней матрица тоже принадлежит T . Пусть

ненулевая матрица из T ; тогда хотя бы одно из комплексных чисел ; отлично от 0, и потому вещественное число

она принадлежит T .

153

2 Тело кватернионов

Для того, чтобы лучше понять структуру этого тела T , представим

вольный элемент из T , и пусть = a + bi, = c + di, где a; b; c; d вещественные числа. Тогда

Матрица, коэффициентом при которой служит a, является единич- ной матрицей E; обозначим через I, J, K матрицы, которые входят в предыдущее выражение с коэффициентами b, c, d. Таким образом, любой элемент из T представляется в виде aE + bI + cJ + dK, где a; b; c; d вещественные числа, причем такое представление, очевидно, единственно. Непосредственным вычислением находим, что

IJ = JI = K; JK = KJ = I; KI = IK = J;

I2 = J2 = K2 = E:

В частности, IJ = JI 6= JI, так что T некоммутативное тело. Заметим еще, что все скалярные матрицы aE (a 2 R) перестановочны со всеми матрицами из T .

Телом кватернионов называется тело H, содержащее поле вещественных чисел R и такие элементы i; j; k, что

(1)всякий элемент из тела H однозначно представляется в виде a + bi + cj + dk с вещественными a; b; c; d;

(2)åñëè a 2 R, x 2 H, òî ax = xa;

(3) ij = ji = k; jk = kj = i; ki = ik = j, i2 = j2 = k2 = 1;

Из этого описания еще не следует, что наше определение тела кватернионов непротиворечиво, и что такой объект действительно является телом. Но тело T , построенное выше, удовлетворяет всем тре-

бованиям определения тела кватернионов: скалярные матрицы aE, где a 2 R, образуют подполе T , которое можно отождествить с R, а матрицы I; J; K удовлетворяют тем тождествам, которым должны удовлетворять элементы i; j; k. Таким образом, тело кватернионов

существует и действительно является телом.

Название "кватернион" имеет тот же корень, что и слова квадрат, квартет, кварта и многие другие; этот латинский корень означает "четыре", а кватернион задается четверкой вещественных чисел, откуда и происходит его название. Обозначение H напоминает нам о

том, что впервые кватернионы были открыты ирландским математиком Уилльямом Гамильтоном (W.Hamilton).

154

3 Векторы и кватернионы

Пусть x = a+bi+cj+dk кватернион (здесь a; b; c; d вещественные числа); число a называется вещественной, или скалярной, частью кватерниона x, а сумма остальных трех компонент bi + cj + dk его векторной частью. Причины такого названия ясны: всякий вектор в

трехмерном пространстве представляется в виде линейной комбина-

! ! !

ции ортов i ; j ; k , и кватернион bi + cj + dk естественно отожде-

! ! !

ствить с вектором b i + c j + d k , что мы в дальнейшем и будем

делать. Кватернион с нулевой скалярной частью мы будем называть векторным кватернионом или просто вектором. Таким образом, всякий кватернион представляется в виде суммы вещественного числа a и вектора в трехмерном пространстве v = bi + cj + dk.

Умножение векторных кватернионов очень красиво интерпретируется геометрически. Мы будем обозначать через (u; v) скалярное

произведение векторов u и v трехмерного пространства, а через u vих векторное произведение. Пусть

u = b1i + c1j + d1k; v = b2i + c2j + d2k

два векторных кватерниона; тогда

uv = (b1i + c1j + d1k)(b2i + c2j + d2k) =

=b1b2i2+b1c2ij+b1d2ik+c1b2ji+c1c2j2+c1d2jk+d1b2ki+d1c2kj+d1d2k2 =

=(b1b2 +c1c2 +d1d2)+(c1d2 c2d1)i+( b1d2 +b2d1)j +(b1c2 b2c1)k =

=(u; v) + u v:

Таким образом, вещественная часть произведения векторных кватернионов равна их скалярному произведению, взятому со знаком , а

векторная часть их векторному произведению.

4 Сопряжение кватернионов. Норма и тригонометрическая форма записи кватерниона

Пусть x = a + bi + cj + dk 2 H, где a; b; c; d вещественные числа; кватернион x = a bi cj dk называется сопряженным к кватерниону x. Иначе говоря, если x = a + u, где a вещественная, а u векторная части кватерниона x, то x = a u. Пусть y = a1 + u1 другой кватернион (здесь опять a1 è u1

части кватерниона y); тогда

xy = (a + u)(a1 + u1) = aa1 + au1 + a1u + uu1 =

=aa1 (u; u1) + au1 + a1u + (u u1) =

=aa1 (u; u1) au1 a1u (u u1) =

155

=aa1 (u1; u) au1 a1u + (u1 u) =

=aa1 au1 a1u + u1u = (a1 u1)(a u) = yx;

x + y = (a + a1) + (u + u1) =

=(a + a1) (u + u1) = (a u) + (a1 u1) = x + y:

Обратим внимание на то, что при сопряжении произведения сомножители не только заменяются на сопряженные, но еще и переставляются в обратном порядке.

Нормой кватерниона x = a+ bi + cj +dk, где a; b; c; d вещественные числа, называется неотрицательное вещественное число

jj xjj = a2 + b2 + c2 + d2:

Обозначая, как и выше, через u вектор bi + cj + dk, найдем. что

xx = (a + u)(a u) = a2 au + au u2 =

=a2 ( (u; u) + (u u)) = a2 + (u; u) = a2 + b2 + c2 + d2 = jj xjj;

èточно так же показывается, что xx = jj xjj.

Лемма 1. Для любых кватернионов x; y 2 H норма jj xyjj их произведения равна произведению норм сомножителей.

Доказательство. Пользуясь тем, что вещественное число jj yjj можно в произведении переставить с любым кватернионом, получим:

jj xyjj = (xy)(xy) = xyyx = xjj yjjx = xxjj yjj = jj xjj jj yjj:

Иногда бывает удобно представлять кватернионы в форме, аналогичной тригонометрической форме комплексного числа. Пусть

0 6= x = a + bi + cj + dk 2 H (a; b; c; d 2 R):

Норма jj xjj ненулевого кватерниона x положительное веществен-

p

ное число; положим r = jj xjj. Как и раньше, обозначим через u вектор bi + cj + dk. Тогда

r2 = jj xjj = a2 + b2 + c2 + d2 = a2 + jj ujj2;

где через jj ujj обозначена длина вектора u; поэтому

(a=r)2 + (jj ujj=r)2 = 1;

и существует такое вещественное число ', что

156

Заметим, что при нашем определении sin ' = jj ujj=r 0. Если sin ' отличен от 0, положим v = u=r sin '; тогда длина jj vjj вектора v равна jj ujj=r sin ' = 1. Если же sin ' = 0, то выберем в качестве v любой вектор длины 1. В обоих случаях x = r(cos ' + v sin '), где v

векторный кватернион длины 1. Аналогия с тригонометрической

формой комплексного числа станет еще большей, когда мы заметим, что v2 = (v; v) + v v = jj vjj2 = 1. Это, между прочим, показы-

вает, что в теле кватернионов уравнение x2 = 1 имеет не два, как было бы в поле, а бесконечно много решений.

x 2: Формула Эйлера для произведения сумм четырех квадратов

1 Тождество Эйлера

Используя кватернионы, мы легко получаем формулу, представляющую произведение двух сумм четырех квадратов в виде суммы че- тырех квадратов.

Пусть теперь x = a + bi + cj + dk, y = a1 + b1i + c1j + d1k два кватерниона (здесь a; b; c; d; a1; b1; c1; d1 вещественные числа). Сосчитаем их произведение:

xy = (a + bi + cj + dk)(a1 + b1i + c1j + d1k) = = (aa1 + bb1 + cc1 + dd1) + (ab1 + ba1 + cd1 dc1)i+ +(ac1 bd1 + ca1 + db1)j + (ad1 + bc1 cb1 + da1)k:

По лемме 1 произведение норм кватернионов x, y равно норме кватерниона xy, то есть выполняется тождество

(a2 + b2 + c2 + d2)(a21 + b21 + c21 + d21) =

=(aa1 + bb1 + cc1 + dd1)2 + (ab1 + ba1 + cd1 dc1)2+

=(ac1 bd1 + ca1 + db1)2 + (ad1 + bc1 cb1 + da1)2:

Это тождество называется тождеством Эйлера. Наше доказательство проходит лишь для вещественных чисел, но на самом деле его легко распространить на все коммутативные ассоциативные кольца. Действительно, левая и правая части этого тождества представляют собой многочлены от a; b; c; d; a1; b1; c1; d1 с целыми коэффициентами; мы показали, что все их значения равны, но по теореме о формальном и функциональном равенстве для многочленов от нескольких переменных отсюда следует, что и сами многочлены равны. Но тогда оказываются равными и их значения при любых значениях переменных из произвольного коммутативного ассоциативного кольца с единицей.

157

Из тождества Эйлера сразу вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Произведение сумм четырех квадратов элементов из снова является суммой четырех квадратов элементов из .

Тождества, аналогичные тождеству Эйлера, существуют еще только для сумм двух и сумм восьми квадратов. Для сумм двух квадратов доказательство аналогично приведенному выше рассуждению; надо только вместо нормы кватерниона использовать квадрат модуля комплексного числа.

2 Представление рационального числа в виде суммы четырех квадратов

Мы используем тождество Эйлера для доказательства следующего теоретико-числового результата.

Теорема 2. Всякое положительное рациональное число можно представить в виде суммы квадратов четырех рациональных чисел.

Замечание. На самом деле справедливо и более сильное утверждение: всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы квадратов четырех натуральных чисел. Но мы ограничимся здесь доказательством лишь ослабленной формы этого классического результата.

Доказательство. Достаточно доказать, что любое положительное целое число является суммой квадратов четырех рациональных чи- сел. Действительно, если a=b 2 Q, где a; b положительные целые чис-

ла, и целое число ab равно сумме квадратов рациональных чисел

; ; ; , òî

a=b = ( =b)2 + ( =b)2 + ( =b)2 + ( =b)2

представление a=b в виде суммы квадратов четырех рациональных

чисел.

Предположим, что наше утверждение неверно; пусть p наи-

меньшее положительное целое число, не представимое в виде суммы квадратов четырех рациональных чисел. Покажем, что p нечетное простое число. В самом деле, p 6= 1; 2, так как 1 = 12 + 02 + 02 + 02, 2 = 12 + 12 + 02 + 02. Если p не простое число, то p раскладывается в произведение p = ab натуральных чисел a; b, каждое из которых строго меньше p и поэтому представляется в виде суммы квадратов

четырех рациональных чисел; но тогда по тождеству Эйлера и их произведение p тоже представляется в виде суммы квадратов четы-

рех рациональных чисел, что противоречит нашему предположению.

158

Лемма 2. Существуют такие целые числа a; b; c, не все равные 0,

÷òî

a2 + b2 + c2 p; a2 + b2 + c2 < p2:

Доказательство. Если 1 является квадратичным вычетом по модулю p, то существует целое число a, такое что 0 < a p 1 и a2 1 (mod p). Тогда

a2 +12 +02 = a2 +1 p; a2 +12 +02 (p 1)2 +1 = p2 2(p 1) < p2:

Пусть теперь 1 квадратичный невычет по модулю p, и пусть d наименьший квадратичный невычет по модулю p; тогда 2 d < p, а d 1 и d квадратичные вычеты (последнее потому, что произве-

дение квадратичных невычетов является квадратичным вычетом). Следовательно, существуют такие целые числа a1; b1, ÷òî

a21 d 1 (mod p); b21 p d (mod p); 0 < a1; b1 < p:

Пусть a то из чисел a1, p a1, которое меньше p=2, и аналогично b то из чисел b1, p b1, которое меньше p=2. Тогда

a2+b2+12 (d 1)+(p d)+1 0 (mod p); a2+b2+12 < 3p2=4 < p2:

Вернемся к доказательству теоремы. По лемме 2 существует целое число m, такое что 0 < m < p и a2 + b2 + c2 = mp. Посколь-

ку по нашему предположению p наименьшее положительное це-

лое число, не представимое в виде суммы квадратов четырех рациональных чисел, существуют такие рациональные числа ; ; ; , что m = 2 + 2 + 2 + 2. Каждое из трех чисел m, mp, 1=m2 является суммой квадратов четырех рациональных чисел:

m = 2 + 2 + 2 + 2; mp = a2 + b2 + c2 + 02;

1=m2 = (1=m)2 + 02 + 02 + 02;

поэтому по теореме 1 их произведение p тоже является суммой квад-

ратов четырех рациональных чисел, а это противоречит нашему предположению о том, что p не раскладывается в сумму четырех квадра-

òîâ.

159

Глава VII

Векторные пространства и системы линейных уравнений

x 1: Системы линейных уравнений

1 Системы алгебраических уравнений

Пусть k поле. Алгебраическим уравнением над k с неизвестными x1; : : : ; xn называется выражение вида

f(x1; : : : ; xn) = 0;

ãäå f(x1; : : : ; xn) многочлен из k[x1; : : : ; xn]. Отметим, что в уравнении знак равенства не имеет обычного содержательного смысла: он не означает, что слева и справа от него стоит один и тот же многочлен. Набор из нескольких алгебраических уравнений над одним и тем же полем с одними и теми же неизвестными называется системой алгебраических уравнений.

Пусть f1(x1; : : : ; xn); : : : ; fm(x1; : : : ; xn) многочлены с коэффициентами из поля k; решением системы алгебраических уравнений

f1 (x1; : : : ; xn) = 0;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : ; fm (x1; : : : ; xn) = 0:

называется набор (a1; : : : ; an) элементов из поля k, таких что

f1 (a1; : : : ; an) = 0;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : ; fm (a1; : : : ; an) = 0:

Здесь знаки равенства уже имеют обычный содержательный смысл: для любого i значение fi(a1; : : : ; an) многочлена fi(x1; : : : ; xn) принадлежит полю k, и требуется, чтобы этот элемент поля k равнялся 0.

160