algebra1

этой формы; он называется индексом Витта формы f и обозначается w(f). Таким образом, мы знаем уже три инварианта квадратичной формы f, которые у изометричных форм одинаковы: число переменных n, ранг r(f) и индекс Витта w(f). Заметим, что гиперболическая

составляющая и составляющая с нулевыми коэффициентами формы f определены этими параметрами однозначно (с точностью до

изометричности). Напротив, анизотропные формы, вообще говоря, трудно описать при помощи какого-то набора параметров. Конечно, инвариантны их ранги и множества значений; кроме того, мы знаем, что всякая форма диагонализируема. Но наборы диагональных коэффициентов изометричных форм определены далеко не однозначно, и полной ясности здесь нет даже для форм над полем рациональных чисел Q. И только для некоторых полей (алгебраически замкнутых

полей, конечных полей, поля вещественных чисел и некоторых других) удается довести до конца классификацию квадратичных форм с точностью до изометричности.

3 Ещ¼ о законе инерции для вещественных квадратичных форм

Пусть f квадратичная форма над R. По теореме Витта анизотропная составляющая g в разложении Витта формы f определена однозначно с точностью до изометричности; поэтому знак "(g) определен формой f однозначно; он обозначается "(f) и называется знаком анизотропной составляющей формы f.

Теорема 13. Пусть f(x1; : : : ; xn) квадратичная форма над полем вещественных чисел, r(f), w(f), "(f) ее ранг, индекс Витта и знак анизотропной составляющей, и пусть форма f изометрична квадратичной форме

g(y1; : : : ; yn) = 1y12 + + sys2 s+1ys2+1 s+tys2+t;

ãäå 1; : : : ; s; s+1; : : : ; s+t > 0. Тогда то из чисел s; t, которое не больше другого, равно w(f), а другое из этих чисел равно r(f) w(f);

при этом s > t тогда и только тогда, когда "(f) = 1. Доказательство. Преобразование

форму

h(z1; : : : ; zn) = z12 + : : : + zs2 zs2+1 : : : zs2+t + 0 zs2+t+1 + : : : + 0 zn2:

Ранг формы h равен, очевидно, s + t, так что s + t = r(h) = r(f). Если s > t, то

h = (zt2+1+: : :+zs2) ? ((z12 zs2+1)+: : :+(zt2 zs2+t)) ? (0 zs2+t+1+: : :+0 zn2)

271

разложение Витта формы h в ортогональную сумму анизотропной

формы, гиперболической формы и формы с нулевыми коэффициентами. Анизотропная составляющая zt2+1 +: : :+zs2 положительно опре-

делена, поэтому "(f) = "(h) = 1. Далее, ясно, что w(f) = w(h) = t. Наконец, s = (s + t) t = r(f) w(f). Аналогично, при s t разложение Витта формы h имеет вид

( z22s+1 : : : zs2+t) ? ((z12 zs2+1)+: : :+(zs2 z22s)) ? (0 zs2+t+1+: : :+0 zn2);

Теорема доказана.

272

Глава X

Евклидовы и унитарные пространства

x 1: Евклидовы и унитарные пространства

1 Определение евклидова пространства

Пусть V векторное пространство над полем вещественных чисел,

на котором задана функция двух аргументов, сопоставляющая паре векторов u; v 2 V вещественное число (u; v), называемое скалярным

произведением векторов u; v. Пространство V с таким скалярным

произведением называется евклидовым пространством, если выполняются следующие условия:

(1)(u + v; w) = (u; w) + (v; w) для любых u; v; w 2 V ;

(2)( u; v) = (u; v) для любых u; v 2 V и любого 2 R;

(3)(u; v) = (v; u) для любых u; v 2 V ;

(4)åñëè u 2 V , u 6= 0, òî (u; u) > 0.

Третье условие называется симметричностью, а четвертое положительной определенностью скалярного произведения. Прежде, чем приводить примеры евклидовых пространств, отметим несколько фактов, дополняющих аксиомы скалярного произведения и сразу вытекающих из них.

1. Для любого вектора u 2 V его скалярное произведение с нулевым вектором равно 0. Действительно,

( ; u) = (0 ; u) = 0 ( ; u) = 0:

В частности, отсюда следует, что ( ; ) = 0; вместе с четвертой аксиомой это означает, что (u; u) 0 для любого вектора u 2 V .

2. Для любых u1; : : : ; un; v 2 V и любых 1; : : : ; n 2 R выполняется соотношение

( 1u1 + : : : + nun; v) = 1(u1; v) + : : : + n(un; v):

273

Это легко получается из аксиом (1), (2) индукцией по n. Таким об-

разом, первые две аксиомы означают линейность скалярного произведения по первому аргументу.

3. Поскольку для любых u; v1; : : : ; vn 2 V и любых 1; : : : ; n 2 R

(u; 1v1 + : : : + nvn) = ( 1v1 + : : : + nvn; u) =

= 1(v1; u) + : : : + n(vn; u) = 1(u; v1) + : : : + n(u; vn);

скалярное произведение линейно также и по второму аргументу. В частности, (u; v + w) = (u; v) + (u; w), (u; v) = (u; v) для любых

u; v; w 2 V и любого 2 R. Учитывая, что скалярное произведение линейно по обоим аргументам, принято говорить, что оно билинейно.

2 Примеры евклидовых пространств

1: Первый и важнейший пример евклидова пространства известен

еще из школьного курса геометрии и из курса аналитической геометрии это обычные векторы в трехмерном пространстве. Мы умеем складывать векторы и умножать их на числа, а также скалярно перемножать (напомним, что скалярное произведение векторов равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними).

2. В пространстве строк длины n с вещественными компонентами введем скалярное произведение, положив

((a1; : : : ; an); (b1; : : : ; bn)) = a1b1 + : : : + anbn:

Очевидно, что аксиомы (1) - (3) выполняются. Далее, скалярное произведение вектора (a1; : : : ; an) на себя равно a21 +: : :+a2n; åñëè õîòÿ áû

одна из компонент ai отлична от 0, то это произведение строго больше 0, то есть выполняется и аксиома положительной определенности скалярного произведения. Это евклидово пространство называется арифметическим евклидовым пространством размерности n.

3. Рассмотрим векторное пространство l2 бесконечных последова-

тельностей вещественных чисел (a1; a2; : : : ; an; : : : ), таких что сумма

их квадратов сходится. Ясно, что при умножении последовательно- ñòè èç l2 на любое вещественное число мы снова получим элемент из

l2. Пусть (b1; b2; : : : ; bn; : : : ) другая последовательность из l2. Легко доказать, используя неравенство Коши-Буняковского для конечных последовательностей вещественных чисел (мы вскоре докажем это

векторное пространство над R. Превратим l2 в евклидово простран- ство, объявив сумму второго ряда скалярным произведением наших

274

двух последовательностей. Проверка того, что аксиомы скалярного произведения выполняются, совершенно тривиальна.

4. Множество всех непрерывных на отрезке [ 0; 1] функций век-

торное пространство над R. Введем на этом пространстве скаляр-

1

R

ное произведение, положив (f(x); g(x)) = f(x)g(x)dx. Линейность и

0

симметричность этого скалярного произведения очевидны. Если f(x)ненулевая непрерывная функция, то существует число a 2 [ 0; 1], такое что f(a) 6= 0. Далее, поскольку функция f(x) непрерывна, существуют такие числа c; d 2 [ 0; 1], что c < d, a 2 [c; d] и для любого2 [c; d] выполняется неравенство jf( ) f(a)j < jf(a)j=2, из которого следует, что

jf( )j = jf(a) + (f( ) f(a))j jf(a)j jf( ) f(a)j >

> jf(a)j jf(a)j=2 = jf(a)j=2:

Поэтому

1d

ZZ

(f(x); f(x)) = (f(x))2dx (f(x))2dx (d c)jf(a)j2=4 > 0;

0c

то есть скалярное произведение положительно определено.

3 Унитарные пространство

Аналогом евклидовых пространств в комплексном случае являются унитарные пространства. Векторное пространство V над полем C

называется унитарным, если на нем определено скалярное произведение, сопоставляющее каждой паре векторов u; v 2 V комплексное

число (u; v) и удовлетворяющее следующим условиям:

(1)(u + v; w) = (u; w) + (v; w) для любых u; v; w 2 V ;

(2)( u; v) = (u; v) для любых u; v 2 V и любого 2 C;

(3)(u; v) = (v; u) для любых u; v 2 V ;

(4)если u 2 V , u 6= 0, то (u; u) положительное вещественное

число.

Как и в евклидовых пространствах, первые две аксиомы показывают, что скалярное произведение линейно по первому аргументу. Однако, оно уже не будет линейным по второму аргументу. В самом деле,

(u; v) = ( v; u) = (v; u) = (v; u) = (u; v);

и, общее,

(u; 1v1 + : : : + nvn) = 1(u; v1) + : : : + n(u; vn):

275

Это свойство называют полулинейностью по второму аргументу, и поэтому скалярное произведение в унитарном пространстве часто называют полуторалинейным, то есть линейным по одному аргументу и полулинейным по другому.

Заметим, что вещественность скалярного произведения (u; u) сра-

зу следует из аксиомы (3), по которой (u; u) = (u; u). Поэтому в ак-

сиоме (4) содержательным является только утверждение о положительности этого вещественного числа.

Приведем несколько примеров унитарных пространств, аналогич- ных примерам 2 - 4 евклидовых пространств.

1. В пространстве строк длины n с комплексными компонентами введем скалярное произведение, положив

Это унитарное пространство естественно называть арифметическим унитарным пространством размерности n.

2. В векторном пространстве бесконечных последовательностей комплексных чисел (a1; a2; : : : ; an; : : : ), таких что сумма квадратов их модулей сходится, введем скалярное произведение, положив

1

X

((a1; a2; : : : ; an; : : : ); (b1; b2; : : : ; bn; : : : )) = aibi:

i=1

3. На пространстве всех комплекснозначных непрерывных на отрезке [ 0; 1] функций введем скалярное произведение, положив

1

Z

(f(x); g(x)) = f(x)g(x)dx:

0

Мы опускаем простую проверку того, что во всех случаях полу- чаются унитарные пространства.

Теории евклидовых и унитарных пространств очень близки; иногда утверждения чуть проще для евклидовых пространств, но иногда и унитарный случай бывает проще евклидова. Как правило, доказательства различных утверждений мы будем проводить лишь для того из этих вариантов, который чуть сложнее другого.

4 Длина вектора. Угол между векторами

Пусть V евклидово или унитарное пространство; поскольку в обоих

случаях скалярное произведение положительно определено, для любого вектора v 2 V его скалярный квадрат (v; v) является неотрица-

p

тельным вещественным числом. Поэтому всегда существует (v; v)

276

(напомним, что так обозначается единственное неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению). Это число называется длиной вектора v и обозначается jjvjj. Таким образом,

jjvjj2 = (v; v). Заметим, что из положительной определенности ска-

лярного произведения следует также, что нулевой вектор является единственным вектором пространства V , длина которого равна 0.

Понятие угла между векторами естественно лишь в евклидовых пространствах. Вспомним, как определяется скалярное произведение в школьном курсе и в курсе аналитической геометрии: скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними. Но точно так же можно использовать это определение в обратном направлении, выразив косинус угла че- рез скалярные произведения. Таким образом, мы приходим к следующему определению: пусть V евклидово пространство, и пусть

u; v ненулевые векторы из V ; углом между векторами называется вещественное число , такое что

(u; v) cos = jjujj jjvjj:

Мы вскоре увидим, что правая часть этого выражения всегда заклю- чена между 1 и +1, так что угол между двумя ненулевыми векто-

рами всегда определен. Конечно, он не единствен, но то же самое имеет место и в курсах геометрии; для обеспечения единственности надо потребовать, например, чтобы было 0 < =2.

Если одно из значений угла между векторами u и v равно =2, то естественно эти векторы называть ортогональными; тогда

откуда следует, что (u; v) = 0. Естественно принять, что нулевой

вектор ортогонален любому вектору. Хотя, как мы отметили выше, понятие угла между векторами не очень естественно в унитарных пространствах, ортогональность векторов, наоборот, оказывается очень полезной и в унитарном случае. Таким образом, мы приходим к следующему определению. Пусть V евклидово или уни-

тарное пространство; векторы u; v 2 V называются ортогональными, если (u; v) = 0.

Вектор u 2 V называется нормированным, если jjujj = 1, то есть (u; u) = 1. Мы будем постоянно пользоваться следующими простыми свойствами, часто даже не делая ссылок.

Лемма 1. Пусть V евклидово (унитарное) пространство, и пусть u и v ортогональные векторы из V . Тогда для любых ; из поля R (соответственно, из поля C) векторы u и v тоже ортогональны.

277

Лемма 2. Пусть V евклидово или унитарное пространство; если v ненулевой вектор из V , то вектор v=jjvjj нормированный.

Доказательство. В обозначениях леммы 1 (u; v) = 0, и потому

а это и значит, что векторы u; v ортогональны. Далее, если v 6= 0, то jjvjj 6= 0, и квадрат длины вектора v=jjvjj равен

5 Неравенство Коши-Буняковского

Теорема 1 (неравенство Коши-Буняковского). Для любых векторов u; v из евклидова или унитарного пространства выполняется

неравенство

(u; v)(v; u) (u; u)(v; v):

Замечание. Поскольку (v; u) = (u; v), в левой части этого неравен-

ства стоит вещественное число (u; v)(u; v) = j(u; v)j2, а в правой вещественное число jjujj2jjvjj2; поэтому неравенство имеет смысл.

В случае евклидового пространства и ненулевых векторов мы полу- чаем из этого неравенства, что

как отмечалось выше, это гарантирует корректность определения угла между ненулевыми векторами.

Доказательство. Проведем доказательство для унитарных пространств; для евклидовых пространств оно только упрощается. Если v = 0, то обе части доказываемого неравенства превращаются в 0,

и тем самым в этом случае неравенство справедливо. Пусть теперь v 6= 0 и потому (v; v) 6= 0. По аксиоме положительной определенно-

сти, для любого 2 C скалярное произведение (u + v; u + v) неотрицательное вещественное число. Подберем так, чтобы вектор u + v был ортогонален вектору v; для этого надо, чтобы выполнялось равенство 0 = (u + v; v) = (u; v) + (v; v), то есть чтобы числоравнялось (u; v)=(v; v). При этом значении имеем:

0 (u + v; u + v) = (u + v; u) + (u + v; v) = = (u; u) + (v; u) = (u; u) ((u;v; vv))(v; u):

Умножая обе части получившегося неравенства на положительное число (v; v), мы и получим неравенство Коши-Буняковского.

278

x 2: Базисы евклидовых и унитарных пространств

1 Существование ортогональных нормированных

базисов в евклидовых и унитарных пространствах

Лемма 3. Если ненулевые векторы u1; : : : ; un из евклидова или уни- тарного пространства V попарно ортогональны, то они линейно независимы.

Доказательство. Пусть линейная комбинация 1u1+ + nun равна нулевому вектору. Тогда для любого i, 1 i n, имеем:

0= (0; ui) = ( 1u1 + + iui + + nun; ui) =

=1(u1; ui) + : : : + i(ui; ui) + : : : + n(un; ui) = = 1 0 + : : : + i(ui; ui) + : : : + n 0 = i(ui; ui);

поскольку ui 6= 0 и потому (ui; ui) 6= 0, отсюда следует, что i = 0. Таким образом, только тривиальная линейная комбинация векторов u1; : : : ; un может равняться нулевому вектору, а это и значит, что эти векторы линейно независимы.

Лемма 4. Пусть V евклидово или унитарное пространство, и пусть e1; : : : ; em нормированные попарно ортогональные векторы из V . Если m < dim V , то существует нормированный вектор em+1 2 V , ортогональный всем векторам e1; : : : ; em, òàê ÷òî íîð- мированные векторы e1; : : : ; em; em+1 снова попарно ортогональны.

Доказательство. Размерность линейной оболочки <e1; : : : ; em> линейно независимых векторов e1; : : : ; em равна m. Если размерность пространства V больше m, то существует вектор v 2 V , не принадле-

жащий этой линейной оболочке. Покажем, что можно так подобрать коэффициенты 1; : : : ; m, чтобы вектор w = v + 1e1 + : : : + mem был ортогонален векторам e1; : : : ; em. Действительно, для 1 i m условие (w; ei) = 0 равносильно условию

0= (v + 1e1 + + iei + + mem; ei) =

=(v; ei) + 1(e1; ei) + : : : + i(ei; ei) + : : : + m(em; ei) =

=(v; ei) + 1 0 + : : : + i 1 + : : : + m 0 = (v; ei) + i;

поэтому достаточно положить i = (v; ei). Итак, вектор

w = v (v; e1)e1 : : : (v; em)em

279

ортогонален векторам e1; : : : ; em. Этот вектор w ненулевой: в противном случае вектор

v = w + (v; e1)e1 + : : : + (v; em)em = (v; e1)e1 + : : : + (v; em)em

принадлежал бы линейной оболочке < e1; : : : ; em >, а это противоречит его выбору. Поэтому jjwjj =6 0. Тогда вектор em+1 = w=jjwjj нормированный по лемме 2, и он ортогонален векторам e1; : : : ; em ïî лемме 1.

Базис евклидова или унитарного пространства V называется ор-

тогональным нормированным, если он состоит из попарно ортогональных нормированных векторов. Иногда такие базисы называют также ортонормальными.

Теорема 2. Всякое множество попарно ортогональных нормированных векторов из конечномерного евклидова или унитарного пространства V можно дополнить до ортогонального нормированного

базиса пространства V .

Доказательство. Пусть e1; : : : ; em попарно ортогональные нормированные векторы из V , и пусть m n = dim V . Применяя n m

раз лемму 4, добавим последовательно к нашей системе нормированные векторы em+1; : : : ; en так, чтобы векторы e1; : : : ; em; em+1; : : : ; er оставались попарно ортогональными при любом r, m + 1 r n.

В частности, векторы e1; : : : ; em; em+1; : : : ; en попарно ортогональны и нормированы, а потому все они ненулевые; по лемме 3 они линейно независимы, и, поскольку их количество равно размерности пространства V , они составляет базис V .

Теорема 3. Во всяком конечномерном евклидовом или унитарном пространстве существует ортогональный нормированный базис.

Доказательство. Достаточно применить теорему 2 к пустому множеству векторов (это корректно, так как верны утверждения: если вектор содержится в пустом множестве, то он нормирован, а если два вектора содержатся в пустом множестве, то они ортогональны).

Замечание. Условие конечности в теоремах 2 3 существенно:

в бесконечномерных пространствах они не всегда верны. Так, в евклидовом пространстве непрерывных на отрезке [ 0; 1] функций, рассмотренном выше в примере 4 из x 1:2 , функции

1; cos 2 x; sin 2 x; cos 4 x; sin 4 x; : : : ; cos 2m x; sin 2m x; : : :

280