algebra1

Итак, Im = Im '. Наконец, класс gH 2 G=H принадлежит ядру гомоморфизма тогда и только тогда, когда '(g) = (gH) = e, то есть когда g 2 Ker ', а это выполняется тогда и только тогда, когда gH 2 Ker '=H.

Если в теореме 8 положить H = Ker ', то мы получим утвер-

ждение, известное как "теорема о гомоморфизме". Она может быть сформулирована почти стихотворным образом:

Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма.

Более строгая формулировка теоремы о гомоморфизме такова.

Теорема 9. Пусть ' : G ! K гомоморфизм групп. Тогда группы G= Ker ' и Im ' изоморфны.

Доказательство. Группа H = Ker ' является нормальной подгруппой группы G. По теореме 8 существует гомоморфизм

: G= Ker ' = G=H ! Im ';

причем Im = Im ', Ker = Ker '=H = Ker '= Ker '. Первое из этих соотношений означает, что эпиморфизм, а второе что ядро гомоморфизма состоит только из единичного элемента факторгруппы G= Ker ', а это значит, что мономорфизм. Итак, изоморфизм группы G= Ker ' на группу Im '.

Еще одним следствием теоремы 8 является так называемая "третья теорема о гомоморфизмах".

Теорема 10. Пусть G группа, H и K ее нормальные подгруппы, причем K H. Тогда H=K нормальная подгруппа группы G=K, и факторгруппы (G=K)=(H=K) и G=H изоморфны.

Доказательство. Пусть ' : G ! G=H канонический эпиморфизм группы G на факторгруппу G=H. Поскольку Ker ' = H K, по теореме 8 существует эпиморфизм : G=K ! Im ' = G=H, ядро которого равно Ker '=K = H=K. Поскольку ядро любого гомомор-

физма является нормальной подгруппой, мы получаем, в частности, что H=K нормальная подгруппа группы G=K. Теперь по теореме

о гомоморфизме (теорема 9) мы получаем, что группы G=H = Im и (G=K)=(H=K) = (G=K)= Ker изоморфны.

Если ' : M ! N отображение множеств, а N0 подмноже- ство N, то полным прообразом N0 относительно отображения ' на-

зывается множество всех элементов m 2 M, таких что '(m) 2 N0. Этот полный прообраз обозначается через ' 1(N0). Вариантом тре-

тьей теоремы о гомоморфизмах является следующее утверждение.

351

Теорема 11. Пусть : G ! F эпиморфизм групп, и пусть F0 нормальная подгруппа группы F , а G0 = 1F0. Тогда G0 нормаль-

ная подгруппа группы G, и факторгруппы F=F0, G=G0 изоморфны.

Доказательство. Пусть канонический эпиморфизм группы F на факторгруппу F=F0. Композиция отображений : G ! F ,: F ! F=F0 является гомоморфизмом группы G в группу F=F0; действительно, поскольку и гомоморфизмы групп, для любых g1; g2 2 G будет

( )(g1g2) = ( (g1g2)) = ( (g1) (g2)) =

= ( (g1)) ( (g2)) = ( )(g1)( )(g2):

Поскольку оба отображения , сюръективны, их композиция

тоже сюръективное отображение, так что Im( ) = F=F0. Далее, элемент g 2 G принадлежит ядру Ker( ) гомоморфизма тогда и

только тогда, когда ( (g)) = eF=F0 , то есть когда (g) 2 Ker = F0, или, что то же, когда g 2 1(F0) = G0. Èòàê, Ker( ) = G0, è çíà-

÷èò, G0 нормальная подгруппа группы G; по теореме о гомоморфизме (теорема 9) группа F=F0 = Im( ) изоморфна факторгруппе

G= Ker( ) = G=G0.

Наконец, докажем "вторую теорему о гомоморфизмах".

Теорема 12. Пусть G группа, а H и K ее подгруппы, причем H нормальная подгруппа G. Тогда KH подгруппа G, H нормальная подгруппа KH, K \ H нормальная подгруппа группы K, и факторгруппы KH=H и K=(K \ H) изоморфны.

Доказательство. Группа H нормальная подгруппа группы G, поэтому по предложению 19 KH = HK, и значит,

(KH)(KH) 1 = (KH)(H 1K 1) (KH)(HK) = K(HH)K =

= K(HK) = K(KH) = (KK)H KH:

По предложению 18 отсюда следует, что KH подгруппа G. То, что H нормальная подгруппа KH, следует из предложения 23. Обозначим через канонический эпиморфизм группы KH на факторгруппу KH=H, а через ' : K ! KH=H ограничение на подгруппу K группы KH; таким образом, если k 2 K, то '(k) = kH. Для любого элемента kh 2 KH (k 2 K, h 2 H) его смежный класс по подгруппе H равен (kh)H = k(hH) = kH = '(k); значит, Im ' совпадает со всей группой KH=H. Ядро гомоморфизма ' состоит из тех и только тех элементов k 2 K, для которых (k) единичный элемент группы KH=H; но последнее равносильно тому, что k 2 H.

352

Таким образом, Ker ' = K \H; поскольку ядро любого гомоморфиз-

ма является нормальной подгруппой, мы получаем, в частности, что K \ H нормальная подгруппа группы K. Для завершения дока-

зательства теоремы 12 нам остается применить теорему о гомоморфизме (теорема 9), согласно которой группы K=(K \ H) = K= Ker '

и Im ' = KH=H изоморфны.

x 7: Подгруппа, порожденная подмножеством

1 Определение

Начнем с одной очень простой леммы.

Лемма 8. Пусть G группа, и пусть M некоторое множество подгрупп (нормальных подгрупп) группы G. Тогда пересечение

T

H всех подгрупп из M тоже подгруппа (нормальная подгруп-

H2M

па) группы G.

группы G.

Пусть теперь все подгруппы H 2 M нормальны в G, и пусть

T

h 2 H, g 2 G. Тогда для любой подгруппы H 2 M элемент h

H2M

принадлежит H, а вместе с ним нормальной подгруппе H группы G принадлежит и элемент g 1hg. Èòàê, g 1hg 2 H äëÿ âñåõ H 2 M, è

Пусть теперь S произвольное подмножество группы G (быть

может, пустое). Тогда по лемме 8 пересечение всех подгрупп (нормальных подгрупп) группы G, содержащих S, снова является под-

группой (нормальной подгруппой) группы G, и очевидно, что это пересечение содержит S; оно называется подгруппой (нормальной подгруппой) группы G, порожденной множеством S, и в этом курсе обозначается <S> (соответственно <<S>>).

Из предыдущего определения следует, что если H подгруппа группы G, содержащая множество S G, то <S> H. Таким образом, подгруппа <S > группы G, порожденная подмножеством Sэто наименьшая относительно включения подгруппа группы G,

353

содержащая S. Аналогично, нормальная подгруппа <<S>> группы G, порожденная подмножеством S это наименьшая относительно включения нормальная подгруппа группы G, содержащая S. В частности, <;>=<<;>>= e, так как единичная подгруппа содержит пу-

стое подмножество и является наименьшей из вообще всех подгрупп

G.

2 Описание подгруппы, порожденной множеством

Следующая теорема дает полное описание подгруппы <S> группы G, порожденной непустым подмножеством S группы G; отметим, что

никакого обозримого описания множества всех элементов нормальной подгруппы <<S>>, порожденной подмножеством S, получить не

удается.

Теорема 13. Пусть G группа, и пусть S непустое подмноже-

ство G. Тогда подгруппа G, порожденная множеством S, совпадает с множеством всех произведений вида s"11 : : : s"nn , ãäå n пробегает множество всех натуральных чисел, s1; : : : ; sn 2 S, "1; : : : ; "n = 1.

Доказательство. Обозначим множество всех таких произведений че- рез U:

U = fs"11 : : : s"nn j n 2 N; s1; : : : ; sn 2 S; "1; : : : ; "n = 1g:

Ясно, что U содержит S и содержится в любой подгруппе группы G, содержащей S, и для доказательства равенства U =<S > остается показать, что U подгруппа G. Но это тоже совсем просто. Пусть u; v 2 U; тогда существуют такие натуральные числа m; n, элементы

uv 1 = s"11 : : : s"mm (t11 : : : tnn ) 1 = s"11 : : : s"mm tn n : : : t1 1 2 U;

а это и значит, что U подгруппа G (мы воспользовались тем, что вместе с числами 1; : : : ; n числа 1; : : : ; n тоже равны 1 или 1).

3 Гомоморфизмы, совпадающие на порождающем множестве

Нам часто будет полезно следующее утверждение.

Предложение 24. Пусть S порождающая система группы G, и пусть ; два гомоморфизма из группы G в другую группу F . Если (s) = (s) для всех s 2 S, то = .

354

Доказательство. Для любого элемента g 2 G существуют такие на-

туральное число N, элементы s1; s2; : : : ; sN 2 S и показатели степени

"1; "2; : : : ; "N = 1, ÷òî g = s"11 s"22 : : : s"NN

(g) = (s"11 s"22 : : : s"NN ) = ( (s1))"1 ( (s2))"2 : : : ( (sN ))"N = = ( (s1))"1 ( (s2))"2 : : : ( (sN ))"N = (s"11 s"22 : : : s"NN ) = (g):

4 Циклические группы

Циклическая группа состоит из степеней одного и того же элемента g, поэтому это то же самое, что группа, у которой есть порождаю-

щая система, состоящая из одного элемента g 2 G. Мы уже видели выше, что циклическая группа, порожденная элементом g конечного порядка n 1 состоит из n элементов e; g; : : : ; gn 1. Если же g не является элементом конечного порядка, то степени gi; gj различны при i; j 2 Z, i 6= j, потому что иначе было бы gi j = gj i = e, то есть элемент g был бы элементом конечного порядка ji jj; поскольку все степени g принадлежат циклической группе, порожденной g, в этом

случае

<g>= f: : : ; g 2; g 1; e; g; g2; g3; : : : g;

причем все эти элементы различны, а значит группа <g> бесконечна.

Теорема 14. Группа целых чисел Z является бесконечной цикли- ческой группой. Для всякого целого n > 0 группа Z=nZ является конечной циклической группой порядка n. Всякая циклическая группа изоморфна одной и только одной из групп Z, Z=nZ, где n > 0.

Доказательство. Группа Z порождается одним элементом 1 и бесконечна. Если n > 0, то, поскольку всякое целое число сравнимо по модулю n с одним из чисел 0; 1; : : : ; n 1, группа Z=nZ состоит из n смежных классов по nZ, а именно

nZ = 0 + nZ; 1 + nZ; : : : ; (n 1) + nZ;

она циклическая, потому что каждый ее элемент является кратным класса 1 + nZ. Пусть теперь G циклическая группа, порожденная

элементом g. Если g элемент бесконечного порядка, то, как мы только что видели, отображение i gi аддитивной группы целых чисел Z в группу G, биективно; кроме того, оно является гомоморфизмом групп, потому что gi+j = gigj для любых целых чисел i; j, так что это отображение изоморфизм групп. Точно так же, если gэлемент конечного порядка n 1, то отображение ' : Z=nZ ! G, определенное формулой

'((i + nZ)) = gi (0 i < n);

355

биективно, и, очевидно, является гомоморфизмом, а значит, изоморфизмом групп. Действительно, если 0 i; j < n, то

(i + nZ) + (j + nZ) = k + nZ;

где k = i + j, если i + j < n, и k = i + j n в противном случае; в обоих случаях gk = gigj, потому что gn = e.

x 8: Прямое произведение групп

1 Внешнее прямое произведение

Пусть G1; G2; : : : ; Gn какие-то группы. Рассмотрим их декартово произведение

G1 G2 : : : Gn = f(g1; g2; : : : ; gn) j g1 2 G1; g2 2 G2; : : : ; gn 2 Gng

и определим на нем умножение следующим образом. Если

(g1; g2; : : : ; gn); (h1; h2; : : : ; hn) 2 G1 G2 : : : Gn;

то для любого i, 1 i n, элементы gi è hi принадлежат группе Gi, а потому определено их произведение gihi в группе Gi, причем это произведение принадлежит той же группе. Таким образом, все компоненты строчки (g1h1; g2h2; : : : ; gnhn) имеют смысл, и эта строч- ка принадлежит G1 G2 : : : Gn; ее мы и примем за произведение строчек (g1; g2; : : : ; gn) è (h1; h2; : : : ; hn).

Теорема 15. Для любых групп G1; G2; : : : ; Gn их декартово произ- ведение G1 G2 : : : Gn является группой относительно определенного выше умножения.

Доказательство. Надо проверить ассоциативность умножения, существование единицы и существование обратного элемента.

Ассоциативность умножения. Пусть

a = (f1; : : : ; fn); b = (g1; : : : ; gn; c = (h1; : : : ; hn)

три элемента из G1 : : : Gn; тогда для каждого s, 1 s n, s-е компоненты fs; gs; hs этих элементов принадлежат группе Gs, è ïî- тому в этой группе (fsgs)hs = fs(gshs). Íî fsgs это s-я компонента произведения ab, а потому (fsgs)hs это s-я компонента произведения (ab)c, и точно так же fs(gshs) это s-я компонента произведения a(bc). Итак, s-е компоненты произведений (ab)c и a(bc) совпадают для всех s, а потому совпадают и сами эти произведения (ab)c, a(bc).

Существование единицы. Пусть es единичный элемент группы Gs (1 s n). Покажем, что элемент e = (e1; : : : ; en) декартова

356

произведения G1 : : : Gn единичный элемент для введенного умножения. Действительно, для любого элемента a = (g1; : : : ; gn) из декартова произведения мы имеем:

ea = (e1; : : : ; en)(g1; : : : ; gn) = (e1g1; : : : ; engn) = (g1; : : : ; gn) = a; ae = (g1; : : : ; gn)(e1; : : : ; en) = (g1e1; : : : ; gnen) = (g1; : : : ; gn) = a:

Существование обратного элемента. Пусть a = (g1; g2; : : : ; gn) произвольный элемент из G1 : : : Gn; тогда gs 2 Gs для любого s,

1 s n, и в группе Gs есть обратный к gs элемент, то есть такой эле- ìåíò gs 1 2 Gs, ÷òî gsgs 1 = gs 1gs = es. Строчка b = (g1 1; g2 1; : : : ; gn 1)

является элементом из G1 : : : Gn, è

ab = (g1; g2; : : : ; gn)(g1 1; g2 1; : : : ; gn 1) = (e1; e2; : : : ; en) = e; ba = (g1 1; g2 1; : : : ; gn 1)(g1; g2; : : : ; gn) = (e1; e2; : : : ; en) = e;

так что b обратный к a элемент.

Построенная группа G1 : : : Gn называется (внешним) прямым произведением групп G1; : : : ; Gn. Оно условно называется "внешним", потому что при n > 1 оно не содержит ни один из сомножителей.

Однако, внешнее прямое произведение связано с каждым из сомножителей Gs (1 s n) естественными гомоморфизмами

is : Gs ! G1 : : : Gs : : : Gn; ps : G1 : : : Gs : : : Gn ! Gs;

заданными формулами

is(gs) = (e1; : : : ; gs; : : : ; en); ps((g1; : : : ; gs; : : : ; gn)) = gs

(g1 2 G1; : : : ; gs 2 Gs; : : : ; gn 2 Gn). То, что эти отображения являются гомоморфизмами групп, очевидно. Далее, ясно, что is ìîíî- морфизм; его образ изоморфная Gs подгруппа прямого произведе- ния. Гомоморфизм is называется каноническим вложением прямого сомножителя Gs в прямое произведение. Гомоморфизм ps, очевид- но, является эпиморфизмом; он называется канонической проекцией прямого произведения на прямой сомножитель Gs.

Отметим очевидные, но очень важные свойства канонических вложений и проекций, которыми будем неоднократно пользоваться:

для любого s, 1 s n, гомоморфизм psis : Gs ! Gs является тождественным отображением;

åñëè g = (g1; g2; : : : ; gn) 2 G1 : : : Gn, òî g = i1(g1)i2(g2) : : : in(gn); кроме того, gs = ps(g) äëÿ âñåõ s, 1 s n.

357

2 Подгруппы, гомоморфизмы и факторгруппы прямого произведения

Пусть G1; : : : ; Gn группы, и пусть для каждого s в группе Gs âû- брана подгруппа Hs. Каждый элемент (h1; : : : ; hn) декартова произ- ведения H = H1 : : : Hn в то же время является элементом декар- това произведения G = G1 : : : Gn, так что прямое произведение H подгрупп H1; : : : ; Hn содержится в прямом произведении G групп G1; : : : ; Gn и, более того, является подгруппой G (мы опускаем оче- видную проверку этого факта). Таким образом, прямое произведение подгрупп Hs Gs подгруппа прямого произведения групп Gs.

Пусть теперь 's : Fs ! Gs (1 s n) набор гомоморфизмов групп. Отображение

'1 : : : 'n : F1 : : : Fn ! G1 : : : Gn;

заданное формулой

является гомоморфизмом групп, причем ядром этого гомоморфизма является прямое произведение ядер гомоморфизмов 's, а образомпрямое произведение образов этих гомоморфизмов. Мы не будем выписывать здесь тривиальные доказательства этих фактов. Однако, одно следствие из них, тоже очень простое, выделим особо.

Предложение 25. Для любых групп Gs и любых их нормальных подгрупп Hs (1 s n) прямое произведение H подгрупп H1; : : : ; Hnнормальная подгруппа прямого произведения G групп G1; : : : ; Gn, причем факторгруппа G=H изоморфна прямому произведению факторгрупп G1=H1; : : : ; Gn=Hn:

(G1 : : : Gn)=(H1 : : : Hn) ' (G1=H1) : : : (Gn=Hn)

Доказательство. Для каждого s пусть s : Gs ! Gs=Hs канони- ческий эпиморфизм группы на факторгруппу. Тогда ядром гомоморфизма

1 : : : n : G = G1 : : : Gn ! (G1=H1) : : : (Gn=Hn)

является прямое произведение H ядер Hs всех гомоморфизмов s, а образом прямое произведение всех образов, то есть вся группа (G1=H1) : : : (Gn=Hn). По теореме о гомоморфизмах этот образ изоморфен факторгруппе G=H.

358

3 Поэлементно перестановочные подгруппы

Подгруппы H1, H2 группы G называются поэлементно перестановочными (или поэлементно коммутирующими), если h1h2 = h2h1 äëÿ âñåõ h1 2 H1, h2 2 H2.

Предложение 26. Пусть H1; : : : ; Hn подгруппы группы H, при- чем при 1 s 6= t n подгруппы Hs è Ht поэлементно перестано- вочны. Тогда:

(1) для любых элементов h1; h01 2 H1, h2; h02 2 H2, . . . , hn; h0n 2 Hn справедливо равенство

(h1h2 : : : hn)(h01h02 : : : h0n) = (h1h01)(h2h02) : : : (hnh0n);

(2) подгруппа группы G, порожденная подгруппами H1; : : : ; Hn (то есть порожденная объединением H1 [ [ Hn), совпадает с их произведением H1 : : : Hn.

Доказательство. (1) Например, индукция по n. Для n = 1 утверждение бессодержательно. Пусть n > 1 и утверждение уже доказано для меньшего числа подгрупп. Все элементы h2; : : : ; hn; h01 принад- лежат попарно различным подгруппам Gs и потому попарно пере-

становочны; из предложения 10 следует, что h2 : : : hnh01 = h01h2 : : : hn. Далее, (h2 : : : hn)(h02 : : : h0n) = (h2h02) : : : (hnh0n)) по предположению ин-

дукции. Следовательно,

h1h2: : :hnh01h02: : :h0n =h1(h2: : :hnh01)h02: : :h0n =h1(h01h2: : :hn)h02: : :h0n =

=(h1h01)h2: : :hnh02: : :h0n =(h1h01)(h2h02): : :(hnh0n):

(2)Ясно, что произведение H1 : : : Hn содержится в подгруппе груп- пы G, порожденной объединением множеств H1; : : : ; Hn; поэтому до-

статочно доказать, что H1 : : : Hn подгруппа группы G. Но это непосредственно следует из (1). Действительно, если g; g0 2 H1 : : : Hn, òî

g = h1 : : : hn, g0 = h01 : : : h0n для некоторых элементов h1; h01 2 H1, . . . , hn; h0n 2 Hn. Тогда по утверждению (1)

gg0 = (h1 : : : hn)(h01 : : : h0n) = (h1h01) : : : (hnh0n) 2 H1 : : : Hn;

g (h1 1: : :hn 1)=(h1: : :hn)(h1 1: : :hn 1)=(h1h1 1): : :(hnhn 1)=e: : :e=e; (h1 1: : :hn 1) g =(h1 1: : :hn 1)(h1: : :hn)=(h1 1h1): : :(hn 1hn)=e: : :e=e:

Первое из этих соотношений показывает, что H1 : : : Hn вместе с лю-

быми двумя элементами содержит их произведение, а другие два что обратным к элементу g 2 H1 : : : Hn является элемент h1 1 : : : hn 1,

который тоже принадлежит произведению подгрупп H1 : : : Hn. Íî это и значит, что H1 : : : Hn подгруппа G.

359

4 Разложение группы в прямое произведение своих подгрупп

Пусть G группа, а G1; : : : ; Gn ее подгруппы. Мы говорим, что группа G раскладывается в прямое произведение своих подгрупп

G1; : : : ; Gn, если существует изоморфизм внешнего прямого произведения G1 : : : Gn на группу G, обладающий свойством:

( ) åñëè gs 2 Gs G (1 s n), òî (is(gs)) = gs.

Это определение не очень удобно для применения; поэтому мы дадим другие, более удобные условия разложимости группы в прямое произведение подгрупп.

Теорема 16. Для того чтобы группа G была прямым произведе-

нием своих подгрупп G1; : : : ; Gn, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

(1)åñëè s 6= t, то группы Gs, Gt поэлементно перестановочны;

(2)подгруппы G1; : : : ; Gn порождают группу G;

(3)представление элемента g 2 G в виде произведения g = g1 : : : gn, ãäå gs 2 Gs для каждого s, единственно.

Доказательство. Прежде, чем доказывать теорему, отметим, что из

(1) и (2) следует, по предложению 26, что G = G1 : : : Gn, òî åñòü ïðåä- ставление любого элемента g 2 G в виде произведения g = g1 : : : gn, ãäå gs 2 Gs для каждого s, всегда существует, и условие (3) утверждает единственность такого представления.

Необходимость. Пусть : G1 : : : Gn ! G изоморфизм, удовлетворяющий условию ( ). Если gs 2 Gs, gt 2 Gt è s < t, òî

gsgt = (is(gs)) (it(gt)) = (is(gs)it(gt)) =

=((e; : : : ; gs; : : : ; e; : : : ; e)(e; : : : ; e; : : : ; gt; : : : ; e)) =

=((e; : : : ; gs; : : : ; gt; : : : ; e));

èточно так же gtgs = ((e; : : : ; gs; : : : ; gt; : : : ; e)); значит, gsgt = gtgs, то есть подгруппы Gs è Gt поэлементно перестановочны.

Далее, поскольку эпиморфизм, для любого элемента g 2 G

есть такой элемент (g1; : : : ; gn) 2 G1 : : : Gn, ÷òî ((g1; : : : ; gn)) = g. Поскольку (g1; : : : ; gn) = i1(g1) : : : in(gn), имеем:

g = ((g1; : : : ; gn)) = (i1(g1)) : : : (in(gn)) = g1g2 : : : gn:

Таким образом, подгруппы G1; : : : ; Gn порождают группу G. Наконец, если g = g1 : : : gn, ãäå g1 2 G1, . . . , gn 2 Gn, òî

360