algebra1

Пусть теперь G группа, порожденная элементами g1; : : : ; gn, среди которых могут быть одинаковые. По определению свободной группы существует гомоморфизм ' : F ! G, такой что

'(x1) = g1; : : : ; '(xn) = gn:

Обозначим ядро этого гомоморфизма через R. Поскольку образ ' содержит все элементы g1; : : : ; gn, а эти элементы порождают группу G, образ гомоморфизма ' совпадает со всей группой G, и по теореме о гомоморфизме группа G изоморфна факторгруппе F=R.

Для каждого элемента [r(x1; : : : ; xn)] из ядра R эпиморфизма ' значение

r(g1; : : : ; gn) = '([r(x1; : : : ; xn)])

слова r(x1; : : : ; xn) ïðè x1 = g1; : : : ; xn = gn является единичным эле- ментом группы G. Таким образом, в группе G выполняется равенство r(g1; : : : ; gn) = e, которое называется соотношением между элементами g1; : : : ; gn.

В одном из предыдущих параграфов мы определяли нормальную подгруппу <<X >> произвольной группы, порожденную подмноже-

ством X этой группы. Пусть rj(x1; : : : ; xn) (j 2 J) любой набор слов, такой что соответствующие этим словам элементы [rj(x1; : : : ; xn)] группы F порождают ядро R эпиморфизма ' : F ! G как нормаль-

ный делитель группы F . Совокупность соотношений

rj(g1; : : : ; gn) = e (j 2 J)

называется определяющей системой соотношений между образующимм g1; : : : ; gn группы G.

Выбор образующих и определяющих соотношений определяют группу G с точностью до изоморфизма. Такое описание группы на-

зывается представлением группы G при помощи систем образую-

щих и определяющих соотношений между этими образующими, или копредставлением группы. То, что группа G порождается образу-

ющими g1; : : : ; gn, связанных определяющей системой соотношений rj(g1; : : : ; gn) = e (j 2 J), часто записывается так:

G =<g1; : : : ; gn rj(g1; : : : ; gn)=e (j 2 J)> :

10 Примеры задания групп системами образующих и определяющих соотношений

1. Циклическая группа порядка n это группа с одной образующей g и одним определяющим соотношением gn = e.

411

2. Симметрическая группа S3 это группа с образующими g = (1; 2), h = (1; 3) и определяюхими соотношениями

g2 = h2 = (gh)3 = e:

Действительно, (2; 3) = (1; 2)(1; 3)(1; 2) = ghg, так что группа, порожденная g и h содержит все три транспозиции (1; 2); (1; 3); (2; 3),

а значит, и всю группу S3. Покажем, что указанные соотношения действительно определяющие. Для этого достаточно показать, что группа F , определяемая этими соотношениями, состоит менее чем

из 12 элементов; действительно, у не¼ есть факторгруппа S3 порядка 6, поэтому порядок F делится на 6 и, значит, равен 6.

Из соотношений g2 = h2 = e следует, что g 1 = g, h 1 = h, поэтому всякий неединичный элемент группы F записывается словом в алфавите g; h, причем ни одна из букв не повторяется в слове два раза подряд, так как всякое вхождение сомножителей g2 èëè h2, равных e, можно удалить из записи слова. Кроме того, каждое из сочетаний gh, hg может повторяться в слове не более двух раз подряд, так как (gh)3 = e, (hg)3 = ((gh)3) 1 = e. Итак, всякий неединичный элемент группы F равен одному из десяти элементов

g; gh; ghg; ghgh; ghghg; h; hg; hgh; hghg; hghgh

(среди которых, конечно, есть равные).

3. Диэдральная группа Dn. Диэдральной группой Dn (èëè группой диэдра) называется группа самосовмещений правильного n-

угольника на плоскости, то есть движений плоскости, совмещающих некоторый правильный n-угольник с собой. Занумеруем вершины

правильного n-угольника числами 0; 1; : : : ; n 1 по часовой стрел-

ке. Для того, чтобы задать движение из Dn, достаточно указать, в какие вершины переходят вершина 0 и соседняя с ней вершина 1. Вершина 0 может перейти в любую вершину k, а вершина 1 только

в любую из двух соседних с k вершин k 1 (если одно из этих двух чисел не попадает в отрезок [0; n), то его надо заменить на единственное сравнимоес с ним по модулю n число из этого отрезка). Таким образом, число элементов группы Dn не больше 2n. На самом деле порядок группы Dn в точности равен 2n, так как мы можем явно предъявить 2n раздичных движений, совмещающих n-угольник с собой: n поворотов на углы 2 k=n и n осевых симметрий (при нечетном n оси симметрий проходят через каждую вершину и середину противоположной к ней стороны, а при четном n половина осей симметрии

проходит через противоположные вершины, а половина через середины противоположных сторон).

Обозначим через s; t 2 Dn соответственно симметрию относительно оси, проходящей через вершину 0 и поворот на угол 2 =n. Пока-

412

жем, что элементы s; t порождают группу Dn, а соотношения

s2 = tn = (st)2 = e

составляют определяющую систему соотношений для этих образующих. Действительно, подгруппа группы Dn, порожденная s; t, содержит все n поворотов tk, 0 k < n, и по крайней мере еще один

элемент s; поскольку порядок подгруппы делит порядок всей группы 2n и он не меньше, чем n+1, отсюда следует, что подгруппа совпада-

ет со всей группой, то есть элементы s; t порождают Dn. Далее, ясно, ÷òî s2 = tn = e; поскольку st не поворот на некоторый угол, дви-

жение st является симметрией относительно некоторой оси, и потому

(st)2 = e.

Покажем, что указанный набор соотношений определяющая система соотношений для Dn. Для этого достаточно показать, что группа F , определяемая этими соотношениями, состоит не более чем

из 2n элементов. Обозначим через M подмножество F , состоящее из

Но любой элемент f из группы F , пороржденной элементами s; t,

является произведением сомножителей, каждый из которых равен одному из элементов s 1; t 1, поэтому Mf M. В частности,

f = t0f 2 Mf M:

Таким образом, все элементы группы F принадлежат множеству M.

x 15: Свободное произведение групп

1 Определение свободного произведения

Пусть F группа, а Fi (i 2 I) е¼ подгруппы. Мы говорим, что F свободное произведение подгрупп Fi (i 2 I), если объединение этих подгрупп порождает группу F и если для любой группы G и любых гомоморфизмов 'i : Fi ! G существует гомоморфизм ' : F ! G, ограничения которого на подгруппы Fi для всех i 2 I совпадают с соответствующими гомоморфизмами 'i. Отметим, что если такой

413

гомоморфизм ' есть, то только один, потому что, как мы знаем, лю-

бые два гомоморфизма, совпадающие на порождающем множестве группы, совпадают на всей группе.

Для свободного произведения групп Fi (i 2 I) применяется обо-

Fi;

i2I

в случае конечного множества сомножителей F1; : : : ; Fn их свободное произведение обозначается через F1 : : : Fn.

Из приведенного определения сразу следует, что свободные произведения с точностью до изоморфизма определяются перемножаемыми подгруппами. Действительно, пусть F свободное произведение

подгрупп Fi, а G свободное произведение подгрупп Gi, где индекс i пробегает в обоих случаях одно и то же множество I. Далее, пусть для всех i 2 I

'i : Fi ! Gi; i : Gi ! Fi

взаимно обратные изоморфизмы. По определению свободного произведения существуют гомоморфизмы ' : F ! G, : G ! F , такие

что для любого i 2 I ограничение ' на Fi совпадает с 'i, а ограниче- íèå íà Gi совпадает с i. Тогда для любого i 2 I эндомоморфизм ' группы F не двигает элементы из группы Fi; значит, он оставляет на месте все элементы из порождающей системы Si2I Fi группы F и потому является тождественным изоморфизмом группы F на себя.

Точно так же показывается, что ' тождественный автоморфизм группы G. Итак, ' и взаимно обратные изоморфизмы группы F на группу G и группы G на группу F .

2 Конструкция свободного произведения

Покажем, что для любых групп Fi существует группа F , являющаяся свободным произведением подгрупп, изоморфных группам Fi. Ïî- строение группы F очень похоже на построение свободной группы и

является его обобщением.

Пусть Fi (i 2 I) произвольные попарно не пересекающиеся группы (это не является серьезным ограничением, потому что мы всегда можем заменить любую из групп Fi на изоморфную ей груп- пу, не пересекающуюся с остальными группами). Для каждого i 2 I

единицу группы Fi будем обозначать через ei. Рассмотрим свобод-

построении свободной группы.

Сначала определим четыре операции над словами из W (X), которые будем называть элементарными операциями.

414

Вставка и выбрасывание единицы. Пусть w1; w2 2 WX такие слова, что для некоторых слов u; v 2 WX и некоторого i 2 I

w1 = uv; w2 = ueiv;

в этом случае мы говорим, что слово w2 получается из слова w1 встав- кой единицы ei группы Fi, а слово w1 получается из слова w2 выбра- сыванием этой единицы.

Склеивание и разбиение букв. Пусть в слове w1 = uxyv, ãäå u; v 2 WX , а x; y 2 X, две соседние буквы x; y принадлежат одной и той же группе Fi, и пусть z = xy 2 Fi X их произведение в группе Fi. Тогда мы говорим, что слово w2 = uzv получается из w1 склеиванием соседних букв x; y, принадлежащих одной и той же из групп Fi, i 2 I, а слово w1 получается из слова w2 разбиением буквы z в произведение букв из той же группы.

Введем на множестве WX отношение . Пусть u; v 2 WX ; ìû ïî- лагаем u v, если существует такая цепочка слов w1; : : : ; wn, первое слово w1 которой равно u, а последнее слово wn равно v, что каждое последующее слово wi+1 получается из предыдущего слова wi одной из четырех элементарных операций (1 i < n).

Лемма 25. Пусть u; v; w слова из WX . Тогда:

(1)u u;

(2)åñëè u v, òî v u;

(3)åñëè u v, v w, òî u w;

(4)åñëè u v, òî uw vw, wu wv.

Доказательство. (1) В цепочке, состоящей из единственного слова u, первое и последнее слова равны u, а предыдущих и последующих

слов в этой цепочке вообще нет, так что u u.

(2) Если u v, то существует цепочка слов w1; : : : ; wn, начинаю- щаяся со слова u и кончающаяся словом v, в которой каждое слово

wi+1 получается из предыдущего слова wi вставкой единицы, или вы- брасыванием единицы, или склеиванием букв, или разбиением буквы. Поскольку вставка и выбрасывание единицы, а также склеивание букв и разбиение буквы взаимно обратные операции, в цепочке wn; : : : ; w1 и каждое следующее слово wi

го слова wi+1 элементарной операцией; первое слово в этой цепочке равно v, последнее слово равно u, так что v u.

(3) Если u v, v w, то существуют цепочки слов

u; w2; : : : ; wn 1; v; v; p2; : : : ; pm 1; w;

в которых каждое следующее слово получается из предыдущего элементарной операцией; сращивая эти цепочки, получим цепочку слов

u; w2; : : : ; wn 1; v; p2; : : : ; pm 1; w;

415

обладающую тем же свойством. Следовательно, u w.

(4) Пусть u v и пусть u; w2; : : : ; wn 1; v цепочка слов. в которых каждое следующее слово получается из предыдущего элементарной операцией; тогда и в цепочках

uw; w2w; : : : ; wn 1w; vw; wu; ww2; : : : ; wwn 1; wv

каждое следующее слово получается из предыдущего элементарной операцией, а это значит, что uw vw, wu wv.

Первые три утверждения предыдущей леммы показывают, чтоотношение эквивалентности на множестве слов WX ; обозначим через F множество классов эквивалентности слов. Для слова w 2 WX будем обозначать его класс эквивалентности через [w].

Определим теперь на множестве F операцию умножения. Пусть a; b два класса из F . Если u; u1 2 a, v; v1 2 b, òî u u1, v v1, è ïî последнему утверждению леммы 25 uv uv1 u1v1. Таким образом, класс [uv] произведения представителей u; v классов a; b не зависит от

выбора этих представителей; его и возьмем в качестве произведения ab. Иначе говоря, [u][v] = [uv] для любых слов u; v 2 WX .

Теорема 34. Относительно введенного умножения множество F является группой. Для каждого i 2 I классы [x] слов, состоящих из единственной буквы x 2 Fi, составляют подгруппу Fi0 группы F , изоморфную Fi, и группа F является свободным произведением подгрупп Fi0, i 2 I.

Доказательство. Все утверждения, составляющие содержание теоремы, содержатся в доказанных ниже леммах 26, 28, 29.

Лемма 26. F является группой.

Доказательство. Пусть u, v, w произвольные слова из W . Тогда

([u][v])[w] = [uv][w] = [(uv)w] = [u(vw)] = [u]([vw]) = [u]([v][w]);

таким образом, определенное на F умножение ассоциативно. Класс e = [ ], содержащий пустое слово, является единицей для этого умно-

жения:

e[u] = [ ][u] = [u]; [u]e = [u][ ] = [u]:

Пусть теперь f = [x1 : : : xn 1xn] произвольный элемент из F . Каждая буква xi 2 X принадлежит какой-то из групп Fs, s 2 I; пусть

xi 2 Fsi и пусть yi элемент, обратный в группе Fsi элементу xi. Покажем, что g = [yn : : : y2y1] обратный к f элемент. Для 0 m n

положим

wm = x1 : : : xm 1xm; vm = ymym 1 : : : y1;

416

òàê ÷òî f = [wn], g = [vn], à w0 è v0 пустые слова. Для каждого m 1 слово wm 1vm 1 может быть получено из слова wmvm цепочкой из склеивания элементов одной группы и выбрасывания единицы:

wmvm = wm 1xmymvm 1 ! wm 1esm vm 1 ! wm 1vm 1:

Поэтому wmvm wm 1vm 1, òî åñòü [wmvm] = [wm 1vm 1]. Èòàê,

fg = [wn][vn] = [wnvn] = [wn 1vn 1] = : : : = [w1v1] = [w0v0] = [ ] = e;

и точно так же показывается, что gf = e.

Для любого i 2 I обозначим через i отображение из Fi в F , ставящее в соответствие каждому x 2 Fi класс i(x) = [x] 2 F . Åñëè x; y 2 Fi, òî

i(xy) = [xy] = [x][y] = i(x) i(y);

òàê ÷òî i гомоморфизм групп.

Лемма 27. Пусть 'i : Fi ! G произвольные гомоморфизмы групп Fi в группу G. Тогда существует гомоморфизм ' : F ! G, такой что ' i = 'i äëÿ âñåõ i 2 I.

Доказательство. По определению множества X для каждого элемента x 2 X существует единственный индекс i 2 I, такой что x 2 Fi; положим (x) = 'i(x). Поскольку X множество свободных образующих полугруппы WX , построенное отображение : X ! G продол-

Для любых слов u; v 2 WX , любого i 2 I и любых элементов

Таким образом, при всех четырех элементарных операциях склеивании и разбиении букв, вставке и выбрасывании единицы зна- чение гомоморфизма на словах из WX не меняется. Если u; v

любые эквивалентные слова из WX , то существует цепочка слов

u= w1; w2; : : : ; wn = v;

âкоторой каждое следующее слово получено из предыдущего элементарной операцией, поэтому

(u) = (w1) = (w2) = : : : = (wn) = (v):

417

Мы видим, что значения на эквивалентных словах совпадают, и потому корректно определено отображение ' : F ! G, при котором

'([w]) = (w) для любого слова w 2 WX : åñëè [w0] = [w], òî w0 w è

(w0) = (w).

Если [u]; [v] 2 F , то [u][v] = [uv] и потому

'([u][v]) = '([uv]) = (uv) = (u) (v) = '([u])'([v]):

Таким образом, ' : F ! G гомоморфизм групп. При этом для любого i 2 I и любого x 2 Fi выполняется соотношение '( i(x)) =

'([x]) = (x) = 'i(x).

Лемма 28. Для каждого i 2 I классы [x] слов, состоящих из единственной буквы x 2 Fi, составляют подгруппу Fi0 группы F , изоморфную Fi

Доказательство. Пусть i 2 I; по лемме 27 существует гомоморфизм

'(i) : F ! Fi, такой что '(i) i : Fi ! Fi тождественный изомор- физм, а при j 6= i гомоморфизм '(i)( j : Fj ! Fi отображает все эле-

менты группы Fj в единицу группы Fi. Отсюда сразу вытекает, что гомоморфизм i : Fi ! F инъективен: если x; y 2 Fi, i(x) = i(y), òî x = '(i)( i(x)) = '(i)( i(y)) = y. Поэтому

Fi0 = f[x] j x 2 Fig = f i(x) j x 2 Fig = Im i

группа, изоморфная группе Fi.

Лемма 29. F свободное произведение подгрупп Fi0, i 2 I.

Доказательство. Группы Fi0 порождают группу F . Действительно, любой элемент f 2 F класс эквивалентности некоторого слова

x1x2 : : : xn, каждая буква xj которого принадлежит одной из групп Fi;

поэтому f = [x1x2 : : : xn] = [x1][x2] : : : [xn] произведение элементов

[xj], каждый из которых принадлежит одной из групп Fi0 = i(Fi). Пусть теперь '0i : Fi0 ! G произвольные гомоморфизмы групп

Fi0 в группу G (i 2 I); тогда '0i i гомоморфизмы из Fi в G, и по лемме 27 существует такой гомоморфизм ' : F ! G, что для любого i 2 I

и любого x 2 Fi (то есть для любого [x] 2 Fi0)

'([x]) = '( i(x)) = '0i i(x) = '0i([x]):

3 Примеры свободных произведений

1. Свободная группа. Свободная группа F со свободными образующими xi (i 2 I) является свободным произведением циклических

418

подгрупп Ci, порожденных этими свободными образующими xi. Äåé- ствительно, пусть 'i : Ci ! G произвольные гомоморфизмы циклических групп Ci в некоторую группу G. Существует гомоморфизм ' свободной группы F в группу G, принимающий на свободных образующих xi значения 'i(xi). Ограничение гомоморфизма ' на Ci è ãî- моморфизм 'i совпадают на образующей xi, и поэтому они совпада- ют на всей циклической группе Ci, порожденной xi. Таким образом, для любых гомоморфизмов 'i : Ci ! G существует гомоморфизм ' : F ! G, ограничения которого на подгруппы Ci для всех i 2 I совпадают с соответствующими гомоморфизмами 'i; это и значит, что F свободное произведение своих подгрупп Ci.

2. Свободное произведение двух циклических групп порядка 2. В этом и следующем пунктах мы будем использовать запись элементов свободного произведения несократимыми словами. Пусть Fi (i 2 I) произвольные попарно не пересекающиеся груп-

элементы групп

седние буквы этого слова не принадлежат одной и той же из групп Fi. В каждом классе эквивалентных слов слово наименьшей длины несократимо: если в него входила бы единица одной из групп, то е¼ можно было бы выбросить и получить слово меньшей длины из того же класса, а если бы две соседние буквы принадлежали одной и той же из групп Fi, то их можно было бы склеить и снова получить слово меньшей длины из того же класса. Таким образом, каждый элемент свободного произведения групп Fi может быть представлен несократимым словом. Можно показать, что в каждом классе эквивалентности лишь одно несократимое слово, но нам это сейчас не нужно.

Применим это соображение к случаю двух циклических сомножителей S и T порядка 2. Пусть s, t единственные неединичные

элементы этих групп. Несократимые слова в данном случае это последовательности, составленные из букв s; t, чередующихся друг

с другом. Таким образом, каждый элемент свободного произведения S T имеет один из четырех видов

stst : : : st = (st)i; tsts : : : ts = (ts)i = ((st) 1)i = (st) i ststs : : : ts = s(st) i; tsts : : : tsts = sstst : : : st = s(st)i

(i 0). Перемножаются эти элементы следующим образом: если по-

следняя буква первого сомножителя отлична от первой буквы второго сомножителя, то второй сомножитель просто приписывается к первому, а если это не так, то более длинный сомножитель "съедает" другой сомножитель, и получается произведение, длина которого равна разности длин сомножителей. Эту группу можно описать и другим образом. Пусть U циклическая подгруппа группы S T ,

419

порожденная элементом u = st. Из приведенного выше описания элементов группы S T видно, что группа S T является объединением двух смежных классов U, sU, так что (S T : U) = 2. Элемент s, имеющий порядок 2, и элемент бесконечного порядка u порождают группу S T , и эти образующие переставляются друг с другом следующим образом:

su = s2t = t = ts2 = (st) 1s = u 1s:

3. Проективная специальная линейная группа порядка 2 над кольцом целых чисел PSL(2; Z): В группе SL(2; Z) целочис-

ленных матриц второго порядка с определителем 1 есть нетривиальный центр, состоящий из двух матриц E; факторгруппа этой груп-

пы по центру называется проективной специальной линейной группой порядка 2 над Z и обозначается PSL(2; Z). Матрицы

Теорема 35. Классы p; q матриц P; Q 2 SL(2; Z) по модулю центра порождают циклические подгруппы порядков 2 и 3 группы PSL(2; Z), причем сама группа PSL(2; Z) является свободным произведением этих подгрупп

Доказательство. Первое утверждение очевидно:

принадлежат H. Индукцией по jcj легко показать, что для любого целого c матрицы

тоже принадлежат H.

Покажем, что H = SL(2; Z); отсюда будет следовать, что классы p; q матриц P; Q по модулю центра порождают PSL(2; Z). Пусть это не так; тогда существует матрица

420