algebra1

g= g1g2 : : : gn = (i1(g1)) (i2(g2)) : : : (in(gn)) =

=(i1(g1)i2(g2) : : : in(gn)) = ((g1; g2; : : : ; gn)):

Поскольку биективное отображение, существует обратное отоб- ражение 1, и предыдущее равенство можно переписать так:

1(g) = (g1; g2; : : : ; gn):

Отсюда следует, что для любого s, 1 s n, s-й сомножитель имеет предписанное значение gs = ps( 1(g)) и потому определен однозначно.

Достаточность. Пусть G1; : : : ; Gn подгруппы группы G, удовлетворяющие условиям (1)-(3). Всякий элемент g 2 G1 : : : Gn представляет собой набор (g1; : : : ; gn), ãäå gs 2 Gs G (1 s n). Поскольку все компоненты gs элемента g принадлежат G, их можно перемножить в G, и их произведение (g) = g1 : : : gn является элементом группы G. Таким образом, мы построили отображение: G1 : : : Gn ! G; покажем, что оно является изоморфизмом

групп.

Поскольку группы Gs попарно поэлементно перестановочны, произведения в правых частях этих соотношений равны по предложению 26, поэтому (gh) = (g) (h), то есть гомоморфизм групп.

Åñëè gs 2 Gs (1 s n), òî

(is(gs)) = (e; : : : ; gs; : : : ; e) = gs:

Таким образом, гомоморфизм удовлетворяет условию ( ) и, кроме того, произвольный элемент gs из группы Gs принадлежит образу гомоморфизма . Отсюда следует, что подгруппа Im группы G со-

держит все подгруппы G1; : : : ; Gn. Но по условию (2) эти подгруппы порождают группу G, так что Im G, то есть эпиморфизм. Наконец, если (g1; : : : ; gn) 2 Ker , òî

g1 : : : gn = 1(g1) : : : n(gn) = ((g1; : : : ; gn)) = e = e : : : e;

по условию (3) отсюда следует, что g1 = e, . . . , gn = e, òî åñòü (g1; : : : ; gn) единичный элемент группы G1 : : : Gn. Итак, Ker состоит только из единичного элемента, а это значит, что мономорфизм.

361

В заключение этого пункта скажем несколько слов об обозначе- ниях. Если группа G раскладывается в произведение своих подгрупп

G1; : : : ; Gn, то мы пишем, что G = G1 : : : Gn. Это обозначение сов- падает с обозначением внешнего прямого произведения, хотя группа G не совпадает с внешним прямым произведением, а только изоморф-

на ему. Таким образом, мы используем одно и то же обозначение в двух различных, хотя и очень близких ситуациях. Такое обозначение общепринято и обычно не приводит к недоразумениям.

5 Транзитивность прямого произведения

Теорема 17. Пусть группа G раскладывается в прямое произведение своих подгрупп G1; : : : ; Gn, и пусть для каждого s, 1 s n, группа Gs раскладывается в прямое произведение своих подгрупп

Gs1; : : : ; Gsms . Тогда группа G раскладывается в в прямое произведение своих подгрупп Gst (1 s n, 1 t ms).

Доказательство. Группа Gst поэлементно перестановочна с каждой группой Guv, если u 6= s, потому что Gst Gs, Guv Gu, à ãðóï- ïû Gs, Gv поэлементно перестановочны. Кроме того, группа Gst ïî- элементно перестановочна с каждой группой Gsv, t 6= v. Èòàê, ïðè (s; t) 6= (u; v) группы Gst è Guv поэлементно перестановочны. Далее, ясно, что группы Gst (1 s n, 1 t ms) порождают группу G. Остается, таким образом, показать, что если

g11 : : : g1m1 : : : gn1 : : : gnmn = g110 : : : g10 m1 : : : gn0 1 : : : gnm0 n ;

ãäå gst; gst0 2 Gst, òî gst = gst0 äëÿ âñåõ s; t, 1 s n, 1 t ms. Ââå-

дем обозначения gs = gs1 : : : gsms , gs0 = gs01 : : : gsm0 s ; тогда gs; gs0 2 Gs äëÿ âñåõ s è g1g2 : : : gn = g10 g20 : : : gn0 . Поскольку G прямое произведение

подгрупп G1; G2; : : : ; Gn, s-ые компоненты обеих частей предыдущего равенства совпадают при любом s. Таким образом,

gs1 : : : gsms = gs = gs0 = gs01 : : : gsm0 s ;

и, поскольку Gs прямое произведение подгрупп Gs1; : : : ; Gsms , ìû получаем, что gst = gst0 для любого t, 1 t ms.

6 Прямое произведение двух групп

Утверждение теоремы 16 существенно упрощается в случае, когда группа является прямым произведением двух своих подгрупп.

Теорема 18. Для того, чтобы группа F была прямым произведением своих подгрупп G и H, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: подгруппы G и H поэлементно перестановочны и порождают группу F , а их пересечение G \ H единичная подгруппа группы G.

362

Доказательство. Первые два условия такие же, как в теореме 16; поэтому достаточно доказать, что при их выполнении третье условие теоремы 16 в случае двух подгрупп равносильно тому, что пересече- ние этих подгрупп состоит только из единичного элемента.

Предположим сначала, что представление любого элемента f 2 F в виде f = gh, где g 2 G, h 2 H, единственно. Пусть f любой элемент из пересечения G \ H; тогда f = fe = ef. Отметим, что в обоих произведениях fe, ef первый сомножитель принадлежит G, а второй принадлежит H, поскольку и e, и f принадлежат обеим подгруппам G, H. Из единственности представления f в виде такого произведения следует, что f = e. Таким образом, в пересечении групп G и H нет элементов, отличных от e.

Обратно, пусть G \ H = e и пусть f = g1h1 = g2h2, ãäå g1; g2 2 G, h1; h2 2 H. Тогда g1 1g2 = h1h2 1; но левая часть этого равенства

элемент из подгруппы G, а правая элемент из подгруппы H. Поэтому g1 1g2 = h1h2 1 2 G \ H = feg, òî åñòü g1 1g2 = h1h2 1 = e, откуда следует, что g1 = g2, h1 = h2. Итак, любые два представления произвольного элемента f 2 F в виде произведения f = gh, где

g 2 G, h 2 H, совпадают.

7 Прямое произведение нескольких подгрупп

Аналогом предыдущей теоремы, хотя и значительно менее удобным, является такой результат.

Теорема 19. Для того чтобы группа G была прямым произведе-

нием своих подгрупп G1; : : : ; Gn, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

(1)åñëè s 6= t, то группы Gs, Gt поэлементно перестановочны;

(2)подгруппы G1; : : : ; Gn порождают группу G;

(3)для всех s, 1 < s n пересечение (G1G2 : : : Gs 1) \ Gs состоит только из единичного элемента.

Доказательство. Подгруппы Gs попарно поэлементно перестановоч- ны; поэтому по предложению 26 для любого s, 1 s n, подгруппа

Hs группы G, порожденная подгруппами G1; : : : ; Gs совпадает с про- изведением G1 : : : Gs. В частности, G = Hn = G1 : : : Gn. Покажем индукцией по s, что Hs = G1 : : : Gs; при s = n получается утверждение теоремы.

Для s = 1 наше утверждение бессодержательно. Пусть s 2 и пусть уже доказано, что Hs 1 = G1 : : : Gs 1. Ясно, что подгруппы Hs 1 = G1 : : : Gs 1 è Gs группы Hs = G1 : : : Gs 1Gs поэлементно перестановочны и порождают группу Hs; поскольку по условию теоремы

363

(G1G2 : : : Gs 1) \ Gs = e, из теоремы 18 следует, что Hs = Hs 1 Gs. Но по индукционному предположению Hs 1 = G1 : : : Gs 1; îñòà- ется применить транзитивность прямого произведения (теорема 17), согласно которой Hs = G1 : : : Gs 1 Gs.

Укажем одну ситуацию, в которой довольно громоздкое условие

(3) теоремы 19 выполняется автоматически.

Теорема 20. Пусть G1; : : : ; Gn подгруппы конечной группы G, такие что при s 6= t группы Gs, Gt поэлементно перестановочны и их порядки взаимно просты. Если порядок группы G равен произве-

дению порядков подгрупп G1; : : : ; Gn, то группа G является прямым произведением своих подгрупп G1; : : : ; Gn.

Доказательство. Порядок подгруппы G0 группы G, порожденной

подгруппами G1; : : : ; Gn, делится на порядки всех этих подгрупп; поскольку эти порядки попарно взаимно просты, jG0j делится и на

их произведение, которое равно порядку G. Таким образом, порядок подгруппы G0 не меньше порядка всей группы G, а это возможно только если G0 = G. Следовательно, группа G = G0 порождается

подгруппами G1; : : : ; Gn. Итак, выполняются условия (1), (2) теоремы 19, и остается проверить, что (G1 : : : Gs 1) \ Gs = e для любого s,

1 < s n.

Пусть g 2 (G1 : : : Gs 1) \ Gs; тогда g = g1 : : : gs 1 äëÿ каких-то элементов g1 2 G1; : : : ; gs 1 2 Gs 1. Пусть mi порядок группы Gi

(1 i n), и пусть M = m1 : : : ms 1; тогда по теореме Лагранжа при 1 i < s будет gimi = e и тем более giM = e. Поскольку элементы

g1; : : : ; gs 1 попарно коммутируют, по предложению 12 имеем: gM = (g1 : : : gs 1)M = g1M : : : gsM 1 = e : : : e = e:

С другой стороны, gms = e, потому что g принадлежит группе Gs порядка ms. Но числа ms; M взаимно просты, поэтому для некоторых целых чисел a; b будет msa + Mb = 1, и потому

g = gmsa+Mb = (gm)a(gM )b = eaeb = e:

Итак, e единственный элемент пересечения (G1 : : : Gs 1) \ Gs, ÷òî мы и хотели получить.

x 9: Центр и коммутант. Нильпотентные и разрешимые группы

1 Центр группы

Пусть G группа; множество всех элементов x 2 G, таких что gx = xg для всех g 2 G, называется центром группы G и обозна- чается Z(G). Единичный элемент e всегда принадлежит центру, так

364

что центр непуст. Очевидно, что центр Z(G) совпадает со всей группой G тогда и только тогда, когда эта группа абелева.

Предложение 27. Центр Z(G) любой группы G является нормальной подгруппой этой группы.

Доказательство. Пусть x; y 2 Z(G); тогда для любого g 2 G будет gx = xg, gy = yg. Умножая второе из этих равенств слева и справа íà y 1, получим:

y 1g = y 1gyy 1 = y 1ygy 1 = gy 1:

Далее, g(xy 1) = (gx)y 1 = (xg)y 1 = x(gy 1) = x(y 1g) = (xy 1)g; следовательно, для любых x; y 2 Z(G) элемент xy 1

жит центру группы G, а это и значит, что Z(G) подгруппа G. Эта подгруппа нормальная, так как для любого x 2 Z(G) и любого g 2 G

будет g 1xg = g 1gx = ex = x 2 Z(G).

2 Коммутант группы

Пусть G группа, и пусть x; y 2 G. Элемент xyx 1y 1 называется коммутатором элементов x, y и обозначается [x; y]. Пусть X; Y два подмножества группы G; подгруппа группы G, порожденная всеми коммутаторами вида [x; y], где x 2 X, y 2 Y , называется взаимным коммутантом множеств X, Y и обозначается [X; Y ]. Особенно важен случай X = Y = G; взаимный коммутант [G; G] называется коммутантом группы G. Иногда употребляются и другие обозначения и

термины; так, в некоторых книгах коммутант называется производной группой для группы G и обозначается G0.

Предложение 28. Если X, Y нормальные подгруппы группы G, то взаимный коммутант [X; Y ] тоже нормальная подгруппа G, и [X; Y ] X \ Y . В частности, коммутант [G; G] любой группы G является ее нормальной подгруппой.

Доказательство. Пусть x 2 X, y 2 Y , g 2 G; тогда g 1xg 2 X, g 1yg 2 Y , потому что X и Y нормальные подгруппы группы G. Следовательно,

g 1[x; y]g = g 1(xyx 1y 1)g = g 1xg g 1yg g 1x 1g g 1y 1g = = (g 1xg)(g 1yg) (g 1xg) 1(g 1yg) 1 = [g 1xg; g 1yg] 2 [X; Y ]:

Из описания подгруппы, порожденной множеством, мы знаем, что произвольный элемент группы [X; Y ] имеет вид u = u"11 u"22 : : : u"nn ,

где каждый элемент ui коммутатор элемента xi 2 X è yi 2 Y , à "i = 1. Как мы только что видели, для любого i элемент g 1uig

365

принадлежит группе [X; Y ], а потому этой группе принадлежит и обратный к нему элемент (g 1uig) 1 = g 1ui 1g. Следовательно,

g 1ug = g 1(u"11 u"22 : : : u"nn )g = (g 1u"11 g)(g 1u"22 g) : : : (g 1u"nn g) 2 [G; G]:

Это и означает, что [X; Y ] нормальная подгруппа G. Далее, поскольку Y нормальная подгруппа G, для любых элементов x 2 X, y 2 Y элемент xyx 1 = (x 1) 1yx 1 принадлежит Y , а значит, и коммутатор [x; y] = xyx 1y 1 содержится в Y . Итак, группа Y содержит все коммутаторы вида [x; y], а значит, и порожденную ими подгруппу [X; Y ] группы G. Точно так же доказывается, что [X; Y ] X.

Основное свойство коммутанта группы содержится в следующей теореме.

Теорема 21. Подгруппа H группы G тогда и только тогда содержит коммутант [G; G], когда H нормальная поодгруппа G, а факторгруппа G=H абелева. Таким образом, коммутант наименьшая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой абелева.

Доказательство. Мы уже видели, что [G; G] нормальная подгруппа G. Пусть G факторгруппа G по [G; G] и : G ! G канони- ческий эпиморфизм на факторгруппу. Пусть x; y 2 G; посколькуэпиморфизм, существуют элементы x; y 2 G, такие что (x) = x,(y) = y. Тогда

xy = (x) (y) = (xy) = (xyx 1y 1yx) = = ([x; y]yx) = ([x; y]) (y) (x) = yx;

потому что [x; y] 2 [G; G] = Ker , так что ([x; y]) = e. Таким образом, факторгруппа G = G=[G; G] абелева.

Пусть H [G; G] подгруппа G. Если h 2 H, g 2 G, то g 1hg = g 1hgh 1h = [g 1; h]h 2 [G; G]h H;

а это значит, что H нормальная подгруппа группы G. По третьей теореме о гомоморфизмах факторгруппа G=H изоморфна факторгруппе абелевой группы G=[G; G] по нормальной подгруппе H=[G; G]

и потому сама является абелевой группой.

Наконец, пусть H такая нормальная подгруппа G, что факторгруппа G=H абелева. Обозначим через канонический эпиморфизм G на G=H. Пусть x; y 2 G; поскольку группа G=H абелева, элементы(y); ( (x)) 1 2 G=H перестановочны, и потому

([x; y]) = (xyx 1y 1) = (x) (y)( (x)) 1( (y)) 1 =

=(x)( (x)) 1 (y)( (y)) 1 = ee = e:

Это значит, что коммутатор [x; y] принадлежит Ker = H. Таким образом, группа H содержит все коммутаторы элементов из G, а значит, и порожденную коммутаторами группу [G; G].

366

3 Разрешимые и нильпотентные группы

Пусть G произвольная группа; построим индуктивно две цепочки

ее подгрупп (отметим, что используемые нами обозначения не явля-

ются стандартными и будут использоваться только в этом пункте). Положим G[0] = G[0] = G; если n > 0 и группы G[n 1] è G[n 1] óæå

построены, то положим G[n] = [G[n 1]; G[n 1]], G[n] = [G; G[n 1]]. Из предложения 28 следует, что G[n], G[n] нормальные подгруппы G и что

G = G[0] G[1] : : : G[n] : : : ;

G = G[0] G[1] : : : G[n] : : : :

Группа G называется разрешимой, если существует такое целое чис-

ëî n 1, ÷òî G[n] = e. Группа G называется нильпотентной, если существует такое целое число n 1, что G[n] = e.

Эти определения не всегда удобны; следующие предложения дают более простые критерии разрешимости и нильпотентности.

Предложение 29. Для того, чтобы группа была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая цепочка подгрупп

G = G0 G1 : : : : : : Gn 1 Gn = e;

÷òî [Gi; Gi] Gi+1 для всех i, 0 i < n. Условие [Gi; Gi] Gi+1 равносильно условию: Gi+1 нормальная подгруппа Gi, и фактор- группа Gi=Gi+1 абелева.

Доказательство. Необходимость условия очевидна: если группа G разрешима, то G[n] = e для некоторого n 1, и цепочка

G = G[0] G[1] : : : G[n 1] G[n] = e

удовлетворяет всем условиям. Обратно, пусть

G = G0 G1 : : : : : : Gn 1 Gn = e

такая цепочка подгрупп, что [Gi; Gi] Gi+1 для всех i, 0 i < n. Индукцией по i легко показываем, что G[i] Gi: при i = 0 будет G[0] = G = G0, и если i > 0 и уже доказано, что G[i 1] Gi 1, òî G[i] = [G[i 1]; G[i 1]] [Gi 1; Gi 1 Gi. В частности, G[n] Gn = e, а это и значит, что группа G разрешима. То, что условие [Gi; Gi] Gi+1 равносильно тому, что Gi+1 нормальная подгруппа Gi, а фактор- группа Gi=Gi+1 абелева, непосредственно следует из теоремы 21.

Предложение 30. Для того, чтобы группа была нильпотентна, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая цепочка подгрупп

G = G0 G1 : : : : : : Gn 1 Gn = e;

367

÷òî [G; Gi] Gi+1 для всех i, 0 i < n. Условие [G; Gi] Gi+1 равносильно условию: группа Gi=Gi+1 содержится в центре группы

G=Gi+1.

Доказательство. Необходимость условия очевидна: если группа G нильпотентна, то G[n] = e для некоторого n 1, и цепочка

G = G[0] G[1] : : : G[n 1] G[n] = e

удовлетворяет всем условиям. Обратно, пусть

G = G0 G1 : : : : : : Gn 1 Gn = e

такая цепочка подгрупп, что [G; Gi] Gi+1 для всех i, 0 i < n. Индукцией по i легко показываем, что G[i] Gi: при i = 0 будет G[0] = G = G0, и если i > 0 и уже доказано, что G[i 1] Gi 1, òî G[i] = [G; G[i 1]] [G; Gi 1 Gi. В частности, G[n] Gn = e, а это и значит, что группа G нильпотентна. То, что условие [G; Gi] Gi+1

равносильно тому, что группа Gi=Gi+1 содержится в центре группы G=Gi+1, очевидно.

Из этих предложений легко получается несколько полезных следствий.

Предложение 31. Всякая нильпотентная группа разрешима.

Доказательство. Пусть G нильпотентная группа; по предложению 30 существует такая цепочка подгрупп

G = G0 G1 : : : : : : Gn 1 Gn = e;

÷òî [G; Gi] Gi+1 для всех i, 0 i < n. Но тогда для этой цепочки подгрупп выполняется и такое условие: [Gi; Gi] [G; Gi] Gi+1 äëÿ всех i; по предложению 29 отсюда следует разрешимость группы G.

Предложение 32. Всякая подгруппа и всякая факторгруппа разрешимой (нильпотентной) группы разрешима (нильпотентна).

Доказательство. Докажем утверждение сначала для подгрупп. Пусть группа G разрешима (нильпотентна); тогда существует такая цепоч-

ка подгрупп

G = G0 G1 : : : : : : Gn 1 Gn = e

÷òî [Gi; Gi] Gi+1 (соответственно, [G; Gi] Gi+1) для всех i, 0 i < n. Пусть H подгруппа G; положим Hi = H \ Gi. Тогда для цепочки подгрупп

H = H0 H1 : : : : : : Hn 1 Hn = e

368

и для любого i, 0 i < n выполняется соотношение

[Hi; Hi] H \ [Gi; Gi] H \ Gi+1 = Hi+1

(соответственно, соотношение

[H; Hi] H \ [G; Gi] H \ Gi+1 = Hi+1):

Но это, по предложениям 29 и 30, означает, что группа H разрешима

(нильпотентна).

Пусть теперь U нормальная подгруппа группы G и пусть эпиморфизм G на факторгруппу G = G=U. Для каждого i положим Gi = (Gi) = (GiU)=U. Получаем цепочку подгрупп

G = G0 G1 : : : : : : Gn 1 Gn = e:

Заметим, что для любых x; y 2 G будет ([x; y]) = [ (x); (y)]; поэтому для любых подмножеств X, Y группы G образ ([X; Y ]) подгруппы [X; Y ], порожденной элементами вида [x; y] (x 2 X, y 2 Y ), совпадает с подгруппой группы G, порожденной элементами [ (x); (y)], то есть с подгруппой [ (X); (Y )]. Таким образом, если группа G разрешима, то

[Gi; Gi] = [ (Gi); (Gi)] = ([Gi; Gi]) (Gi+1) = Gi+1;

а если группа G нильпотентна, то

[G; Gi] = [ (G); (Gi)] = ([G; Gi]) (Gi+1) = Gi+1:

По предложениям 29 и 30 это означает, что группа G разрешима (соответственно, нильпотентна).

Предложение 33. Прямое произведение конечного числа разрешимых (нильпотентных) групп разрешимая (нильпотентная) группа.

Доказательство. Для простоты записи докажем утверждение для двух сомножителей (переход к общему случаю тривиальная индукция). Сначала заметим, что если A подгруппа группы F , B

подгруппа группы G, H = F G, C = A B H, то группа [H; C] порождается элементами вида

[(f; g); (a; b)] = (f; g)(a; b)(f; g) 1(a; b) 1 = ([f; a]; [g; b])

(f 2 F; g 2 G; a 2 A; b 2 B), откуда следует, что

[H; C] = [F; A] [G; B]:

369

Пусть теперь группы F; G разрешимы (нильпотентны); тогда существуют такие цепочки подгрупп

F = F0 F1 : : : Fn 1 Fn = e;

G = G0 G1 : : : Gn 1 Gn = e;

÷òî [Fi; Fi] Fi+1, [Gi; Gi] Gi+1 (соответственно, [F; Fi] Fi+1, [G; Gi] Gi+1) для всех i. Положим Hi = Fi Gi; тогда по предыду- щему замечанию

[Hi; Hi] = [Fi; Fi] [Hi; Hi] Fi+1 Gi+1 = Hi+1

(соответственно,

[H; Hi] = [F; Fi] [H; Hi] Fi+1 Gi+1 = Hi+1):

Поскольку Hn = e, отсюда следует, что группа H разрешима (нильпотентна).

Предложение 34. Пусть G группа, а H ее нормальная подгруппа. Если группы H и G=H разрешимы, то и группа G разрешима.

Доказательство. По предложению 29 существуют такие натуральные числа m n и такие цепочки подгрупп

G = G0 G1 : : : Gm 1 Gm ;

H = Hm Hm+1 : : : Hn 1 Hn

групп G = G=H и H, что Gm è Hn единичные группы, и для лю- бых 0 i < m j < n группы Gi+1 è Hj+1 являются нормальными подгруппами соответственно группы Gi и группы Hj, причем фак- торгруппы Gi=Gi+1 è Hj=Hj+1 абелевы. Пусть канонический эпи-

морфизм G на G=H; для 0 i < m обозначим через Gi полный про- образ 1(Gi) группы Gi; по третьей теореме о гомоморфизмах для

любого i < m группа Gi+1 является нормальной подгруппой группы Gi, причем факторгруппа Gi=Gi+1 изоморфна факторгруппе Gi=Gi+1 и потому абелева. Ясно, что полный прообраз Gm единичной группы Gm совпадает с H. Таким образом, мы построили цепочку подгрупп группы G

G=G0 G1 : : : Gm 1 Gm =H =Hm Hm+1 : : : Hn 1 Hn =e;

причем для каждой группы этой цепочки следующая за ней группа является ее нормальной подгруппой, факторгруппа по которой абелева. По предложению 29 это означает, что группа G разрешима.

370