algebra1

С другой стороны, A = AE = A(XX 1) = (AX)X 1 = BX 1, è точно так же A = Y 1C; по той же теореме

rank A = rank BX 1 rank B; rank A = rank Y 1C rank C:

4 Ранг ступенчатой матрицы

Как мы знаем, при помощи элементарных преобразований над строч- ками матрица может быть сделана ступенчатой. Элементарные преобразования не меняют ранг, поэтому если мы будем уметь вычислять ранг ступенчатых матриц, мы сможем найти ранг любой матрицы. Но ранг ступенчатой матрицы найти очень просто.

Теорема 10. Ранг ступенчатой матрицы с компонентами из поля равен числу ненулевых строк этой матрицы (или, что то же, числу ступенек).

Доказательство. Напомним, что матрица A 2 km n называется сту- пенчатой, если существуют такие числа r, j1; : : : ; jr, ÷òî 0 r m, 1 j1 < : : : < jr n и выполняются условия:

(1)A1j1 = : : : = Arjr = 1;

(2)åñëè s r è i 6= s, òî Aijs = 0;

(3)åñëè i > r, òî Aij = 0 äëÿ âñåõ j, 1 j n;

(4)åñëè i r, j < ji, òî Aij = 0.

Из условий (1) и (2) мы видим, что в js-м столбце матрицы A s-й элемент равен 1, а все остальные элементы равны 0. Таким образом, js-й столбец матрицы A совпадает с вектором es

базиса fe1; : : : ; emg пространства столбцов km. Векторы e1; : : : ; er ëè- нейно независимы; в то же время все столбцы матрицы A их ли-

нейные комбинации, поскольку по условию (3) ненулевые элементы есть только в первых r строках матрицы A. Таким образом, векторы

e1; : : : ; er составляют базис линейной оболочки столбцов матрицы A, и потому размерность этой линейной оболочки равна r. Но по определению ранга именно эта размерность и есть ранг матрицы A.

Следствие. Ранг матрицы

Er 0r t 0s r 0s t ;

ãäå Er единичная матрица порядка r 0, а 0r t, 0s r, 0s t нулевые матрицы, равен r.

Это утверждение очевидное следствие теоремы 10: указанная в его формулировке матрица является ступенчатой.

191

5 Ранг транспонированной матрицы

В определении ранга строки и столбцы матрицы играли разные роли. Мы покажем, что на самом деле они равноправны по отношению к рангу.

Теорема 11. Пусть A матрица с компонентами из некоторого поля k. Тогда rank A> = rank A.

Доказательство. Мы видели, что существуют такие обратимые матрицы X, Y , такие что

Er 0r t

XAY = 0s r 0s t ;

Поскольку столбцы матрицы A> являются строками матрицы A, мы получаем следующее

Следствие. Размерность линейной оболочки строк матрицы равна ее рангу.

Таким образом, ранг матрицы можно было бы определять не только как размерность линейной оболочки столбцов матрицы, но и как размерность линейной оболочки ее строк. По аналогии с предложением 16 мы получаем

Предложение 18. Пусть A матрица с компонентами из поля k, ранг которой равен r. Тогда в матрице A можно выбрать r строк, составляющих базис линейной оболочки всех строк матрицы A.

6 Невырожденные матрицы

Пусть k поле. Квадратная матрица порядка n с компонентами из k называется невырожденной, если ее ранг равен n. Есть много утверждений, равносильных указанному свойству.

192

Теорема 12. Пусть k поле, и пусть A 2 kn = kn n квадратная матрица с компонентами из k. Следующие условия равносильны:

(1)матрица A невырождена;

(2)размерность линейной оболочки столбцов матрицы A равна

n;

(3)размерность линейной оболочки строк матрицы A равна n;

(4)столбцы матрицы A линейно независимы;

(5)строки матрицы A линейно независимы;

(6)столбцы матрицы A порождают пространство столбцов kn;

(7)строки матрицы A порождают пространство строк k1 n;

(8)матрица A обратима;

(9)матрица A представляется в виде произведения элементарных матриц.

Доказательство. (1) , (2), (1) , (3) просто перефразировки

определений: матрица невырождена, когда ее ранг, то есть размерность линейной оболочки ее столбцов (строк), равен n.

(2) ) (6). Линейная оболочка столбцов матрицы A представляет собой подпространство пространства столбцов kn. Если размерность этого подпространства совпадает с размерностью n всего простран- ñòâà kn, то подпространство совпадает со всем пространством, то есть kn является линейной оболочкой столбцов матрицы A, а это и значит, что столбцы матрицы A порождают пространство столбцов kn.

(6) ) (4). Если n столбцов матрицы A порождают пространство kn, размерность которого равна n, то они линейно независимы.

(4) ) (2). Если n столбцов матрицы A линейно независимы, то размерность их линейной оболочки не меньше n. С другой стороны, линейная оболочка столбцов матрицы содержится в kn, и потому ее размерность не больше, чем dim kn = n.

Точно так же доказывается, что (3) ) (7) ) (5) ) (3).

(1) ) (8). Существуют такие обратимые матрицы X, Y , что XAY = B, где матрица B имеет вид

(здесь t = n r). Поскольку при умножении на обратимые матрицы ранг не меняется, мы получаем, что rank A = rank B = r; если Aневырожденная матрица, то r = rank A = n, а тогда получается, что B единичная матрица. Итак, XAY = E, откуда следует, что матрица

A = (X 1X)A(Y Y 1) = X 1(XAY )Y 1 = X 1EY 1 = X 1Y 1

представляется в виде произведения обратимых матриц X 1, Y 1, à потому и сама обратима.

193

(8) ) (1). Если матрица A обратима, то она получается умножением единичной матрицы E на обратимую матрицу A. Поскольку

при умножении на обратимую матрицу ранг матрицы не меняется, мы получаем, что rank A = rank E = n, то есть матрица A невырож-

äåíà.

(8) , (9) было доказано ранее.

В следующей главе мы добавим к этим девяти характеризациям невырожденных матриц еще одну в терминах определителя матрицы.

7 Ранг как максимальный порядок невырожденных подматриц

Пусть A 2 km n некоторая матрица, и пусть

1 i1 < : : : < ip m; 1 j1 < : : : < jq n:

Подматрицей матрицы A, составленной из строк с номерами i1; : : : ; ip и столбцов с номерами j1; : : : ; jq мы называем матрицу

Теорема 13. Пусть A матрица с компонентами из поля k, ранг которой равен r. Тогда все квадратные подматрицы матрицы A, порядок которых больше r, вырождены, но в матрице A существует невырожденная квадратная подматрица порядка r.

Замечание. Ранее для ранга матрицы у нас было два определения: это размерность линейной оболочки столбцов матрицы и размерность линейной оболочки строк матрицы. В каждом из них столбцы и строки играют разные роли. Благодаря теореме 13 мы можем

дать еще одно определение, в котором строки и столбцы вообще не упоминаются: ранг ненулевой матрицы это наибольшее число r,

такое, что среди квадратных подматриц матрицы A, имеющих порядок r, есть невырожденные матрицы. Во многих учебниках ранг матрицы именно так и определяется.

Доказательство. Всякая подматрица C = Aj1;:::;jq A 2 km n

i1;:::;ip матрицы

может быть получена следующим образом. Сначала возьмем матрицу B 2 km q, составленную из столбцов матрицы A с номерами

j1; : : : ; jq, и тогда матрица C будет матрицей, составленной из строк матрицы B с номерами i1; : : : ; ip. Линейная оболочка UB столбцов

194

матрицы B содержится в линейной оболочке UA столбцов матри- цы A, и потому rank B = dim UB dim UA = rank A. Точно так же (но с использованием строк вместо столбцов) показывается, что rank C rank B. Таким образом, ранг любой подматрицы C матрицы

A не больше ранга A. В частности, если C квадратная подматрица порядка s > rank A матрицы A, то rank C rank A < s, то есть C

вырожденная матрица.

Остается доказать, что у матрицы A есть невырожденная подматрица C порядка r = rank A. Из предложения 16 следует, что существуют r столбцов матрицы A, составляющих базис линейной оболочки всех столбцов матрицы A. Пусть B подматрица A, составленная из этих r столбцов и всех строк матрицы A. Поскольку столбцы матрицы B порождают линейную оболочку столбцов матрицы A, линейные оболочки столбцов обеих матриц совпадают, и потому размерность rank B линейной оболочки столбцов матрицы B равна размерности rank A = r линейной оболочки столбцов матрицы A. Теперь из предложения 18 следует, что существуют r строк матрицы B, составляющих базис линейной оболочки всех строк матрицы B. Пусть C подматрица B, составленная из этих r строк и всех r столбцов матрицы B. Поскольку строки матрицы C порождают линейную оболочку строк матрицы B, линейные оболочки строк обеих матриц совпадают, и потому размерность rank C линейной оболочки строк матрицы C равна размерности rank B = r линейной оболочки строк матрицы. Таким образом, C квадратная подматрица порядка r матрицы A, и ее ранг равен r, так что C невырожденная матрица.

x 4: Теоремы о существовании и структуре

множества решений систем линейных уравнений

1 Условия разрешимости системы линейных уравнений

В этом пункте мы исследуем систему линейных уравнений

am1 x1 + am2 x2 + +amnxn = bm:

195

С системой ( ) связаны две матрицы

которые называются соответственно матрицей системы и расширенной матрицей системы.

Следующая теорема указывает необходимое и достаточное условие разрешимости системы ( ).

Теорема 14 (теорема Кронекера Капелли). Система ( ) име-

ет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы. Если система имеет решение, то это решение единственно тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен числу неизвестных.

Доказательство. Пусть

столбцы матрицы системы A и столбец свободных членов. Линейная оболочка <a1; a2; : : : ; an> столбцов матрицы системы является подпространством линейной оболочки <a1; a2; : : : ; an; b> столбцов расширенной матрицы. Если у системы есть решение 1; 2; : : : ; n, то, очевидно, 1a1 + 2a2 + : : : + nan = b, òî åñòü b 2<a1; a2; : : : ; an>

и потому <a1; a2; : : : ; an>=<a1; a2; : : : ; an; b>; но тогда

rank A = dim <a1; a2; : : : ; an>= dim <a1; a2; : : : ; an; b>= rank B:

Обратно, если rank A = rank B, то

dim <a1; a2; : : : ; an>= rank A = rank B = dim <a1; a2; : : : ; an; b>;

то есть размерность подпространства <a1; a2; : : : ; an> равна размерности содержащего его пространства <a1; a2; : : : ; an; b>, а потому подпространство совпадает со всем пространством. В частности, столбец b 2<a1; a2; : : : ; an; b>=<a1; a2; : : : ; an> является линейной комбинацией столбцов a1; a2; : : : ; an, и потому в поле k существуют такие элементы 1; 2; : : : ; n, ÷òî 1a1 + 2a2 +: : :+ nan = b. Но это соотношение означает, что 1; 2; : : : ; n решение системы ( ).

196

Пусть 1; 2; : : : ; n, 1; 2; : : : ; n два различных решения системы; тогда хотя бы один из элементов 1 1; 2 2; : : : ; n n отличен от 0, но

( 1 1)a1 + : : : + ( n n)an =

=( 1a1 + : : : + nan) ( 1a1 + : : : + nan) = b b = ;

àэто значит, что столбцы a1; a2; : : : ; an линейно зависимы, и потому размерность их линейной оболочки меньше, чем число столбцов, то есть

rank A = dim <a1; a2; : : : ; an> < n:

Обратно, пусть rank A 6= n; поскольку ранг матрицы не больше количества n ее столбцов, из этого предположения следует, что rank A < n. Тогда

dim <a1; a2; : : : ; an>= rank A < n;

и потому столбцы a1; a2; : : : ; an линейно зависимы, а значит, в поле k существуют элементы 1; 2; : : : ; n, не все равные 0 и такие, ÷òî 1a1 + 2a2 + : : : + nan = . Если система ( ) имеет решение1; 2; : : : ; n, òî 1a1 + : : : + nan = b, и потому

( 1 + 1)a1 + : : : + ( n + n)an =

= ( 1a1 + : : : + nan) + ( 1a1 + : : : + nan) = b + = b:

Таким образом, 1 + 1; 2 + 2; : : : ; n + n тоже решение системы ( ), и оно отличается от исходного решения 1; 2; : : : ; n, потому что хотя бы один из элементов i отличен от 0. Итак, если система ( ) имеет решение и rank A 6= n, то это решение не единственное.

2 О теореме Крамера

Выше мы видели, что система n уравнений с n неизвестными, мат-

рица которой обратима, имеет единственное решение. Покажем, что этот же факт выводится из теоремы Кронекера Капелли. Пусть A и B матрица и расширенная матрица системы n уравнений с n

неизвестными. Обе эти матрицы состоят из n строк, поэтому их ранги не превосходят n. Далее, поскольку линейная оболочка столбцов матрицы A содержится в линейной оболочке столбцов матрицы B, ранг матрицы A не больше ранга матрицы B. Наконец, обратимая

матрица это то же самое, что невырожденная матрица; поэтому, если матрица A обратима, то ее ранг равен n. Итак, для матрицы A

и расширенной матрицы B системы n уравнений с n неизвестными, матрица которой обратима, выполняются соотношения

n = rank A rank B n:

197

Это возможно только когда все неравенства становятся равенствами, то есть rank A = rank B, rank A = n. По теореме Кронекера Ка-

пелли первое из этих равенств гарантирует существование решения системы, а второе его единственность.

3 Однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены всех уравнений системы равны 0. Таким образом, однородная система линейных уравнений это система вида

a11 x1 + a12 x2 + +a1nxn = 0; a21 x1 + a21 x2 + +a2nxn = 0;

am1 x1 + am2 x2 + +amnxn = 0:

Если всем неизвестным придать значение 0, то мы получим, оче- видно, решение нашей однородной системы; оно называется тривиальным решением. Таким образом, у однородной системы линейных уравнений всегда есть решение тривиальное; часто бывает важно выяснить, есть ли у системы нетривиальные решения, то есть такие решения 1; : : : ; n, в которых хотя бы один элемент i, 1 i n, отличен от 0. Из теоремы Кронекера Капелли сразу вытекает необходимое и достаточное условие существования нетривиального решения.

Теорема 15. Для того, чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных.

Доказательство. Сказать, что у однородной системы линейных уравнений нет нетривиальных решений это все равно, что сказать, что у нее есть лишь одно решение тривиальное. По теореме КронекераКапелли для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен числу неизвестных. Поэтому нетривиальные решения существуют тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы не равен числу неизвестных; поскольку ранг матрицы системы не больше, чем количество ее столбцов, которое равно числу неизвестных, это возможно тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.

Несмотря на тривиальность этой теоремы, два следствия из нее оказываются очень часто полезными.

198

Следствие 1. Если в однородной системе линейных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет нетривиальное решение.

Доказательство. Пусть A матрица однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными. Ранг матрицы A не больше, чем число ее строк, то есть число m уравнений системы. Если m < n, то rank A m < n, и по теореме 15 система имеет нетривиальные решения.

Следствие 2. Однородная система n линейных уравнений с n неиз-

вестными имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда матрица этой системы вырождена.

Доказательство. Пусть A матрица однородной системы n линейных уравнений с n неизвестными. Это квадратная матрица порядка n. По теореме 15 система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда rank A < n, то есть когда матрица A вырождена.

4 Связь между множествами решений неднородной и однородной систем

Мы уже использовали для систем линейных уравнений матричную

Теперь мы еще больше сократим ее, введя обозначения для столбцов неизвестных и свободных членов

теперь система линейных уравнений записывается совсем коротко:

AX = b:

Решениями этой системы являются столбцы X0 2 kn, такие что

AX0 = b.

Наряду с неоднородной системой линейных уравнений AX = b мы

будем рассматривать также и однородную систему с той же матрицей AX = . Установим, как связаны множества решений этих систем.

199

Теорема 16. Пусть X; Y kn множества решений неоднородной системы AX = b и однородной системы с той же матрицей AX = , и пусть X0 2 X какое-то решение неоднородной системы. Если Y0 2 Y любое решение однородной системы, то X0+Y0 тоже решение неоднородной системы. Для всякого решения X1 2 X неоднородной системы найдется такое решение однородной системы Y0 2 Y, ÷òî X1 = X0 + Y0.

Замечание. Если мы обозначим через X0+Y множество всех столбцов вида X0 +Y0, ãäå Y0 2 Y, то утверждение теоремы примет вид:

X = X0 + Y.

Доказательство. Если X0 2 X, Y0 2 Y, òî AX0 = b, AY0 = , и потому

A(X0 + Y0) = AX0 + AY0 = b + = b;

а это значит, что X0 + Y0 2 X. Пусть теперь X1 2 X еще одно решение неоднородной системы; это значит, что AX1 = b. Положим Y0 = X1 X0; тогда X1 = X0 + Y0 и, кроме того,

AY0 = A(X1 X0) = AX1 AX0 = b b = ;

òî åñòü Y0 решение однородной системы, и Y0 2 Y.

Подробнее о строении множества решений однородной системы линейных уравнений мы поговорим в следующем параграфе.

x 5: Линейные отображения

1 Определение и примеры линейных отображений

Пусть U и V два векторных пространства над одним и тем же полем k. Отображение A : U ! V называется линейным, если для любых векторов u; u0 2 U и любого 2 k выполняются соотношения

A(u + u0) = A(u) + A(u0), A( u) = A(u).

Часто бывает ситуация, в которой U и V могут рассматриваться как пространства над разными полями. Если A является линейным отображением U в V, рассматриваемыми как пространства над полем k, то мы говорим, что A k-линейное отображение, или линейное отображение над полем k.

Из определения линейного отображения сразу следуют "пустяковые теоремы" о линейных отображениях.

Предложение 19. Пусть U, V векторные пространства над полем k, и пусть A линейное отображение пространства U в пространство V. Тогда:

200